Движение планет в Солнечной системе

[Мастеров АВ]

Движение планет в Солнечной системе

\(\vec r=r\vec{n_r}\)
\(\vec v=\dot{\vec r}=\frac{d}{dt}\left(r\vec{n_r}\right)=\dot{r}\vec{n_r}+r\dot{\vec{n_r}}=\dot{r}\vec{n_r}+r\dot{\theta}\vec{n_{\theta}}\)

\(\vec a=\dot{\vec v}=\frac{d}{dt}\left(\dot{r}\vec{n_r}+r\dot{\theta}\vec{n_{\theta}}\right)=
\ddot{r}\vec{n_r}+\dot{r}\dot{\vec{n_r}}+
\frac{d}{dt}\left(r\dot{\theta}\right)\vec{n_{\theta}}+
r\dot{\theta}\dot{\vec{n_{\theta}}}=\\
\ddot{r}\vec{n_r}+\dot{r}\dot{\theta}\vec{n_{\theta}}+
\left(\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta}\right)\vec{n_{\theta}}-
r\dot{\theta}^2\vec{n_r}=\\
\left(\ddot{r}-r\dot{\theta}^2\right)\vec{n_r}+
\left(2\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta}\right)\vec{n_{\theta}}=-\frac{GM}{r^2}\vec{n_r}
\)

\(\begin{equation*}
 \begin{cases}
   \ddot{r}-r\dot{\theta}^2=-\frac{GM}{r^2}\\\
   2\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta}=0
 \end{cases}
\end{equation*}\)


Тут везде использовался тот факт, что:
\(\dot{\vec{n_r}}=\dot{\theta}\vec{n_{\theta}}\ \) и \(\ \dot{\vec{n_{\theta}}}=-\dot{\theta}\vec{n_r}\)

[Мастеров АВ]

\(2\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta}=0\)

\(2r\dot{r}\dot{\theta}+r^2\ddot{\theta}=0\)

\(\dot{r^2}\dot{\theta}+r^2\ddot{\theta}=0\)

\(\frac{d}{dt}\left(r^2\dot{\theta}\right)=0\)

\(r^2\dot{\theta}=const=C\) - Закон Сохранения Момента Импульса

\(\begin{equation*}
 \begin{cases}
   \ddot{r}-r\dot{\theta}^2=-\frac{GM}{r^2}\\\
   r^2\dot{\theta}=C=2\frac{dS}{dt}
 \end{cases}
\end{equation*}\)

[Мастеров АВ]

\(\ddot{r}-r\dot{\theta}^2=-\frac{GM}{r^2}\)

\(\dot{r}\ddot{r}-r\dot{r}\dot{\theta}^2=-\frac{GM}{r^2}\dot{r}\)

\(\frac{1}{2}\frac{d}{dt}\left(\dot{r}^2\right)-\frac{1}{2}\frac{d}{dt}\left(r^2\right)\dot{\theta}^2=GM\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{r}\right)\)

\(\frac{1}{2}\frac{d}{dt}\left(\dot{r}^2\right)-\frac{1}{2}\frac{d}{dt}\left(r^2\right)\frac{C^2}{r^4}=GM\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{r}\right)\)


\(\frac{d}{dt}\left(\dot{r}^2\right)+C^2\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{r^2}\right)=2GM\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{r}\right)\)


\(\dot{r}^2+C^2\frac{1}{r^2}-2GM\frac{1}{r}=const=D\)

\(\left(\frac{dr}{dt}\right)^2+C^2\frac{1}{r^2}-2GM\frac{1}{r}=D\)

\(\left(\frac{dr}{d\theta}\right)^2\dot{\theta}^2+\frac{C^2}{r^2}-2GM\frac{1}{r}=D\)

\(\left(\frac{dr}{d\theta}\right)^2\frac{C^2}{r^4}+\frac{C^2}{r^2}-2GM\frac{1}{r}=D\)

\(C^2\left(\frac{d}{d\theta}\frac{1}{r}\right)^2+\frac{C^2}{r^2}-2GM\frac{1}{r}=D\)

\(\left(\frac{d}{d\theta}\frac{1}{r}\right)^2+\frac{1}{r^2}-\frac{2GM}{C^2}\frac{1}{r}=D\)

