Автор Тема: Пневматическая ракета  (Прочитано 1173 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн Ost

  • Местный мудрец
  • *****
  • Сообщений: 777
  • Страна: ru
  • Рейтинг: +214/-28
Пневматическая ракета
« : 17 Июнь 2019, 18:17:08 »
Пневматическая ракета массой \(M=200~грамм\), содержит воду в количестве \(100~мл\)
и газ \(V_0=100~мл\), при давлении \(p_0=10~ат\). (избыточное)
Найти высоту подъёма, если активный режим выброса воды длился \(t_w=1~секунду\).
Площадь поперечного сечения бака с водой, постоянная.

Гидродинамическим сопротивлением пренебрегаем.
Сопротивление воздуха не учитываем.
Пренебрегаем ускорением воды внутри бака.

Показатель адиабаты для воздуха \(\displaystyle \gamma=\frac{7}{5}=1,4.\)
Ускорение свободного падения \(g=9.80665~м/с^2\).
Плотность воды \(\rho_w=1000~кг/м^3\).
Температура воздуха и воды \(t_0=20^{\circ}C\) (внутри бака).
\(1~ат\equiv 101325~Па\).
« Последнее редактирование: 08 Июль 2019, 13:03:06 от Ost »

Большой Форум

Пневматическая ракета
« : 17 Июнь 2019, 18:17:08 »
Загрузка...

Оффлайн Andrey_R

  • Пламенный трибун
  • ****
  • Сообщений: 266
  • Страна: su
  • Рейтинг: +27/-5
Re: Пневматическая ракета
« Ответ #1 : 27 Июнь 2019, 19:22:02 »
Только зачем нам температура воздуха и воды?

Оффлайн Ost

  • Местный мудрец
  • *****
  • Сообщений: 777
  • Страна: ru
  • Рейтинг: +214/-28
Re: Пневматическая ракета
« Ответ #2 : 27 Июнь 2019, 19:43:05 »
Только зачем нам температура воздуха и воды?
После воды, выходит сжатый газ, дающий дополнительный импульс.
Для расчёта этого импульса и нужна начальная температура воздуха.
« Последнее редактирование: 27 Июнь 2019, 19:53:32 от Ost »

Оффлайн Andrey_R

  • Пламенный трибун
  • ****
  • Сообщений: 266
  • Страна: su
  • Рейтинг: +27/-5
Re: Пневматическая ракета
« Ответ #3 : 27 Июнь 2019, 21:46:51 »
После воды, выходит сжатый газ, дающий дополнительный импульс.
Для расчёта этого импульса и нужна начальная температура воздуха.
Если буквально, то ракета содержит не воздух, а "газ". Температура нужна для него, а не для воздуха (и не для воды). 

Оффлайн Ost

  • Местный мудрец
  • *****
  • Сообщений: 777
  • Страна: ru
  • Рейтинг: +214/-28
Re: Пневматическая ракета
« Ответ #4 : 27 Июнь 2019, 21:57:10 »
Если буквально, то ракета содержит не воздух, а "газ". Температура нужна для него, а не для воздуха (и не для воды).
Да, есть недоработка.
Имел ввиду, что строка про температуру воздуха и воды, относится к внутренности ракеты, и тем самым
уточняет какой там газ.

Оффлайн Andrey_R

  • Пламенный трибун
  • ****
  • Сообщений: 266
  • Страна: su
  • Рейтинг: +27/-5
Re: Пневматическая ракета
« Ответ #5 : 27 Июнь 2019, 22:22:27 »
Да, есть недоработка.
Имел ввиду, что строка про температуру воздуха и воды, относится к внутренности ракеты, и тем самым
уточняет какой там газ.

В общем, если на глаз, ракета получит скорость где-то 10  м/c и, соответственно, поднимется где-то тоже метров чуть больше чем на 10. Газа здесь мало, вклада он не даст (его скорость по сравнению. с водой растет не так сильно, как падает плотность). А вода будет сначала испускаться со скоростью 45m/с, а в конце около 30. Так что 15 м/c ракета набрать не сможет.

Можно, конечно, два раза интегрировать уравнение мещерского для воды и для газа, но большой точности все равно не будет: т.к. дано только общее время истекания воды, то уравнение Бернулли тоже придется интегрировать, и точная  аналитическая формула без усреднения давления за время истекания воды  получиться не должна, а с усреднением точность все равно небольшая.       

