Перемещение за время выброса воды
\(\displaystyle s=\int\limits_{0}^{t} \int\limits_{0}^{t} a~dt~dt =\int\limits_{V_0}^{V} \int\limits_{V_0}^{V} \frac{dV~dV}{S_1~\left(\frac{M}{\rho_w} +V_0-V\right)}= \frac{1}{S_1} \left(V-V_0+\left(\frac{M}{\rho_w} +V_0-V\right) Ln\left(\frac{M+\rho_w (V_0-V)}{M} \right)\right)\).
Скорость ракеты
\(\displaystyle v=\frac{ds}{dt}=-\frac{1}{S_1}Ln\left(\frac{M+\rho_w (V_0-V)}{M} \right) \frac{dV}{dt}\).
Вычисляем скорость ракеты после завершения выброса воды
\(\displaystyle v_m=-\frac{1}{S_1}Ln\left(\frac{M-\rho_w V_0}{M} \right) \left(\frac{dV}{dt} \right)_{2V_0}\).
Применяем уравнение Бернулли. В точке (\(2V_0\)), \(h_w=0\).
\(\displaystyle \frac{\rho_w~v_1^2}{2}+p_a=\frac{\rho_w~v_2^2}{2}+p\); \(\displaystyle \frac{\rho_w}{2}(v_1^2-v_2^2)=\frac{1}{2^\gamma}(p_0+p_a)-p_a\);
\(\displaystyle \frac{\rho_w}{2}\left(\frac{dV}{dt}\right)^2 \left(\frac{1}{S_1^2}-\frac{1}{S_2^2} \right)=2^{-\gamma} (p_0+p_a)-p_a\); \(\displaystyle \frac{\rho_w}{2~S_1^2}\left(\frac{dV}{dt}\right)^2 \left(1-k^2 \right)=2^{-\gamma} (p_0+p_a)-p_a\), где \(\displaystyle k=\frac{S_1}{S_2}\).
\(\displaystyle \left(\frac{dV}{dt} \right)_{2V_0}=S_1~\sqrt{\frac{2}{\rho_w} \frac{2^{-\gamma} (p_0+p_a)-p_a}{1-k^2}}\);
\(\displaystyle v_m=-Ln\left(\frac{M-\rho_w V_0}{M} \right) \sqrt{\frac{2}{\rho_w} \frac{2^{-\gamma} (p_0+p_a)-p_a}{1-k^2}}\).
Пренебрегаем ускорением воды в баке, по условию задачи.
Это условие можно сформулировать так:
\(\displaystyle p>>\rho_w~(a-a_2)~h_w\), что равносильно \(S_2>>S_1\).
С учётом этого выбираем \(k=0.003\).
Тогда \(v_m=17.563~м/с\).
С учётом гравитации \(v_{mg}=v_m-g~t_w=7.757~м/с\).
Высота подъёма, без учёта выброса газа, на инерционном участке траектории равна \(\displaystyle s_1=\frac{v_{mg}^2}{2g}=3.068~м\).
Находим \(s\), для этого необходимо вычислить площадь \(S_1\) из уравнения (3)
\(\displaystyle \frac{dV}{dt}=S_1~\sqrt{\frac{2}{\rho_w} \frac{(p_0+p_a)~V_0^\gamma~V^{-\gamma} -p_a}{1-k^2}}\);
\(\displaystyle \frac{dV}{dt}=S_1~\sqrt{\frac{2(p_0+p_a)~V_0^\gamma}{\rho_w~(1-k^2)} } \sqrt{V^{-\gamma} - \frac{p_a}{(p_0+p_a)~V_0^\gamma}}\).
Разделяем переменные
\(\displaystyle \frac{dV}{ \sqrt{V^{-\gamma} - \frac{p_a}{(p_0+p_a)~V_0^\gamma}}}=S_1~\sqrt{\frac{2(p_0+p_a)~V_0^\gamma}{\rho_w~(1-k^2)} }~dt\).
Интегрируем
\(\displaystyle \int\limits_{V_0}^{2V_0} \frac{dV}{ \sqrt{V^{-\gamma} - \frac{p_a}{(p_0+p_a)~V_0^\gamma}}}=S_1~\sqrt{\frac{2(p_0+p_a)~V_0^\gamma}{\rho_w~(1-k^2)} }~t_w\). (5)
...