Пусть:
\(\frac{1}{r}=k(1+\varepsilon\cos\theta)\)
\(\frac{d}{d\theta}\frac{1}{r}=-k\varepsilon\sin\theta\)

Тогда:
\(\left(k\varepsilon\sin\theta\right)^2+k^2(1+\varepsilon\cos\theta)^2-\frac{2GM}{C^2}k(1+\varepsilon\cos\theta)=D\)

\(k^2\varepsilon^2+k^2+2k^2\varepsilon\cos\theta-\frac{2GM}{C^2}k(1+\varepsilon\cos\theta)=D\)

\(2k^2\varepsilon\cos\theta-\frac{2GM}{C^2}k\varepsilon\cos\theta=D\)

\(k=\frac{GM}{C^2}\)

\(r(\theta)=\frac{1}{GM}\frac{C^2}{1+\varepsilon\cos\theta}\)

\(\begin{equation*}
 \begin{cases}
   r(\theta)=\frac{1}{GM}\frac{C^2}{1+\varepsilon\cos\theta}\\
   r^2\dot{\theta}=C=2\frac{dS}{dt}
 \end{cases}
\end{equation*}\)

[Мастеров АВ]

\(\int\frac{C_1d\varphi}{(1+\varepsilon \cos \varphi )^2}=t+C\)

Сделаем замену переменных: \(x=tg{\frac{\varphi}{2}}\)
Тогда: \(\sin\varphi=\frac{2x}{1+x^2};\ \cos\varphi=\frac{1-x^2}{1+x^2};\ tg\ \varphi=\frac{2x}{1-x^2};\ ctg\ \varphi=\frac{1-x^2}{2x};\ d\varphi=\frac{2dx}{1+x^2};\)

\(\int\frac{2}{1+x^2}\frac{C_1dx}{(1+\varepsilon\frac{1-x^2}{1+x^2})^2}=t+C\)
\(2C_1\int\frac{(1+x^2)dx}{(1+x^2+\varepsilon(1-x^2))^2}=t+C\)
\(2C_1\int\frac{(1+x^2)dx}{(1+\varepsilon+(1-\varepsilon)x^2)^2}=t+C\)
\(2\frac{C_1}{1-\varepsilon}\int\frac{(1-\varepsilon+(1-\varepsilon)x^2)dx}{(1+\varepsilon+(1-\varepsilon)x^2)^2}=t+C\)
\(2\frac{C_1}{1-\varepsilon}\left(\int\frac{dx}{1+\varepsilon+(1-\varepsilon)x^2}-\int\frac{2\varepsilon dx}{(1+\varepsilon+(1-\varepsilon)x^2)^2}\right)=t+C\)
\(2\frac{C_1}{1-\varepsilon^2}\left(\int\frac{dx}{1+\frac{1-\varepsilon}{1+\varepsilon}x^2}-\frac{2\varepsilon}{1+\varepsilon}\int\frac{dx}{(1+\frac{1-\varepsilon}{1+\varepsilon}x^2)^2}\right)=t+C\)
\(2\frac{C_1}{1-\varepsilon^2}\sqrt{\frac{1+\varepsilon}{1-\varepsilon}}\left(\int\frac{d\sqrt{\frac{1-\varepsilon}{1+\varepsilon}}x}{1+\frac{1-\varepsilon}{1+\varepsilon}x^2}-\frac{2\varepsilon}{1+\varepsilon}\int\frac{d\sqrt{\frac{1-\varepsilon}{1+\varepsilon}}x}{(1+\frac{1-\varepsilon}{1+\varepsilon}x^2)^2}\right)=t+C\)
\(2\frac{C_1}{1-\varepsilon^2}\sqrt{\frac{1+\varepsilon}{1-\varepsilon}}\left(\int\frac{dy}{1+y^2}-\frac{2\varepsilon}{1+\varepsilon}\int\frac{dy}{(1+y^2)^2}\right)=t+C\)
\(2\frac{C_1}{1-\varepsilon^2}\sqrt{\frac{1+\varepsilon}{1-\varepsilon}}\left(arctg\left(\frac{y}{2}\right)-\frac{2\varepsilon}{1+\varepsilon}\left(\frac{y}{2(1+y^2)}+\frac{1}{2}arctg\left(\frac{y}{2}\right)\right)\right)=t+C\)
\(2\frac{C_1}{1-\varepsilon^2}\sqrt{\frac{1+\varepsilon}{1-\varepsilon}}\left(arctg\left(\frac{y}{2}\right)-\frac{\varepsilon}{1+\varepsilon}\frac{y}{(1+y^2)}-\frac{\varepsilon}{1+\varepsilon}arctg\left(\frac{y}{2}\right)\right)=t+C\)
\(2\frac{C_1}{1-\varepsilon^2}\sqrt{\frac{1+\varepsilon}{1-\varepsilon}}\left(\frac{1}{1+\varepsilon}arctg\left(\frac{y}{2}\right)-\frac{\varepsilon}{1+\varepsilon}\frac{y}{(1+y^2)}\right)=t+C\)
\(2\frac{C_1}{(1-\varepsilon^2)^{3/2}}\left(arctg\left(\frac{y}{2}\right)-\varepsilon\frac{y}{1+y^2}\right)=t+C\)
\(2\frac{C_1}{(1-\varepsilon^2)^{3/2}}\left(arctg\left(\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1-\varepsilon}{1+\varepsilon}}x\right)-\varepsilon\frac{\sqrt{\frac{1-\varepsilon}{1+\varepsilon}}x}{1+\frac{1-\varepsilon}{1+\varepsilon}x^2}\right)=t+C\)
\(2\frac{C_1}{(1-\varepsilon^2)^{3/2}}\left(arctg\left(\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1-\varepsilon}{1+\varepsilon}}tg{\frac{\varphi}{2}}\right)-\varepsilon\frac{\sqrt{\frac{1-\varepsilon}{1+\varepsilon}}tg{\frac{\varphi}{2}}}{1+\frac{1-\varepsilon}{1+\varepsilon}tg^2{\frac{\varphi}{2}}}\right)=t+C\)
\(arctg\left(\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1-\varepsilon}{1+\varepsilon}}tg{\frac{\varphi}{2}}\right)-\varepsilon\frac{\sqrt{\frac{1-\varepsilon}{1+\varepsilon}}tg{\frac{\varphi}{2}}}{1+\frac{1-\varepsilon}{1+\varepsilon}tg^2{\frac{\varphi}{2}}}=At+B\)
\(arctg\left(\frac{y}{2}\right)-\varepsilon\frac{y}{1+y^2}=At+B\)

