Решить дифференциальное уравнение

[Иван Горин]

Найти решение дифф. ур. из задачи двух тел.

\(\displaystyle \dot{\varphi }=C_1(1+\varepsilon \cos \varphi )^2\)

В явном виде \(\varphi=f(t )\) решения нет.

Найти функцию \(t=f(\varphi )\)
Конкурс для математиков на самое короткое решение.

[Король Альтов]

Найти решение дифф. ур. из задачи двух тел.В явном виде \(\varphi=f(t )\) решения нет.

Найти функцию \(t=f(\varphi )\)
Конкурс для математиков на самое короткое решение.

Очевидно задача сводится просто к взятию интеграла
\( \int \frac{d\phi}{(1+\varepsilon cos (\phi))^2}\)



\( \int \frac{d\phi}{(1+\varepsilon cos (\phi))^2}= \int \frac{ sin(\phi) d\phi}{ sin(\phi) (1+\varepsilon cos (\phi))^2} =
\frac{1}{\varepsilon sin(\phi) (1+\varepsilon cos (\phi))} + \frac{ctg(\phi)}{\varepsilon^2} - \int \frac{ d\phi}{ \varepsilon^2 sin(\phi)^2 (1+\varepsilon cos (\phi)) }\)
\( \int \frac{ d\phi}{\varepsilon^2  sin(\phi)^2 (1+\varepsilon cos (\phi))} = \int \frac{ d\phi}{ \varepsilon^2 (1 - cos(\phi)^2) (1+\varepsilon cos (\phi))}\)
\( \frac{A}{1 - cos (\phi)} + \frac{B}{1 + cos (\phi)} + \frac{C}{1 + \varepsilon  cos (\phi)} = \frac{ 1 }{ \varepsilon^2 (1 - cos(\phi)^2) (1+\varepsilon cos (\phi))}\)
\( A+ B + C = \frac{ 1 }{ \varepsilon^2 }; A(1+\varepsilon) + B(1-\varepsilon) = 0; A \varepsilon - B \varepsilon - C = 0\)
\(  B  = \frac{ -  A(1+\varepsilon) }{ \varepsilon -1 }; C  = \frac{ A2 \varepsilon^2 }{ \varepsilon^2 -1 } \)
\(  A  = \frac{ 1 }{2 \varepsilon^2 ( \varepsilon + 1 ) }; B  = \frac{ 1 }{2 \varepsilon^2 ( 1 - \varepsilon ) }; C  = \frac{ 1 }{ \varepsilon^2 -1 } \)
\( \int \frac{ d\phi}{1 - cos (\phi))} = [ z=tg(\phi/2); cos( \phi ) = \frac{1 - z^2}{1 + z^2}; d \phi =\frac{ 2 dz }{1 + z^2}; ] = \int \frac{2 dz} {(1 + z^2)\frac{2 z^2}{1 + z^2}} = - \frac{1}{z} = - ctg(\phi/2) \)
\( \int \frac{ d\phi}{1 + cos (\phi))} = [ z=tg(\phi/2); cos( \phi ) = \frac{1 - z^2}{1 + z^2}; d \phi =\frac{ 2 dz }{1 + z^2}; ] = \int \frac{2 dz} {(1 + z^2)\frac{2 }{1 + z^2}} =z = tg(\phi/2) \)
\( \int \frac{ d\phi}{1 + \varepsilon cos (\phi))} = [ z=tg(\phi/2); cos( \phi ) = \frac{1 - z^2}{1 + z^2}; d \phi =\frac{ 2 dz }{1 + z^2}; ] = \int \frac{2 dz} {(1 + z^2)(1 + \varepsilon \frac{1 - z^2 }{1 + z^2})} =   \int \frac{2 dz} {(1 + \varepsilon)(1 + z^2 \frac{1 - \varepsilon }{1 + \varepsilon})} = \frac{2}{1 + \varepsilon } \sqrt{ \frac{1 - \varepsilon }{1 + \varepsilon} } arctg ( z \sqrt{ \frac{1 - \varepsilon }{1 + \varepsilon} }) = \frac{2}{ \sqrt{1 - \varepsilon } } arctg ( tg(\phi/2) \sqrt{ \frac{1 - \varepsilon }{1 + \varepsilon} })  \)

