Рассчитать электрическую цепь

[Ost]

В электрической цепи выключается рубильник К.
Найти закон изменения  токов \(i_1\), \(i_2\) и \(i_3\) в зависимости от времени, если
\(r_1=r_2=r=100~Ом\), \(L=1~Гн\), \(C=100~мкф\) и \(U=2000~в\).

[Иван Горин]

Расчет сделать двумя способами. Классическим и операторным.
Зта задача по ТОЭ для третьего курса технического вуза. Остались ли такие люди на БФ?

[Дробышев]

ТОЭ, переходные процессы в линейных цепях.



Токи в амперах, время в секундах:

\(i_1 =10[1+e^{-100 t}(\cos 100 t-\sin 100 t)]\) (красный),
\(i_2 =10[1+e^{-100 t}(\cos 100 t+\sin 100 t)]\) (зеленый),
\(i_3=-20 e^{-100 t} \sin 100 t\) (синий).

[Иван Горин]

ТОЭ, переходные процессы в линейных цепях.



Токи в амперах, время в секундах:

\(i_1 =10[1+e^{-100 t}(\cos 100 t-\sin 100 t)]\) (красный),
\(i_2 =10[1+e^{-100 t}(\cos 100 t+\sin 100 t)]\) (зеленый),
\(i_3=-20 e^{-100 t} \sin 100 t\) (синий).

Кто бы сомневался, что Дробышев не решит такую задачу по ТОЭ. Ждём специалистов, которые приведут полные выводы формул Дробышева.
Теперь есть ориентировка для проверки правильности решения.

Флуд в этой теме удаляю без предупреждений.

[Ost]

Можно немного преобразовать

\(i_1 =10[1+\sqrt{2}~e^{-100~t} \sin(100~t+135^{\circ})]\),
\(i_2 =10[1+\sqrt{2}~e^{-100~t} \sin(100~t+45^{\circ})]\),
\(i_3=-20 e^{-100~t}~\sin(100~t)\).

[Иван Горин]

Можно записать более симметрично.
\(i_1 =10[1-\sqrt{2}~e^{-100~t} \sin(100~t-45^{\circ})]\),
\(i_2 =10[1+\sqrt{2}~e^{-100~t} \sin(100~t+45^{\circ})]\),
\(i_3=-20 e^{-100~t}~\sin(100~t)\).

[Ost]

Составляем систему уравнений с использованием законов Кирхгофа.
\(\displaystyle U=r_1~i_1+L\frac{di_1}{dt}+\frac{1}{C}\int i_3~dt;\)  \((1)\)
\(\displaystyle U=r_1~i_1+L\frac{di_1}{dt}+r_2~i_2;\)           \((2)\)

\(\displaystyle i_1=i_2+i_3;\)                               \((3)\)

[Ost]

Дифференцируем \((1)\), умножаем на \(r_2\) и \(С\), результат суммируем с \((2)\).
С учётом \((3)\), получим уравнение
\(\displaystyle C~L~r_2 \frac{d^2 i_1}{dt^2}+(C~r_1~r_2+L)\frac{di_1}{dt}+(r_1+r_2)i_1=U\).

[Король Альтов]

В данной задаче предполагается, что цепь работала бесконечно долго до момента включения выключателя.
Как изменится решение задачи если
1). до момента включения выключателя цепь проработала время t_o ?
2). Источник напряжения является переменным u = 2000 * F(t), где F(t) - некоторая функция времени типа | F(t) | < 1 ?

[Ost]

Записываем характеристическое уравнение
\(\displaystyle C~L~r_2~p^2+(C~r_1~r_2+L)~p+(r_1+r_2)=0\).

[Ost]

[Ost]

\(\displaystyle i_1=A_1~e^{~p_1~t}+A_2~e^{~p_2~t}+A_3\);       \((4)\)

\(\displaystyle \frac{di_1}{dt}=A_1~p_1~e^{~p_1~t}+A_2~p_2~e^{~p_2~t}\);   \((5)\)

\(\displaystyle \frac{d^2i_1}{dt^2}=A_1~p_1^2~e^{~p_1~t}+A_2~p_2^2~e^{~p_2~t}\).  \((6)\)

[Ost]

Вычисляем коэффициенты \(A_n\).

При \(t \to \infty\) и разомкнутом ключе \(K\), установившийся ток равен
\(\displaystyle i_1(\infty)=\frac{U}{r_1+r_2}=A_3=10~a.\)

Для вычисления коэффициентов \(A_1\) и \(A_2\), используем уравнения \((4)\) и \((5)\) при \(t=0\).
Начальные токи определяем при замкнутом ключе
\(\displaystyle i_1(0)=i_2(0)=\frac{U}{r_2}=20~a\).