\(\int\limits_o^\pi\frac{C_1d\varphi}{(1+\varepsilon \cos \varphi )^2}=\frac{C_1\pi}{(1-\varepsilon^2)^{3/2}}=\frac{T}{2}\)

[Мастеров АВ]

\(\begin{equation*}
 \begin{cases}
   r(\theta)=\frac{1}{GM}\frac{C^2}{1+\varepsilon\cos\theta}\\
   r^2\dot{\theta}=C=2\frac{dS}{dt}
 \end{cases}
\end{equation*}\)


\(\frac{C^3}{(GM)^2}\int\limits_o^\pi\frac{d\varphi}{(1+\varepsilon \cos \varphi )^2}=\frac{C^3}{(GM)^2}\frac{\pi}{(1-\varepsilon^2)^{3/2}}=\frac{T}{2}\)

\(\frac{16\pi}{(GM)^2}\frac{\left(\frac{dS}{dt}\right)^3}{(1-\varepsilon^2)^{3/2}}=T\)

\(\frac{16}{(GM)^2}\frac{\left(\frac{dS}{dt}\right)^4}{(1-\varepsilon^2)^{3/2}}=ab\)

\(\varepsilon^2=1-\left(\frac{b}{a}\right)^2\)

\(\frac{16}{(GM)^2}\frac{\left(\frac{dS}{dt}\right)^4}{\left(\frac{b}{a}\right)^3}=ab\)

\(\frac{16}{(GM)^2}\left(\frac{dS}{dt}\right)^4=\frac{b^4}{a^2}\)

\(\frac{4}{GM}\left(\frac{dS}{dt}\right)^2=\frac{b^2}{a}\)

\(\frac{dS}{dt}T=\pi ab\)

\(\frac{4}{GM}\left(\pi ab\right)^2=\frac{b^2}{a}T^2\)