Оффлайн Ost

  • Местный мудрец
  • *****
  • Сообщений: 777
  • Страна: ru
  • Рейтинг: +214/-28
Re: Пневматическая ракета
« Ответ #6 : 28 Июнь 2019, 11:35:16 »
В общем, если на глаз, ракета получит скорость где-то 10  м/c и, соответственно, поднимется где-то тоже метров чуть больше чем на 10. Газа здесь мало, вклада он не даст (его скорость по сравнению. с водой растет не так сильно, как падает плотность). А вода будет сначала испускаться со скоростью 45m/с, а в конце около 30. Так что 15 м/c ракета набрать не сможет.

Можно, конечно, два раза интегрировать уравнение мещерского для воды и для газа, но большой точности все равно не будет: т.к. дано только общее время истекания воды, то уравнение Бернулли тоже придется интегрировать, и точная  аналитическая формула без усреднения давления за время истекания воды  получиться не должна, а с усреднением точность все равно небольшая.       
Начинаем с расчёта расхода воды.
Составляем уравнения:
1. расхода воды.
2. адиабатного расширения воздуха.
3. Уравнение Бернулли.
В последнем пункте пренебрегаем динамикой воды внутри бака.
Вода в баке ускоряется. При старте происходит быстрый разгон воды в баке.
В процессе работы будет торможение потока и суммарное давление будет несколько больше газового.
Это компенсирует потери давления в момент старта, при разгоне воды в баке.
« Последнее редактирование: 28 Июнь 2019, 12:21:04 от Ost »

Оффлайн Andrey_R

  • Пламенный трибун
  • ****
  • Сообщений: 266
  • Страна: su
  • Рейтинг: +27/-5
Re: Пневматическая ракета
« Ответ #7 : 28 Июнь 2019, 14:42:19 »
Начинаем с расчёта расхода воды.
Составляем уравнения:
1. расхода воды.
2. адиабатного расширения воздуха.
3. Уравнение Бернулли.
В последнем пункте пренебрегаем динамикой воды внутри бака.
Вода в баке ускоряется. При старте происходит быстрый разгон.
В процессе работы будет торможение потока.

Зачем-то Вы усложнили задачу. При таком объеме и времени 1 с процесс с большим основанием, как мне кажется, можно считать изотермическим.
Еще бы хорошо в условии указать, ракета у нас в атмосфере земли или в пустоте - от этого будет зависеть разность давлений, особенно в конце разгона и если процесс считать адиабатическим.
 
В остальном согласен. Я писал примерно про то же. Все эти уравнения решать лень, хотя они простые:
PV=nRT
dV= - Su dt
 \(\rho~V^2/2~=(P-p)\)
и
PVk=const,
где u - скорость воды, V и P- объем и давление газа, p - давление снаружи ракеты, k=7/5 и 1 для адиабаты и изотермы.

Но высота все равно около 10м получится.

Оффлайн Ost

  • Местный мудрец
  • *****
  • Сообщений: 777
  • Страна: ru
  • Рейтинг: +214/-28
Re: Пневматическая ракета
« Ответ #8 : 28 Июнь 2019, 14:56:33 »
Зачем-то Вы усложнили задачу. При таком объеме и времени 1 с процесс с большим основанием, как мне кажется, можно считать изотермическим.
Еще бы хорошо в условии указать, ракета у нас в атмосфере земли или в пустоте - от этого будет зависеть разность давлений, особенно в конце разгона и если процесс считать адиабатическим.
 
В остальном согласен. Я писал примерно про то же. Все эти уравнения решать лень, хотя они простые:
PV=nRT
dV= - Su dt
 \(\rho~V^2/2~=(P-p)\)
и
PVk=const,
где u - скорость воды, V и P- объем и давление газа, p - давление снаружи ракеты, k=7/5 и 1 для адиабаты и изотермы.

Но высота все равно около 10м получится.
Цитировать
Зачем-то Вы усложнили задачу. При таком объеме и времени 1 с процесс с большим основанием, как мне кажется, можно считать изотермическим.
Теплопроводность воздуха незначительна, движение в объёме воздуха при расширении будет ламинарное.
Не успеет прогреться.

Давление \(p_0\) считаем избыточным.