\(\displaystyle \left(\frac{di_1}{dt}\right)_{t=0}=\frac{U-r_1~i_1(0)-r_2~i_2(0)}{L}=-2000\), из уравнения \((2)\).



Токи \(i_2\) и \(i_3\) можно вычислить из уравнений \((2)\) и \((3)\).
Однако учитывая одинаковую структуру решений для токов, можно записать формально так 

\(\displaystyle i_2(0)=B_1+B_2+B_3\);     

\(\displaystyle \left(\frac{di_2}{dt}\right)_{t=0}=B_1~p_1+B_2~p_2\);   

При \(t \to \infty\) и разомкнутом ключе \(K\), установившийся ток равен
\(\displaystyle i_2(\infty)=\frac{U}{r_1+r_2}=B_3=10~A.\)

Из схемы следует \(\displaystyle r_2~i_2=\frac{1}{C}\int i_3~dt\);   \(\displaystyle \frac{di_2}{dt}=\frac{ i_3}{r_2~C}\);   \(\displaystyle \left(\frac{di_2}{dt}\right)_{t=0}=\frac{ i_1(0)-i_2(0)}{r_2~C}=0\).
...

[Король Альтов]

Для вычисления коэффициентов \(A_1\) и \(A_2\), используем уравнения \((4)\) и \((5)\) при \(t=0\) и замкнутом ключе.

А почему не разомкнутом ключе?
Обоснуйте пожалуйста.

[Ost]

А почему не разомкнутом ключе?
Обоснуйте пожалуйста.

Начальный ток формируется при замкнутом ключе.
При размыкании ток не может изменится мгновенно из-за наличия индуктивности \(L\).
Напряжение на конденсаторе тоже сохраняется в момент \(t=0\).

[Король Альтов]

Вычисляем коэффициенты \(A_n\).

При \(t \to \infty\) и разомкнутом ключе \(K\), установившийся ток равен
\(\displaystyle i_1(\infty)=\frac{U}{r_1+r_2}=A_3=10~a.\)

Для вычисления коэффициентов \(A_1\) и \(A_2\), используем уравнения \((4)\) и \((5)\) при \(t=0\).
Начальные токи определяем при замкнутом ключе
\(\displaystyle i_1(0)=i_2(0)=\frac{U}{r_2}=20~a\).

\(\displaystyle \left(\frac{di_1}{dt}\right)_{t=0}=\frac{U-r_1~i_1(0)-r_2~i_2(0)}{L}=-2000\), из уравнения \((2)\).
...

Нет вы запутались:
1). Функции токов непрерывны, вследствие наличия индуктивности, поэтому начальные токи определяем из условий стационарного режима при замкнутом ключе, то-есть в момент времени t=0, если система была включена в момент времени \( t = - \infty\) .
2). Производную по току ищем из условия постоянства суммы функций напряжения при известных начальных условиях токов.
PS. Если бы в схеме отсутствовала индуктивность, то начальное значение i₁=0

[Ost]

Нет вы запутались:
1). Функции токов непрерывны, вследствие наличия индуктивности, поэтому начальные токи определяем из условий стационарного режима при замкнутом ключе, то-есть в момент времени t=0, если система была включена в момент времени \( t = - \infty\) .
2). Производную по току ищем из условия постоянства суммы функций напряжения при известных начальных условиях токов.
PS. Если бы в схеме отсутствовала индуктивность, то начальное значение i₁=0

Схема имеет два состояния разделённых моментом \(t=0\). До размыкания ключа за \(t=-∞\), установился ток \(20~А\).
После размыкания ключа за \(t=∞\), установится ток равный \(10~А\). Ток изменяется на \(-10~А\) за время переходного процесса после размыкания ключа.
Это физическое обстоятельство, правильно запишется в уравнении для тока \(i_1(t)\), если считать, что при \(t=∞\) ток стремится к \(A_3=10~A\), экспоненты стремится к нулю.
Это соответствует также решению Дробышева.

[Ost]

[Ost]

\(\displaystyle i_3(0)=D_1+D_2+D_3\);

\(\displaystyle \left(\frac{di_3}{dt}\right)_{t=0}=D_1~p_1+D_2~p_2\).

[Ost]

\(\displaystyle i_3(0)=i_1(0)-i_2(0)=0\).

При \(t \to \infty\) и разомкнутом ключе \(K\), установившийся ток равен
\(\displaystyle i_3(\infty)=D_3=0.\)

\(\displaystyle \left(\frac{di_3}{dt}\right)_{t=0}=\left(\frac{di_1}{dt}\right)_{t=0}-\left(\frac{di_2}{dt}\right)_{t=0}=-2000\).