Автор Тема: Рассчитать электрическую цепь  (Прочитано 1351 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн Ost

  • Местный мудрец
  • *****
  • Сообщений: 777
  • Страна: ru
  • Рейтинг: +214/-28


В электрической цепи выключается рубильник К.
Найти закон изменения  токов \(i_1\), \(i_2\) и \(i_3\) в зависимости от времени, если
\(r_1=r_2=r=100~Ом\), \(L=1~Гн\), \(C=100~мкф\) и \(U=2000~в\).
« Последнее редактирование: 25 Май 2019, 18:04:06 от Ost »

Большой Форум

Загрузка...

Оффлайн Иван Горин

  • Модератор
  • Местный мудрец
  • *****
  • Сообщений: 2797
  • Страна: ru
  • Рейтинг: +466/-914
  • Пол: Мужской
Re: Рассчитать электрическую цепь
« Ответ #1 : 26 Май 2019, 20:40:58 »
Расчет сделать двумя способами. Классическим и операторным.
Зта задача по ТОЭ для третьего курса технического вуза. Остались ли такие люди на БФ?


Оффлайн Дробышев

  • Местный мудрец
  • *****
  • Сообщений: 514
  • Страна: su
  • Рейтинг: +108/-374
Re: Рассчитать электрическую цепь
« Ответ #2 : 26 Май 2019, 20:42:42 »
ТОЭ, переходные процессы в линейных цепях.



Токи в амперах, время в секундах:

\(i_1 =10[1+e^{-100 t}(\cos 100 t-\sin 100 t)]\) (красный),
\(i_2 =10[1+e^{-100 t}(\cos 100 t+\sin 100 t)]\) (зеленый),
\(i_3=-20 e^{-100 t} \sin 100 t\) (синий).

Оффлайн Иван Горин

  • Модератор
  • Местный мудрец
  • *****
  • Сообщений: 2797
  • Страна: ru
  • Рейтинг: +466/-914
  • Пол: Мужской
Re: Рассчитать электрическую цепь
« Ответ #3 : 26 Май 2019, 21:32:02 »
ТОЭ, переходные процессы в линейных цепях.



Токи в амперах, время в секундах:

\(i_1 =10[1+e^{-100 t}(\cos 100 t-\sin 100 t)]\) (красный),
\(i_2 =10[1+e^{-100 t}(\cos 100 t+\sin 100 t)]\) (зеленый),
\(i_3=-20 e^{-100 t} \sin 100 t\) (синий).
Кто бы сомневался, что Дробышев не решит такую задачу по ТОЭ. Ждём специалистов, которые приведут полные выводы формул Дробышева.
Теперь есть ориентировка для проверки правильности решения.

Флуд в этой теме удаляю без предупреждений.

Оффлайн Ost

  • Местный мудрец
  • *****
  • Сообщений: 777
  • Страна: ru
  • Рейтинг: +214/-28
Re: Рассчитать электрическую цепь
« Ответ #4 : 26 Май 2019, 23:52:00 »
Можно немного преобразовать

\(i_1 =10[1+\sqrt{2}~e^{-100~t} \sin(100~t+135^{\circ})]\),
\(i_2 =10[1+\sqrt{2}~e^{-100~t} \sin(100~t+45^{\circ})]\),
\(i_3=-20 e^{-100~t}~\sin(100~t)\).

Оффлайн Иван Горин

  • Модератор
  • Местный мудрец
  • *****
  • Сообщений: 2797
  • Страна: ru
  • Рейтинг: +466/-914
  • Пол: Мужской
Re: Рассчитать электрическую цепь
« Ответ #5 : 27 Май 2019, 20:07:20 »
Можно записать более симметрично.
\(i_1 =10[1-\sqrt{2}~e^{-100~t} \sin(100~t-45^{\circ})]\),
\(i_2 =10[1+\sqrt{2}~e^{-100~t} \sin(100~t+45^{\circ})]\),
\(i_3=-20 e^{-100~t}~\sin(100~t)\).