Оффлайн Andrey_R

  • Пламенный трибун
  • ****
  • Сообщений: 266
  • Страна: su
  • Рейтинг: +27/-5
Re: Пневматическая ракета
« Ответ #9 : 28 Июнь 2019, 17:28:25 »
Теплопроводность воздуха незначительна, движение в объёме воздуха при расширении будет ламинарное.
Не успеет прогреться.

Давление p0 считаем избыточным.

Да, наверно, к адиабате все-таки ближе, вы правы.
Но величину внешнего  давление все равно знать надо, оно тогда в уравнение состояния войдет, если уйдет из уравнения движения. 

Оффлайн Ost

  • Местный мудрец
  • *****
  • Сообщений: 777
  • Страна: ru
  • Рейтинг: +214/-28
Re: Пневматическая ракета
« Ответ #10 : 28 Июнь 2019, 17:47:55 »
Да, наверно, к адиабате все-таки ближе, вы правы.
Но величину внешнего  давление все равно знать надо, оно тогда в уравнение состояния войдет, если уйдет из уравнения движения.
Избыточное давление измеряется от уровне атмосферного, соответственно внешнее равно стандартному атмосферному.

« Последнее редактирование: 05 Июль 2019, 16:22:02 от Ost »

Оффлайн Ost

  • Местный мудрец
  • *****
  • Сообщений: 777
  • Страна: ru
  • Рейтинг: +214/-28
Re: Пневматическая ракета
« Ответ #11 : 29 Июнь 2019, 10:19:04 »
\(\displaystyle \frac{dV}{dt}~-\) скорость изменения объёма газа; \(\displaystyle \frac{dV_w}{dt}~-\) расход воды;

\(\displaystyle v_1~-\) скорость на выходе из сопла; \(\displaystyle v_2~-\) скорость изменения уровня воды в баке;

\(\displaystyle S_1~-\) площадь сечения сопла; \(\displaystyle S_2~-\) площадь сечения бака;

\(\displaystyle p_a~-\) атмосферное давление; \(\displaystyle \rho_w~-\) плотность воды;


\(\displaystyle \frac{dV}{dt}=v_1~S_1=v_2~S_2=- \frac{dV_w}{dt}~-\) уравнение объёмного расхода воды;  (1)

\(\displaystyle p~V^\gamma=(p_0+p_a)~V_0^\gamma\);    \(\displaystyle p~=(p_0+p_a)~\frac{V_0^\gamma}{V^\gamma}~-\) давление при адиабатном расширении газа;  (2)

\(\displaystyle m=M-\rho_w~(V-V_0)~-\) масса ракеты;

\(\displaystyle V_w=2V_0-V~-\) объём воды в баке;

\(\displaystyle h_w=\frac{2V_0-V}{S_2}~-\) глубина воды в баке;

\(\displaystyle \frac{\rho_w~v_1^2}{2}+p_a=\frac{\rho_w~v_2^2}{2}+p+\rho_w~(a-a_2)~h_w~-\) уравнение Бернулли с учётом ускорения воды в баке; \(\displaystyle a_2=\frac{dv_2}{dt}\);  (3)

\(\displaystyle F=\rho_w~\frac{dV}{dt}~v_1=\frac{\rho_w}{S_1}~\left(\frac{dV}{dt}\right)^2~-\) реактивная сила;

\(\displaystyle a =\frac{\rho_w}{S_1~(M-\rho_w~(V-V_0))}~\left(\frac{dV}{dt}\right)^2~-\) ускорение ракеты.  (4)
...
« Последнее редактирование: 05 Июль 2019, 16:14:15 от Ost »

Оффлайн Ost

  • Местный мудрец
  • *****
  • Сообщений: 777
  • Страна: ru
  • Рейтинг: +214/-28
Re: Пневматическая ракета
« Ответ #12 : 30 Июнь 2019, 13:32:54 »
Интегрируем ускорение (4).

\(\displaystyle a =\frac{\rho_w}{S_1~(M-\rho_w~(V-V_0))}~\left(\frac{dV}{dt}\right)^2 = \frac{1}{S_1~\left(\frac{M}{\rho_w} +V_0-V\right)}~\frac{dV}{dt} \frac{dV}{dt}\).

« Последнее редактирование: 02 Июль 2019, 14:35:20 от Ost »

Оффлайн Ost

  • Местный мудрец
  • *****
  • Сообщений: 777
  • Страна: ru
  • Рейтинг: +214/-28
Re: Пневматическая ракета
« Ответ #13 : 30 Июнь 2019, 17:45:15 »
Разделяем переменные

\(\displaystyle a~dt~dt =\frac{dV~dV}{S_1~\left(\frac{M}{\rho_w} +V_0-V\right)}\).