\(\frac{4\pi^2}{GM}=\frac{T^2}{a^3}=const\) - Это - Третий Закон Кеплера

[Мастеров АВ]

Посчитаем массу Солнца

\(\frac{GM}{4\pi^2}=\frac{a^3}{T^2}\) - Третий Закон Кеплера
\(M=\frac{4\pi^2}{G}\frac{a^3}{T^2}\)
\(T=365,256\) суток \(=3,15581184_\dot{}10^{7}\) секунд
\(a=149,595\) млн км \(a=1,49595_\dot{}10^{14}\) метров
\(G=6.67408 × 10^{-11}\) м³ кг^-1 с^-2
\(\frac{4\pi^2}{G}=1,88286_\dot{}10^{11}\) кг с² м^-3
\(\frac{a^3}{T^2}=\frac{3,347736_\dot{}10^{42}}{9,959_\dot{}10^{14}}=3,3614684_\dot{}10^{27}\)  с^-2 м³
\(M=1,88286_\dot{}10^{11} × 3,3614684_\dot{}10^{27}=6,3291744_\dot{}10^{38}\)  кг

А по данным Википедии масса Солнца 1,989 10³⁰ кг

Наверно - я наврал.

[Король Альтов]

Посчитаем массу Солнца

\(\frac{GM}{4\pi^2}=\frac{a^3}{T^2}\) - Третий Закон Кеплера
\(M=\frac{4\pi^2}{G}\frac{a^3}{T^2}\)
\(T=365,256\) суток \(=3,15581184_\dot{}10^{7}\) секунд
\(a=149,595\) млн км \(a=1,49595_\dot{}10^{14}\) метров
\(G=6.67408 × 10^{-11}\) м³ кг^-1 с^-2
\(\frac{4\pi^2}{G}=1,88286_\dot{}10^{11}\) кг с² м^-3
\(\frac{a^3}{T^2}=\frac{3,347736_\dot{}10^{42}}{9,959_\dot{}10^{14}}=3,3614684_\dot{}10^{27}\)  с^-2 м³
\(M=1,88286_\dot{}10^{11} × 3,3614684_\dot{}10^{27}=6,3291744_\dot{}10^{38}\)  кг

А по данным Википедии масса Солнца 1,989 10³⁰ кг

Наверно - я наврал.

Неуч!
Земля движется не по эллипсу! Законы Кеплера это всего лишь первое приближение к действительности! 
а=1,496⋅10⁸ км=1,496⋅10¹¹ м
\(M=1,88286_\dot{}10^{11} × 3,3614684_\dot{}10^{18}=6,3291744_\dot{}10^{29}\)  кг
Идиот! Нучись переводить километры в метры! 

[severe]

Законы Кеплера это всего лишь первое приближение к действительности!

Настолько неточное, что даёт ошибку в массе Солнца на 8 порядков?

[Король Альтов]

Настолько неточное, что даёт ошибку в массе Солнца на 8 порядков?

Да уж вы правы - тут уж пускай автор композитор ищет у себя ошибки!
А еще тему озаглавил движение планет солнечной системы. А сам банально не может посчитать тривиальнейшую задачу кеплеровского движения Земли вокруг Солнца по эллипсу, то-есть в очень грубом приближении. Мне лично надоело искать ошибки у этого неуча, тем более что вместо благодарности он меня трет и оскорбляет.

[Иван Горин]

Да уж вы правы - тут уж пускай автор композитор ищет у себя ошибки!
А еще тему озаглавил движение планет солнечной системы. А сам банально не может посчитать тривиальнейшую задачу кеплеровского движения Земли вокруг Солнца по эллипсу, то-есть в очень грубом приближении. Мне лично надоело искать ошибки у этого неуча, тем более что вместо благодарности он меня трет и оскорбляет.

Посчитаем массу Солнца

\(\frac{GM}{4\pi^2}=\frac{a^3}{T^2}\) - Третий Закон Кеплера
\(M=\frac{4\pi^2}{G}\frac{a^3}{T^2}\)
\(T=365,256\) суток \(=3,15581184_\dot{}10^{7}\) секунд
\(a=149,595\) млн км \(a=1,49595_\dot{}10^{14}\) метров
\(G=6.67408 × 10^{-11}\) м³ кг^-1 с^-2
\(\frac{4\pi^2}{G}=1,88286_\dot{}10^{11}\) кг с² м^-3
\(\frac{a^3}{T^2}=\frac{3,347736_\dot{}10^{42}}{9,959_\dot{}10^{14}}=3,3614684_\dot{}10^{27}\)  с^-2 м³
\(M=1,88286_\dot{}10^{11} × 3,3614684_\dot{}10^{27}=6,3291744_\dot{}10^{38}\)  кг

А по данным Википедии масса Солнца 1,989 10³⁰ кг

Наверно - я наврал.