Ответ задачи
\(  C_1 T = \frac{1}{\varepsilon sin(\phi) (1+\varepsilon cos (\phi))} + \frac{ctg(\phi)}{\varepsilon^2} + ctg(\phi/2) \frac{ 1 }{2 \varepsilon^2 ( \varepsilon + 1 ) } - tg(\phi/2) \frac{ 1 }{2 \varepsilon^2 ( 1 - \varepsilon ) } - \frac{ 1 }{ \varepsilon^2 -1 } \frac{2}{ \sqrt{1 - \varepsilon } } arctg [ tg(\phi/2) \sqrt{ \frac{1 - \varepsilon }{1 + \varepsilon} }]
\)

[Король Альтов]

Найти решение дифф. ур. из задачи двух тел.В явном виде \(\varphi=f(t )\) решения нет.

Найти функцию \(t=f(\varphi )\)
Конкурс для математиков на самое короткое решение.

Уважаемый Иван!
Приведите пожалуйста исходную задачу!
Если мне не изменяет память то это задача колебаний математического маятника в точной постановке без упрощения на малость углов!
Почему то это решение во всех учебниках физики не приводится, потому что у преподов не хватает мозгов его проинтегрировать!

[Иван Горин]

Уважаемый Иван!
Приведите пожалуйста исходную задачу!
Если мне не изменяет память то это задача колебаний математического маятника в точной постановке без упрощения на малость углов!
Почему то это решение во всех учебниках физики не приводится, потому что у преподов не хватает мозгов его проинтегрировать!

Это уравнение из задачи двух тел.
Ссылка вначале поста. Нажать на мою цитату.
Для проверки правильности решения, при \(\varphi\)=360° должны получить третий закон Кеплера.
Но прежде надо найти постоянную интегрирования С₂ из начальных условий:
при t=0, \(\varphi\)=0
\(\displaystyle \int \frac{d\varphi }{(1+cos\varphi )^2}=C_1t+C_2\)

Александр, распиши подробнее первую строчку твоих выводов.

[Король Альтов]

Это уравнение из задачи двух тел.
Ссылка вначале поста. Нажать на мою цитату.
Для проверки правильности решения, при \(\varphi\)=360° должны получить третий закон Кеплера.
Но прежде надо найти постоянную интегрирования С₂ из начальных условий:
при t=0, \(\varphi\)=0
\(\displaystyle \int \frac{d\varphi }{(1+cos\varphi )^2}=C_1t+C_2\)

Александр, распиши подробнее первую строчку твоих выводов.

ОК! Интересная задача!
\( \int \frac{d\phi}{(1+\varepsilon cos (\phi))^2}= \int \frac{ sin(\phi) d\phi}{ sin(\phi) (1+\varepsilon cos (\phi))^2} =
\frac{1}{\varepsilon sin(\phi) (1+\varepsilon cos (\phi))} - \int \frac{cos (\phi) d\phi}{ \varepsilon sin(\phi)^2 (1+\varepsilon cos (\phi)) } =\)
\( \frac{1}{\varepsilon sin(\phi) (1+\varepsilon cos (\phi))} - \int \frac{d\phi}{ \varepsilon^2 sin(\phi)^2 } + \int \frac{d\phi}{ \varepsilon^2 sin(\phi)^2 (1+\varepsilon cos (\phi))} = \frac{1}{\varepsilon sin(\phi) (1+\varepsilon cos (\phi))} - \frac{ctg(\phi)}{\varepsilon^2} + \int \frac{ d\phi}{ \varepsilon^2 sin(\phi)^2 (1+\varepsilon cos (\phi)) }\)

[Король Альтов]

Это уравнение из задачи двух тел.
Ссылка вначале поста. Нажать на мою цитату.
Для проверки правильности решения, при \(\varphi\)=360° должны получить третий закон Кеплера.
Но прежде надо найти постоянную интегрирования С₂ из начальных условий:
при t=0, \(\varphi\)=0
\(\displaystyle \int \frac{d\varphi }{(1+cos\varphi )^2}=C_1t+C_2\)

Александр, распиши подробнее первую строчку твоих выводов.