« Последнее редактирование: 02 Июль 2019, 14:34:58 от Ost »

Оффлайн Ost

  • Местный мудрец
  • *****
  • Сообщений: 777
  • Страна: ru
  • Рейтинг: +214/-28
Re: Пневматическая ракета
« Ответ #14 : 01 Июль 2019, 16:25:14 »
Перемещение за время выброса воды

\(\displaystyle s=\int\limits_{0}^{t} \int\limits_{0}^{t}  a~dt~dt =\int\limits_{V_0}^{V} \int\limits_{V_0}^{V} \frac{dV~dV}{S_1~\left(\frac{M}{\rho_w} +V_0-V\right)}= \frac{1}{S_1} \left(V-V_0+\left(\frac{M}{\rho_w} +V_0-V\right) Ln\left(\frac{M+\rho_w (V_0-V)}{M} \right)\right)\).

Скорость ракеты

\(\displaystyle v=\frac{ds}{dt}=-\frac{1}{S_1}Ln\left(\frac{M+\rho_w (V_0-V)}{M} \right) \frac{dV}{dt}\).

Вычисляем скорость ракеты после завершения выброса воды

\(\displaystyle v_m=-\frac{1}{S_1}Ln\left(\frac{M-\rho_w V_0}{M} \right) \left(\frac{dV}{dt} \right)_{2V_0}\).

Применяем уравнение Бернулли. В точке (\(2V_0\))\(h_w=0\).

\(\displaystyle \frac{\rho_w~v_1^2}{2}+p_a=\frac{\rho_w~v_2^2}{2}+p\);     \(\displaystyle \frac{\rho_w}{2}(v_1^2-v_2^2)=\frac{1}{2^\gamma}(p_0+p_a)-p_a\); 

\(\displaystyle \frac{\rho_w}{2}\left(\frac{dV}{dt}\right)^2 \left(\frac{1}{S_1^2}-\frac{1}{S_2^2} \right)=2^{-\gamma} (p_0+p_a)-p_a\);     \(\displaystyle \frac{\rho_w}{2~S_1^2}\left(\frac{dV}{dt}\right)^2 \left(1-k^2 \right)=2^{-\gamma} (p_0+p_a)-p_a\), где \(\displaystyle k=\frac{S_1}{S_2}\)
 
\(\displaystyle \left(\frac{dV}{dt} \right)_{2V_0}=S_1~\sqrt{\frac{2}{\rho_w} \frac{2^{-\gamma} (p_0+p_a)-p_a}{1-k^2}}\);

\(\displaystyle v_m=-Ln\left(\frac{M-\rho_w V_0}{M} \right) \sqrt{\frac{2}{\rho_w} \frac{2^{-\gamma} (p_0+p_a)-p_a}{1-k^2}}\).

Пренебрегаем ускорением воды в баке, по условию задачи.

Это условие можно сформулировать так:

\(\displaystyle p>>\rho_w~(a-a_2)~h_w\), что равносильно \(S_2>>S_1\).

С учётом этого выбираем \(k=0.003\).

Тогда \(v_m=17.563~м/с\).

С учётом гравитации \(v_{mg}=v_m-g~t_w=7.757~м/с\).
Высота подъёма, без учёта выброса газа, на инерционном участке траектории равна \(\displaystyle s_1=\frac{v_{mg}^2}{2g}=3.068~м\).

Находим \(s\), для этого необходимо вычислить площадь \(S_1\) из уравнения (3)

\(\displaystyle \frac{dV}{dt}=S_1~\sqrt{\frac{2}{\rho_w} \frac{(p_0+p_a)~V_0^\gamma~V^{-\gamma} -p_a}{1-k^2}}\);

\(\displaystyle \frac{dV}{dt}=S_1~\sqrt{\frac{2(p_0+p_a)~V_0^\gamma}{\rho_w~(1-k^2)} } \sqrt{V^{-\gamma} - \frac{p_a}{(p_0+p_a)~V_0^\gamma}}\).

Разделяем переменные

\(\displaystyle \frac{dV}{ \sqrt{V^{-\gamma} - \frac{p_a}{(p_0+p_a)~V_0^\gamma}}}=S_1~\sqrt{\frac{2(p_0+p_a)~V_0^\gamma}{\rho_w~(1-k^2)} }~dt\).