Оффлайн Ost

  • Местный мудрец
  • *****
  • Сообщений: 777
  • Страна: ru
  • Рейтинг: +214/-28
Re: Рассчитать электрическую цепь
« Ответ #6 : 28 Май 2019, 15:14:13 »


Составляем систему уравнений с использованием законов Кирхгофа.
\(\displaystyle U=r_1~i_1+L\frac{di_1}{dt}+\frac{1}{C}\int i_3~dt;\)  \((1)\)
\(\displaystyle U=r_1~i_1+L\frac{di_1}{dt}+r_2~i_2;\)           \((2)\)

\(\displaystyle i_1=i_2+i_3;\)                               \((3)\)
« Последнее редактирование: 28 Май 2019, 23:38:44 от Ost »

Оффлайн Ost

  • Местный мудрец
  • *****
  • Сообщений: 777
  • Страна: ru
  • Рейтинг: +214/-28
Re: Рассчитать электрическую цепь
« Ответ #7 : 28 Май 2019, 23:37:46 »
Дифференцируем \((1)\), умножаем на \(r_2\) и \(С\), результат суммируем с \((2)\).
С учётом \((3)\), получим уравнение
\(\displaystyle C~L~r_2 \frac{d^2 i_1}{dt^2}+(C~r_1~r_2+L)\frac{di_1}{dt}+(r_1+r_2)i_1=U\).
« Последнее редактирование: 29 Май 2019, 17:39:02 от Ost »

Оффлайн Король Альтов

  • Президент ЛАН
  • Местный мудрец
  • *****
  • Сообщений: 21802
  • Страна: ru
  • Рейтинг: +1027/-1607
  • Пол: Мужской
  • Рыцарь истины, свободы и справедливости.
Re: Рассчитать электрическую цепь
« Ответ #8 : 29 Май 2019, 13:36:29 »
В данной задаче предполагается, что цепь работала бесконечно долго до момента включения выключателя.
Как изменится решение задачи если
1). до момента включения выключателя цепь проработала время to ?
2). Источник напряжения является переменным u = 2000 * F(t), где F(t) - некоторая функция времени типа | F(t) | < 1 ?
Между Ньютоном и мной Альберт Эйнштейн третий лишний.
Вселенная вечна, бесконечна и бесконечномерна.

Оффлайн Ost

  • Местный мудрец
  • *****
  • Сообщений: 777
  • Страна: ru
  • Рейтинг: +214/-28
Re: Рассчитать электрическую цепь
« Ответ #9 : 29 Май 2019, 17:42:19 »
Записываем характеристическое уравнение
\(\displaystyle C~L~r_2~p^2+(C~r_1~r_2+L)~p+(r_1+r_2)=0\).

Оффлайн Ost

  • Местный мудрец
  • *****
  • Сообщений: 777
  • Страна: ru
  • Рейтинг: +214/-28
Re: Рассчитать электрическую цепь
« Ответ #10 : 29 Май 2019, 22:32:21 »

Оффлайн Ost

  • Местный мудрец
  • *****
  • Сообщений: 777
  • Страна: ru
  • Рейтинг: +214/-28
Re: Рассчитать электрическую цепь
« Ответ #11 : 30 Май 2019, 13:28:49 »
\(\displaystyle i_1=A_1~e^{~p_1~t}+A_2~e^{~p_2~t}+A_3\);       \((4)\)

\(\displaystyle \frac{di_1}{dt}=A_1~p_1~e^{~p_1~t}+A_2~p_2~e^{~p_2~t}\);   \((5)\)

\(\displaystyle \frac{d^2i_1}{dt^2}=A_1~p_1^2~e^{~p_1~t}+A_2~p_2^2~e^{~p_2~t}\).  \((6)\)

« Последнее редактирование: 31 Май 2019, 17:30:44 от Ost »

Оффлайн Ost

  • Местный мудрец
  • *****
  • Сообщений: 777
  • Страна: ru
  • Рейтинг: +214/-28
Re: Рассчитать электрическую цепь
« Ответ #12 : 31 Май 2019, 12:54:40 »


Вычисляем коэффициенты \(A_n\).