Посмотрел ссылку -  DAP ужасный дурак и неуч, поэтому я на его темы не захожу по определению.
Задача, которую ты рассмотрел это движение материальной точки вокруг притягивающего центра по эллипсу. Эта задача полностью решена и приведена во всех учебниках по небесной механике, но правда там по моему другая форма представления координат.
Зависимость \( \phi = \phi(t) \) действительно чрезвычайно сложная, поэтому используют другую переменную Е, которая находится из уравнения Кеплера, и через которую выражаются все остальные параметры орбиты.
PS. Так вы в этой теме занимаетесь изобретением Кеплеровского движения. А я то думаю, откуда Мастеров такие оригинальные формулы приводит в других темах.
Я то думал, что это оригинальная задача. А это стандарт Кеплеровского движения, хотя и его никто в этой теме не осилил. Не я в такие игры не играю - изобретать велосипед скучно!

[ER*]

Посмотрел ссылку -  DAP ужасный дурак и неуч,

А кто-нибудь понял, что этот ДАП вообще утверждает? Фокальный радиус-вектор не коллинеарен вектору ускорения при движении по эллипсу. При каком движении не коллинеарен? При кеплеровском по определению коллинеарен, ибо при движении тел в грав. поле \[ \vec{a}=\frac{\vec{F}}{m}=-\frac{GM}{r^3}\cdot \vec{r} \]
Kaк же не коллинеарен, если коллинеарен? А, если движение не кеплеровское, то зачем аффтар вообще говорит о якобы нарушениях законов Кеплера? Где логика? Кто-нибудь понял? Объясните тупому.

[Иван Горин]

А кто-нибудь понял, что этот ДАП вообще утверждает? Фокальный радиус-вектор не коллинеарен вектору ускорения при движении по эллипсу. При каком движении не коллинеарен? При кеплеровском по определению коллинеарен, ибо при движении тел в грав. поле \[ \vec{a}=\frac{\vec{F}}{m}=-\frac{GM}{r^3}\cdot \vec{r} \]
Kaк же не коллинеарен, если коллинеарен? А, если движение не кеплеровское, то зачем аффтар вообще говорит о якобы нарушениях законов Кеплера? Где логика? Кто-нибудь понял? Объясните тупому.

Дап просто троллит людей. Ему это достваляет удовольствие и много постов.

[Король Альтов]

А кто-нибудь понял, что этот ДАП вообще утверждает? Фокальный радиус-вектор не коллинеарен вектору ускорения при движении по эллипсу. При каком движении не коллинеарен? При кеплеровском по определению коллинеарен, ибо при движении тел в грав. поле \[ \vec{a}=\frac{\vec{F}}{m}=-\frac{GM}{r^3}\cdot \vec{r} \]
Kaк же не коллинеарен, если коллинеарен? А, если движение не кеплеровское, то зачем аффтар вообще говорит о якобы нарушениях законов Кеплера? Где логика? Кто-нибудь понял? Объясните тупому.

А можно ли вообще понять человеческий бред? DAP идиот, который постоянно пишет кошмарный бред. Я принципиально не читаю его тем и сообщений. Думать над его сообщениями это то же самое, что рыться в помойке в поисках еды, одежды и прочих хозяйственных предметов. Понимаете, читая темы и сообщения ДАПа и думая над ними можно элементарно стать таким же идиотом, как он! - Ни одна нормальная голова не выдержит долго такого сплошного потока маразма и человеческой глупости.
PS. Вообще таких как ДАП и Вашкевич серьезно воспринимать нельзя, а только с юмором. Но ДАП трет юмор и критику, поэтому общение с этим идиотом принципиально невозможно, как впрочем и с Мастеровым.

[severe]

А кто-нибудь понял, что этот ДАП вообще утверждает? Фокальный радиус-вектор не коллинеарен вектору ускорения при движении по эллипсу. При каком движении не коллинеарен? При кеплеровском по определению коллинеарен, ибо при движении тел в грав. поле \[ \vec{a}=\frac{\vec{F}}{m}=-\frac{GM}{r^3}\cdot \vec{r} \]
Kaк же не коллинеарен, если коллинеарен? ... Где логика? Кто-нибудь понял? Объясните тупому.