Интегрируем

\(\displaystyle \int\limits_{V_0}^{2V_0} \frac{dV}{ \sqrt{V^{-\gamma} - \frac{p_a}{(p_0+p_a)~V_0^\gamma}}}=S_1~\sqrt{\frac{2(p_0+p_a)~V_0^\gamma}{\rho_w~(1-k^2)} }~t_w\).          (5)

...
 

« Последнее редактирование: 08 Июль 2019, 18:10:59 от Ost »

Оффлайн Andrey_R

  • Пламенный трибун
  • ****
  • Сообщений: 266
  • Страна: su
  • Рейтинг: +27/-5
Re: Пневматическая ракета
« Ответ #15 : 02 Июль 2019, 12:51:05 »
Перемещение за время выброса воды

\(\displaystyle s=\int\limits_{0}^{t} \int\limits_{0}^{t}  a~dt~dt =\int\limits_{V_0}^{V} \int\limits_{V_0}^{V} \frac{dV~dV}{S_1~\left(\frac{M}{\rho_w} +V_0-V\right)}= \frac{1}{S_1} \left(V-V_0+\left(\frac{M}{\rho_w} +V_0-V\right) Ln\left(\frac{M+\rho_w (V_0-V)}{M} \right)\right)\);

Скорость ракеты

\(\displaystyle v=\frac{ds}{dt}=-\frac{1}{S_1}Ln\left(\frac{M+\rho_w (V_0-V)}{M} \right) \frac{dV}{dt}\);


...

Оригинально, красиво. Осталось так же красиво найти S1

Оффлайн Ost

  • Местный мудрец
  • *****
  • Сообщений: 777
  • Страна: ru
  • Рейтинг: +214/-28
Re: Пневматическая ракета
« Ответ #16 : 08 Июль 2019, 15:21:14 »
Оригинально, красиво. Осталось так же красиво найти S1
Да, смотрится, однако S1 вычисляется через интеграл (5), который, если и выражается
через элементарные функции, то очень громоздко.
 

Оффлайн Andrey_R

  • Пламенный трибун
  • ****
  • Сообщений: 266
  • Страна: su
  • Рейтинг: +27/-5
Re: Пневматическая ракета
« Ответ #17 : 08 Июль 2019, 18:30:59 »
Да, смотрится, однако S1 вычисляется через интеграл (5), который, если и выражается
через элементарные функции, то очень громоздко.

Да, я так сразу и понял, что "точная  аналитическая формула без усреднения давления за время истекания воды  получиться не должна, а с усреднением точность все равно небольшая". Поэтому мне и показалось, что проще сделать оценку - около 10м. У вас получится, наверно, метров 8.

Хотя в целом, конечно, решение очень красивое, хотя аналитическогответа в замкнутом виде и не выходит.

Оффлайн Ost

  • Местный мудрец
  • *****
  • Сообщений: 777
  • Страна: ru
  • Рейтинг: +214/-28
Re: Пневматическая ракета
« Ответ #18 : 10 Июль 2019, 12:53:29 »
Да, я так сразу и понял, что "точная  аналитическая формула без усреднения давления за время истекания воды  получиться не должна, а с усреднением точность все равно небольшая". Поэтому мне и показалось, что проще сделать оценку - около 10м. У вас получится, наверно, метров 8.

Хотя в целом, конечно, решение очень красивое, хотя аналитического ответа в замкнутом виде и не выходит.
Точность хорошая, она определяется условием \(S_1<<S_2\) и точностью вычисления интеграла (5), который нормирует площадь \(S_1\) по условию \(t_w\).
Это видно на числовой модели этого процесса. Эту математическую модель, покажу потом, в этой теме.

Оффлайн Ost

  • Местный мудрец
  • *****
  • Сообщений: 777
  • Страна: ru
  • Рейтинг: +214/-28
Re: Пневматическая ракета
« Ответ #19 : 10 Июль 2019, 13:05:58 »


Интеграл (5) не выражается через элементарные функции, но его можно преобразовать.
« Последнее редактирование: 12 Июль 2019, 14:16:29 от Ost »

Большой Форум

Re: Пневматическая ракета
« Ответ #19 : 10 Июль 2019, 13:05:58 »
Загрузка...