При \(t \to \infty\) и разомкнутом ключе \(K\), установившийся ток равен
\(\displaystyle i_1(\infty)=\frac{U}{r_1+r_2}=A_3=10~a.\)

Для вычисления коэффициентов \(A_1\) и \(A_2\), используем уравнения \((4)\) и \((5)\) при \(t=0\).
Начальные токи определяем при замкнутом ключе
\(\displaystyle i_1(0)=i_2(0)=\frac{U}{r_2}=20~a\).

\(\displaystyle \left(\frac{di_1}{dt}\right)_{t=0}=\frac{U-r_1~i_1(0)-r_2~i_2(0)}{L}=-2000\), из уравнения \((2)\).



Токи \(i_2\) и \(i_3\) можно вычислить из уравнений \((2)\) и \((3)\).
Однако учитывая одинаковую структуру решений для токов, можно записать формально так 

\(\displaystyle i_2(0)=B_1+B_2+B_3\);     

\(\displaystyle \left(\frac{di_2}{dt}\right)_{t=0}=B_1~p_1+B_2~p_2\);   

При \(t \to \infty\) и разомкнутом ключе \(K\), установившийся ток равен
\(\displaystyle i_2(\infty)=\frac{U}{r_1+r_2}=B_3=10~A.\)

Из схемы следует \(\displaystyle r_2~i_2=\frac{1}{C}\int i_3~dt\);   \(\displaystyle \frac{di_2}{dt}=\frac{ i_3}{r_2~C}\);   \(\displaystyle \left(\frac{di_2}{dt}\right)_{t=0}=\frac{ i_1(0)-i_2(0)}{r_2~C}=0\).
...
« Последнее редактирование: 15 Июнь 2019, 16:54:44 от Ost »

Оффлайн Король Альтов

  • Президент ЛАН
  • Местный мудрец
  • *****
  • Сообщений: 21802
  • Страна: ru
  • Рейтинг: +1027/-1607
  • Пол: Мужской
  • Рыцарь истины, свободы и справедливости.
Re: Рассчитать электрическую цепь
« Ответ #13 : 01 Июнь 2019, 08:49:11 »
Для вычисления коэффициентов \(A_1\) и \(A_2\), используем уравнения \((4)\) и \((5)\) при \(t=0\) и замкнутом ключе.
А почему не разомкнутом ключе?
Обоснуйте пожалуйста.
Между Ньютоном и мной Альберт Эйнштейн третий лишний.
Вселенная вечна, бесконечна и бесконечномерна.

Оффлайн Ost

  • Местный мудрец
  • *****
  • Сообщений: 777
  • Страна: ru
  • Рейтинг: +214/-28
Re: Рассчитать электрическую цепь
« Ответ #14 : 01 Июнь 2019, 13:42:24 »
А почему не разомкнутом ключе?
Обоснуйте пожалуйста.
Начальный ток формируется при замкнутом ключе.
При размыкании ток не может изменится мгновенно из-за наличия индуктивности \(L\).
Напряжение на конденсаторе тоже сохраняется в момент \(t=0\).

Оффлайн Король Альтов

  • Президент ЛАН
  • Местный мудрец
  • *****
  • Сообщений: 21802
  • Страна: ru
  • Рейтинг: +1027/-1607
  • Пол: Мужской
  • Рыцарь истины, свободы и справедливости.
Re: Рассчитать электрическую цепь
« Ответ #15 : 03 Июнь 2019, 12:57:05 »


Вычисляем коэффициенты \(A_n\).

При \(t \to \infty\) и разомкнутом ключе \(K\), установившийся ток равен
\(\displaystyle i_1(\infty)=\frac{U}{r_1+r_2}=A_3=10~a.\)

Для вычисления коэффициентов \(A_1\) и \(A_2\), используем уравнения \((4)\) и \((5)\) при \(t=0\).
Начальные токи определяем при замкнутом ключе
\(\displaystyle i_1(0)=i_2(0)=\frac{U}{r_2}=20~a\).