Насколько я понял, изначально он хотел, чтобы ему доказали коллинеарность из чисто кинематических соображений, и ему доказали. А вот, что он сейчас хочет, для меня тоже загадка.

[Иван Горин]

Продолжаем тему.
\(\displaystyle \dot{\varphi }=C_1(1+\varepsilon \cos \varphi )^2\,\,(1)\)
Постоянная интегрирования С₁ находится из начальный условий.
\(\displaystyle С_1=\frac{V_0}{R_0(1+\varepsilon )^2}\)
V₀ скорость в перигее
R₀ радиус в перигее.

Из (1)
\(\displaystyle \int \frac{d\varphi }{(1+\varepsilon \cos\varphi )^2}=C_1t+C_2\)

Необходимо найти интеграл:
\(\displaystyle I=\int \frac{d\varphi }{(1+\varepsilon \cos\varphi )^2}\)
Замена переменной
\(\displaystyle \tan\frac{\varphi }{2}=x\)
\(\displaystyle d\varphi =\frac{2dx}{1+x^2}\)
\(\displaystyle \cos \varphi =\frac{1-x^2}{1+x^2}\)

\(\displaystyle I=\int \frac{2dx}{(1+x^2)(1+\varepsilon \frac{1-x^2}{1+x^2})^2}\)
\(\displaystyle I=\frac{2}{(1+\varepsilon )^2}\int \frac{1+x^2}{(1+\frac{1-\varepsilon }{1+\varepsilon }x^2)^2}dx\)
Замена переменной для упрощения:
\(\displaystyle \frac{1-\varepsilon }{1+\varepsilon }x^2=y^2\)
\(\displaystyle I=\frac{2}{\sqrt{(1-\varepsilon )(1+\varepsilon )^3}}\int \frac{1+\frac{1+\varepsilon }{1-\varepsilon }y^2}{(1+y^2)^2}dy\)

Продолжение следует ...

[Король Альтов]

\(\int\frac{C_1d\varphi}{(1+\varepsilon \cos \varphi )^2}=t+C\)

Сделаем замену переменных: \(x=tg{\frac{\varphi}{2}}\)
Тогда: \(\sin\varphi=\frac{2x}{1+x^2};\ \cos\varphi=\frac{1-x^2}{1+x^2};\ tg\ \varphi=\frac{2x}{1-x^2};\ ctg\ \varphi=\frac{1-x^2}{2x};\ d\varphi=\frac{2dx}{1+x^2};\)