У Мастерова небольшие ошибки.
Поправим его
\(M=\frac{4\pi^2}{G}\frac{a^3}{T^2}\)
\(T=365,256\) суток \(=3,15581184_\dot{}10^{7}\) секунд
\(a=149,595\) млн км \(a=1,49595_\dot{}10^{11}\) метров
\(G=6.67408 × 10^{-11}\) м³ кг^-1 с^-2
\(\frac{4\pi^2}{G}=5,915185_\dot{}10^{11}\) кг с² м^-3

[Иван Горин]

\(\int\frac{C_1d\varphi}{(1+\varepsilon \cos \varphi )^2}=t+C\)

Сделаем замену переменных: \(x=tg{\frac{\varphi}{2}}\)
Тогда: \(\sin\varphi=\frac{2x}{1+x^2};\ \cos\varphi=\frac{1-x^2}{1+x^2};\ tg\ \varphi=\frac{2x}{1-x^2};\ ctg\ \varphi=\frac{1-x^2}{2x};\ d\varphi=\frac{2dx}{1+x^2};\)

\(\int\frac{2}{1+x^2}\frac{C_1dx}{(1+\varepsilon\frac{1-x^2}{1+x^2})^2}=t+C\)
\(2C_1\int\frac{(1+x^2)dx}{(1+x^2+\varepsilon(1-x^2))^2}=t+C\)
\(2C_1\int\frac{(1+x^2)dx}{(1+\varepsilon+(1-\varepsilon)x^2)^2}=t+C\)
\(2\frac{C_1}{1-\varepsilon}\int\frac{(1-\varepsilon+(1-\varepsilon)x^2)dx}{(1+\varepsilon+(1-\varepsilon)x^2)^2}=t+C\)
\(2\frac{C_1}{1-\varepsilon}\left(\int\frac{dx}{1+\varepsilon+(1-\varepsilon)x^2}-\int\frac{2\varepsilon dx}{(1+\varepsilon+(1-\varepsilon)x^2)^2}\right)=t+C\)
\(2\frac{C_1}{1-\varepsilon^2}\left(\int\frac{dx}{1+\frac{1-\varepsilon}{1+\varepsilon}x^2}-\frac{2\varepsilon}{1+\varepsilon}\int\frac{dx}{(1+\frac{1-\varepsilon}{1+\varepsilon}x^2)^2}\right)=t+C\)
\(2\frac{C_1}{1-\varepsilon^2}\sqrt{\frac{1+\varepsilon}{1-\varepsilon}}\left(\int\frac{d\sqrt{\frac{1-\varepsilon}{1+\varepsilon}}x}{1+\frac{1-\varepsilon}{1+\varepsilon}x^2}-\frac{2\varepsilon}{1+\varepsilon}\int\frac{d\sqrt{\frac{1-\varepsilon}{1+\varepsilon}}x}{(1+\frac{1-\varepsilon}{1+\varepsilon}x^2)^2}\right)=t+C\)
\(2\frac{C_1}{1-\varepsilon^2}\sqrt{\frac{1+\varepsilon}{1-\varepsilon}}\left(\int\frac{dy}{1+y^2}-\frac{2\varepsilon}{1+\varepsilon}\int\frac{dy}{(1+y^2)^2}\right)=t+C\)
\(2\frac{C_1}{1-\varepsilon^2}\sqrt{\frac{1+\varepsilon}{1-\varepsilon}}\left(arctg\left(\frac{y}{2}\right)-\frac{2\varepsilon}{1+\varepsilon}\left(\frac{y}{2(1+y^2)}+\frac{1}{2}arctg\left(\frac{y}{2}\right)\right)\right)=t+C\)
\(2\frac{C_1}{1-\varepsilon^2}\sqrt{\frac{1+\varepsilon}{1-\varepsilon}}\left(arctg\left(\frac{y}{2}\right)-\frac{\varepsilon}{1+\varepsilon}\frac{y}{(1+y^2)}-\frac{\varepsilon}{1+\varepsilon}arctg\left(\frac{y}{2}\right)\right)=t+C\)
\(2\frac{C_1}{1-\varepsilon^2}\sqrt{\frac{1+\varepsilon}{1-\varepsilon}}\left(\frac{1}{1+\varepsilon}arctg\left(\frac{y}{2}\right)-\frac{\varepsilon}{1+\varepsilon}\frac{y}{(1+y^2)}\right)=t+C\)
\(2\frac{C_1}{(1-\varepsilon^2)^{3/2}}\left(arctg\left(\frac{y}{2}\right)-\varepsilon\frac{y}{1+y^2}\right)=t+C\)
\(2\frac{C_1}{(1-\varepsilon^2)^{3/2}}\left(arctg\left(\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1-\varepsilon}{1+\varepsilon}}x\right)-\varepsilon\frac{\sqrt{\frac{1-\varepsilon}{1+\varepsilon}}x}{1+\frac{1-\varepsilon}{1+\varepsilon}x^2}\right)=t+C\)
\(2\frac{C_1}{(1-\varepsilon^2)^{3/2}}\left(arctg\left(\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1-\varepsilon}{1+\varepsilon}}tg{\frac{\varphi}{2}}\right)-\varepsilon\frac{\sqrt{\frac{1-\varepsilon}{1+\varepsilon}}tg{\frac{\varphi}{2}}}{1+\frac{1-\varepsilon}{1+\varepsilon}tg^2{\frac{\varphi}{2}}}\right)=t+C\)
\(arctg\left(\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1-\varepsilon}{1+\varepsilon}}tg{\frac{\varphi}{2}}\right)-\varepsilon\frac{\sqrt{\frac{1-\varepsilon}{1+\varepsilon}}tg{\frac{\varphi}{2}}}{1+\frac{1-\varepsilon}{1+\varepsilon}tg^2{\frac{\varphi}{2}}}=At+B\)
\(arctg\left(\frac{y}{2}\right)-\varepsilon\frac{y}{1+y^2}=At+B\)