\(\displaystyle \left(\frac{di_1}{dt}\right)_{t=0}=\frac{U-r_1~i_1(0)-r_2~i_2(0)}{L}=-2000\), из уравнения \((2)\).
...
Нет вы запутались:
1). Функции токов непрерывны, вследствие наличия индуктивности, поэтому начальные токи определяем из условий стационарного режима при замкнутом ключе, то-есть в момент времени t=0, если система была включена в момент времени \( t = - \infty\) .
2). Производную по току ищем из условия постоянства суммы функций напряжения при известных начальных условиях токов.
PS. Если бы в схеме отсутствовала индуктивность, то начальное значение i1=0
« Последнее редактирование: 03 Июнь 2019, 13:05:53 от Король Альтов »
Между Ньютоном и мной Альберт Эйнштейн третий лишний.
Вселенная вечна, бесконечна и бесконечномерна.

Оффлайн Ost

  • Местный мудрец
  • *****
  • Сообщений: 777
  • Страна: ru
  • Рейтинг: +214/-28
Re: Рассчитать электрическую цепь
« Ответ #16 : 05 Июнь 2019, 13:31:18 »
Нет вы запутались:
1). Функции токов непрерывны, вследствие наличия индуктивности, поэтому начальные токи определяем из условий стационарного режима при замкнутом ключе, то-есть в момент времени t=0, если система была включена в момент времени \( t = - \infty\) .
2). Производную по току ищем из условия постоянства суммы функций напряжения при известных начальных условиях токов.
PS. Если бы в схеме отсутствовала индуктивность, то начальное значение i1=0

Схема имеет два состояния разделённых моментом \(t=0\). До размыкания ключа за \(t=-∞\), установился ток \(20~А\).
После размыкания ключа за \(t=∞\), установится ток равный \(10~А\). Ток изменяется на \(-10~А\) за время переходного процесса после размыкания ключа.
Это физическое обстоятельство, правильно запишется в уравнении для тока \(i_1(t)\), если считать, что при \(t=∞\) ток стремится к \(A_3=10~A\), экспоненты стремится к нулю.
Это соответствует также решению Дробышева.

Оффлайн Ost

  • Местный мудрец
  • *****
  • Сообщений: 777
  • Страна: ru
  • Рейтинг: +214/-28
Re: Рассчитать электрическую цепь
« Ответ #17 : 15 Июнь 2019, 17:14:42 »

Оффлайн Ost

  • Местный мудрец
  • *****
  • Сообщений: 777
  • Страна: ru
  • Рейтинг: +214/-28
Re: Рассчитать электрическую цепь
« Ответ #18 : 16 Июнь 2019, 15:53:33 »
\(\displaystyle i_3(0)=D_1+D_2+D_3\);

\(\displaystyle \left(\frac{di_3}{dt}\right)_{t=0}=D_1~p_1+D_2~p_2\).
« Последнее редактирование: 16 Июнь 2019, 19:53:47 от Ost »

Оффлайн Ost

  • Местный мудрец
  • *****
  • Сообщений: 777
  • Страна: ru
  • Рейтинг: +214/-28
Re: Рассчитать электрическую цепь
« Ответ #19 : 21 Июнь 2019, 16:38:21 »
\(\displaystyle i_3(0)=i_1(0)-i_2(0)=0\).

При \(t \to \infty\) и разомкнутом ключе \(K\), установившийся ток равен
\(\displaystyle i_3(\infty)=D_3=0.\)

\(\displaystyle \left(\frac{di_3}{dt}\right)_{t=0}=\left(\frac{di_1}{dt}\right)_{t=0}-\left(\frac{di_2}{dt}\right)_{t=0}=-2000\).

« Последнее редактирование: 21 Июнь 2019, 18:53:00 от Ost »

Большой Форум

Re: Рассчитать электрическую цепь
« Ответ #19 : 21 Июнь 2019, 16:38:21 »
Загрузка...