\(\int\frac{2}{1+x^2}\frac{C_1dx}{(1+\varepsilon\frac{1-x^2}{1+x^2})^2}=t+C\)
\(2C_1\int\frac{(1+x^2)dx}{(1+x^2+\varepsilon(1-x^2))^2}=t+C\)
\(2C_1\int\frac{(1+x^2)dx}{(1+\varepsilon+(1-\varepsilon)x^2)^2}=t+C\)
\(2\frac{C_1}{1-\varepsilon}\int\frac{(1-\varepsilon+(1-\varepsilon)x^2)dx}{(1+\varepsilon+(1-\varepsilon)x^2)^2}=t+C\)
\(2\frac{C_1}{1-\varepsilon}\left(\int\frac{dx}{1+\varepsilon+(1-\varepsilon)x^2}-\int\frac{2\varepsilon dx}{(1+\varepsilon+(1-\varepsilon)x^2)^2}\right)=t+C\)
\(2\frac{C_1}{1-\varepsilon^2}\left(\int\frac{dx}{1+\frac{1-\varepsilon}{1+\varepsilon}x^2}-\frac{2\varepsilon}{1+\varepsilon}\int\frac{dx}{(1+\frac{1-\varepsilon}{1+\varepsilon}x^2)^2}\right)=t+C\)
\(2\frac{C_1}{1-\varepsilon^2}\sqrt{\frac{1+\varepsilon}{1-\varepsilon}}\left(\int\frac{d\sqrt{\frac{1-\varepsilon}{1+\varepsilon}}x}{1+\frac{1-\varepsilon}{1+\varepsilon}x^2}-\frac{2\varepsilon}{1+\varepsilon}\int\frac{d\sqrt{\frac{1-\varepsilon}{1+\varepsilon}}x}{(1+\frac{1-\varepsilon}{1+\varepsilon}x^2)^2}\right)=t+C\)
\(2\frac{C_1}{1-\varepsilon^2}\sqrt{\frac{1+\varepsilon}{1-\varepsilon}}\left(\int\frac{dy}{1+y^2}-\frac{2\varepsilon}{1+\varepsilon}\int\frac{dy}{(1+y^2)^2}\right)=t+C\)
\(2\frac{C_1}{1-\varepsilon^2}\sqrt{\frac{1+\varepsilon}{1-\varepsilon}}\left(arctg\left(\frac{y}{2}\right)-\frac{2\varepsilon}{1+\varepsilon}\left(\frac{y}{2(1+y^2)}+\frac{1}{2}arctg\left(\frac{y}{2}\right)\right)\right)=t+C\)
\(2\frac{C_1}{1-\varepsilon^2}\sqrt{\frac{1+\varepsilon}{1-\varepsilon}}\left(arctg\left(\frac{y}{2}\right)-\frac{\varepsilon}{1+\varepsilon}\frac{y}{(1+y^2)}-\frac{\varepsilon}{1+\varepsilon}arctg\left(\frac{y}{2}\right)\right)=t+C\)
\(2\frac{C_1}{1-\varepsilon^2}\sqrt{\frac{1+\varepsilon}{1-\varepsilon}}\left(\frac{1}{1+\varepsilon}arctg\left(\frac{y}{2}\right)-\frac{\varepsilon}{1+\varepsilon}\frac{y}{(1+y^2)}\right)=t+C\)
\(2\frac{C_1}{(1-\varepsilon^2)^{3/2}}\left(arctg\left(\frac{y}{2}\right)-\varepsilon\frac{y}{1+y^2}\right)=t+C\)
\(2\frac{C_1}{(1-\varepsilon^2)^{3/2}}\left(arctg\left(\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1-\varepsilon}{1+\varepsilon}}x\right)-\varepsilon\frac{\sqrt{\frac{1-\varepsilon}{1+\varepsilon}}x}{1+\frac{1-\varepsilon}{1+\varepsilon}x^2}\right)=t+C\)
\(2\frac{C_1}{(1-\varepsilon^2)^{3/2}}\left(arctg\left(\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1-\varepsilon}{1+\varepsilon}}tg{\frac{\varphi}{2}}\right)-\varepsilon\frac{\sqrt{\frac{1-\varepsilon}{1+\varepsilon}}tg{\frac{\varphi}{2}}}{1+\frac{1-\varepsilon}{1+\varepsilon}tg^2{\frac{\varphi}{2}}}\right)=t+C\)
\(arctg\left(\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1-\varepsilon}{1+\varepsilon}}tg{\frac{\varphi}{2}}\right)-\varepsilon\frac{\sqrt{\frac{1-\varepsilon}{1+\varepsilon}}tg{\frac{\varphi}{2}}}{1+\frac{1-\varepsilon}{1+\varepsilon}tg^2{\frac{\varphi}{2}}}=At+B\)
\(arctg\left(\frac{y}{2}\right)-\varepsilon\frac{y}{1+y^2}=At+B\)

\(\int\limits_o^\pi\frac{C_1d\varphi}{(1+\varepsilon \cos \varphi )^2}=\frac{C_1\pi}{(1-\varepsilon^2)^{3/2}}=\frac{T}{2}\)

ДЯТЕЛ!
\(\int\frac{dy}{1+y^2}=arctg(y)\)   
\(arctg\left(\sqrt{\frac{1-\varepsilon}{1+\varepsilon}}tg{\frac{\varphi}{2}}\right)-\varepsilon\frac{\sqrt{\frac{1-\varepsilon}{1+\varepsilon}}tg{\frac{\varphi}{2}}}{1+\frac{1-\varepsilon}{1+\varepsilon}tg^2{\frac{\varphi}{2}}}=At+B\)
\(arctg(y)-\varepsilon\frac{y}{1+y^2}=At+B\)

[Иван Горин]

ОК! Интересная задача!
\( \int \frac{d\phi}{(1+\varepsilon cos (\phi))^2}=
\frac{1}{\varepsilon sin(\phi) (1+\varepsilon cos (\phi))} - \int \frac{cos (\phi) d\phi}{ \varepsilon sin(\phi)^2 (1+\varepsilon cos (\phi)) } \)

Проверка не сходится после дифференцирования обеих частей.
Возможно где-то ошибка.