\(\int\limits_o^\pi\frac{C_1d\varphi}{(1+\varepsilon \cos \varphi )^2}=\frac{C_1\pi}{(1-\varepsilon^2)^{3/2}}=\frac{T}{2}\)

Мастеров, у вас ошибка.
Должно быть так.
\(\int \frac{dy}{1+y^2}=\arctan y\)
\(2\frac{C_1}{(1-\varepsilon^2)^{3/2}}\left(arctg\left(\sqrt{\frac{1-\varepsilon}{1+\varepsilon}}tg{\frac{\varphi}{2}}\right)-\varepsilon\frac{\sqrt{\frac{1-\varepsilon}{1+\varepsilon}}tg{\frac{\varphi}{2}}}{1+\frac{1-\varepsilon}{1+\varepsilon}tg^2{\frac{\varphi}{2}}}\right)=t+C\)
Вам на эту ошибку в теме Дапа указал Король Альтов.
А вы эту ошибку повторяете.
В остальном у вас всё отлично.

[severe]

Я, кажется (!), нашёл ещё одну ошибку, которая тащится за DAPом (он же потом скажет, что это ваша ошибка ) https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0%BB%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D1%81#%D0%92_%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D1%8F%D1%80%D0%BD%D1%8B%D1%85_%D0%BA%D0%BE%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82%D0%B0%D1%85
"Знак минус соответствует помещению полюса полярных координат в левый фокус".
У Мастерова, судя по картинке, полюс в левом фокусе. Так что, \( r=\frac{p}{1-\varepsilon cos\theta} \), \( \frac{1}{r}=k(1-\varepsilon cos\theta) \).

[Мастеров АВ]

\(\begin{equation*}
 \begin{cases}
   \ddot{r}-r\dot{\theta}^2=-\frac{GM}{r^2}\\\
   r^2\dot{\theta}=C=2\frac{dS}{dt}
 \end{cases}
\end{equation*}\)

\(r^3 \ddot{r}+GMr=r^4\dot{\theta}^2=C^2\)