Приведём полное доказательство постоянства секторной скорости и другие выводы из задачи двух тел.
Движение малого тела массой m вокруг большого тела массой M.
Для упрощения выводов примем m<M.
Дифференциальное уравнение движения по законам Ньютона:
\(\displaystyle \ddot{\vec{r}}=-\frac{\gamma M}{r^3}\vec{r }\)
В проекциях:
\(\displaystyle \ddot{x}=-\frac{\gamma Mx}{r^3}\,(1),\,\ddot{y}=-\frac{\gamma My}{r^3}\,(2)\)
1) Постоянство секторной скорости
Разделим (2) на (1)
\(\displaystyle \frac{\ddot{y}}{\ddot{x}}=\frac{y}{x}\)
\(\displaystyle x\ddot{y}=y\ddot{x}\)
Принтегрируем по dt
\(\displaystyle \int x\frac{d^2y}{dt^2}dt=\int y\frac{d^2x}{dt^2x}dt\)
\(\displaystyle \int x\frac{d^2y}{dt}=\int y\frac{d^2x}{dt}\)
\(\displaystyle \int xd\dot{y}=\int yd\dot{x}\)
\(\displaystyle x\dot{y}-y\dot{x}=C_2\,(4)\)
Постоянную интегрирования С2 находим из начальных условий
\(\displaystyle x(0)=R_0,\,\dot{x}(0)=0,\,y(0)=0,\,\dot{y}(0)=V_0\)
\(\displaystyle C_2=R_0V_0\)
Левую часть выражения (4) найдём из кинематики движения материальной точки по криволинейной траектории относительно неподвижного центра.
\(\displaystyle x=rcos\varphi ,\,y=rsin\varphi\)
\(\displaystyle \dot{x}=\dot{r}cos\varphi -r\dot{\varphi }sin\varphi\)
\(\displaystyle \dot{y}=\dot{r}sin\varphi +r\dot{\varphi }cos\varphi\)
После преобразований получим:
\(\displaystyle x\dot{y}-y\dot{x}=r^2\dot{\varphi }\)
Подставим в (4)
\(\displaystyle r^2\dot{\varphi }=C_2\)
\(\displaystyle r^2\omega =C_2\) закон сохранения момента импульса.
Диференциал площади сектора dS с точностью до бесконечно малой второго порядка
\(\displaystyle dS=\frac{r^2d\varphi }{2}\)
Разделим обе части на dt и получим секторную скорость:
\(\displaystyle \frac{dS}{dt}=\frac{r^2 }{2}\frac{d\varphi}{dt}=\frac{r^2\omega }{2}=\frac{C_2}{2}=const\)
Площадь сектора за промежуток времени \(\displaystyle \Delta t\)
\(\displaystyle \Delta S=\frac{C_2}{2}\Delta t\) второй закон Кеплера
...