[Король Альтов]

Проверка не сходится после дифференцирования обеих частей.
Возможно где-то ошибка.

По моему ошибка в знаке перед интегралом! Сейчас подкорректирую все решение!

[Иван Горин]

\(\displaystyle I=\frac{2}{\sqrt{(1-\varepsilon )(1+\varepsilon )^3}}\int \frac{1+\frac{1+\varepsilon }{1-\varepsilon }y^2}{(1+y^2)^2}dy\)

Продолжение
\(\displaystyle I=\frac{2}{\sqrt{(1-\varepsilon )(1+\varepsilon )^3}}\int \frac{(1+y^2)-y^2+\frac{1+\varepsilon }{1-\varepsilon }y^2}{(1+y^2)^2}dy=\frac{2}{\sqrt{(1-\varepsilon )(1+\varepsilon )^3}}\left ( \int \frac{dy}{1+y^2}+\frac{2\varepsilon }{1-\varepsilon }\int \frac{y^2dy}{(1+y^2)^2} \right )\)
\(\displaystyle I=\frac{2}{\sqrt{(1-\varepsilon )(1+\varepsilon )^3}}\left [ \arctan y+\frac{2\varepsilon }{1-\varepsilon }\int yd\left ( -\frac{1}{2(1+y^2)} \right ) \right ]\)
Интеграл \(\displaystyle I_2=\int yd \left (-\frac{1}{2(1+y^2)} \right )\) берём по частям

\(\displaystyle U=y\,\,,V=-\frac{1}{2(1+y^2)}\)
\(\displaystyle I_2=UV-\int VdU=-\frac{y}{2(1+y^2)}+\int \frac{dy}{2(1+y^2)}=-\frac{y}{2(1+y^2)}+\frac{1}{2}\arctan y\)

Продолжение следует
...

[Иван Горин]

\(\displaystyle I_2=UV-\int VdU=-\frac{y}{2(1+y^2)}+\int \frac{dy}{2(1+y^2)}=-\frac{y}{2(1+y^2)}+\frac{1}{2}\arctan y\)

Продолжение
\(\displaystyle I=\frac{2}{\sqrt{(1-\varepsilon )(1+\varepsilon )^3}}\left ( \arctan y+\frac{\varepsilon }{1-\varepsilon }\arctan y-\frac{\varepsilon }{(1-\varepsilon) }\frac{y}{1+y^2} \right )\)
После преобразований получим:
\(\displaystyle I=\frac{2}{\sqrt{(1-\varepsilon^2 )^3}}\left ( \arctan y-\frac{\varepsilon y}{1+y^2} \right )\)
Учитывая замены переменных, получим окончательное решение:
\(\displaystyle I=\frac{2}{\sqrt{(1-\varepsilon^2 )^3}}\left ( \arctan(\sqrt{\frac{1-\varepsilon }{1+\varepsilon }}\tan \frac{\varphi }{2})-\frac{\varepsilon \sqrt{\frac{1-\varepsilon }{1+\varepsilon }}\tan \frac{\varphi }{2}}{1+\frac{1-\varepsilon }{1+\varepsilon }\tan^2 \frac{\varphi }{2}} \right )\)

\(\displaystyle \frac{2}{\sqrt{(1-\varepsilon^2 )^3}}\left ( \arctan(\sqrt{\frac{1-\varepsilon }{1+\varepsilon }}\tan \frac{\varphi }{2})-\frac{\varepsilon \sqrt{\frac{1-\varepsilon }{1+\varepsilon }}\tan \frac{\varphi }{2}}{1+\frac{1-\varepsilon }{1+\varepsilon }\tan^2 \frac{\varphi }{2}} \right )=C_1t+C_2\)
C₂ найдём из начальных условий:
при t=0, \(\varphi\)=0
C₂=0
В итоге получим решение нашего исходного дифференциального уравнения:

\(\displaystyle \frac{2}{\sqrt{(1-\varepsilon^2 )^3}}\left ( \arctan(\sqrt{\frac{1-\varepsilon }{1+\varepsilon }}\tan \frac{\varphi }{2})-\frac{\varepsilon \sqrt{\frac{1-\varepsilon }{1+\varepsilon }}\tan \frac{\varphi }{2}}{1+\frac{1-\varepsilon }{1+\varepsilon }\tan^2 \frac{\varphi }{2}} \right )=C_1t\)

Задача данной математической темы завершена.
Но тема остаётся открытой. Возможно я нашел не самое короткое решение интеграла.
Ждём решения других математиков.
А продолжение в другой теме: Уравнение Кеплера.

[severe]

\(\displaystyle I=\frac{2}{\sqrt{(1-\varepsilon^2 )^3}}\left ( \arctan(\sqrt{\frac{1-\varepsilon }{1+\varepsilon }}\tan \frac{\varphi }{2})-\frac{\varepsilon \sqrt{\frac{1-\varepsilon }{1+\varepsilon }}\tan \frac{\varphi }{2}}{1+\frac{1-\varepsilon }{1+\varepsilon }\tan^2 \frac{\varphi }{2}} \right )\)

Чему равен этот интеграл при \( \varphi=\pi(2n+1) \), \( n=0,1,2,... \)?

[Иван Горин]

Чему равен этот интеграл при \( \varphi=\pi(2n+1) \), \( n=0,1,2,... \)?

Работа не окончена. Рано делать проверки.

[Иван Горин]

Напомню откуда взялось наше дифференциальное уравнение в начале данной темы.

Решение есть.
Итак имем диф. ур.
\(\displaystyle \ddot{\varphi }+\frac{2\varepsilon \sin \varphi }{1+\varepsilon \cos \varphi }\dot{\varphi }^2=0\,\,\,(1)\)

Решение:
\(\displaystyle \dot{\varphi }=\frac{c}{r^2}=\frac{c}{p^2}(1+\varepsilon \cos\varphi )^2\)

Привожу полное решение этого диф.ур.
\(\displaystyle \frac{d\dot{\varphi }}{dt}=-\frac{2\varepsilon \sin \varphi }{1+\varepsilon \cos \varphi }\dot{\varphi }^2\)

\(\displaystyle \frac{d\dot{\varphi }}{\dot{\varphi }}=-\frac{2\varepsilon \sin \varphi }{1+\varepsilon \cos \varphi }\dot{\varphi }dt\)

Учтём, что
\(\displaystyle \frac{\varepsilon \dot{\varphi }\sin \varphi}{1+\varepsilon \cos \varphi }=\frac{\dot{r}}{r}\)

\(\displaystyle \int \frac{d\dot{\varphi }}{\dot{\varphi }}=-2\int \frac{\dot{r}}{r}dt\)

Учтём, что \(\displaystyle \dot{r}=\frac{dr}{dt}\)

\(\displaystyle \int \frac{d\dot{\varphi }}{\dot{\varphi }}=-2\int \frac{dr}{r}\)

\(\displaystyle \ln A\dot{\varphi }=-2\ln r\)
\(\displaystyle A\dot{\varphi }=\frac{1}{r^2}\)
учитывая, что \(\displaystyle r=\frac{p}{1+\varepsilon \cos \varphi }\), получим в итоге

\(\displaystyle \dot{\varphi }=C_1(1+\varepsilon \cos \varphi )^2\)
Постоянная интегрирования С₁ находится из начальный условий.
\(\displaystyle С_1=\frac{V_0}{R_0(1+\varepsilon )^2}\)
V₀ скорость в перигее
R₀ радиус в перигее.

[Petrovich_Tot]

В Математика 12 набрал строчку

Код: [Выделить]

Integrate[1/(1 + e Cos[x])^2, x, Assumptions -> e > 0]Получил ответ
$-\frac {2\arctanh[((-1+e)\tan (x/2)/(-1+e^2)^{1/2}]}{(-1+e^2)^{3/2}}+\frac {e \sin x}{(-1+e^2)(1+e\cos x}$