Пневматическая ракета

[Andrey_R]

Точность хорошая, она определяется условием \(S_1<<S_2\) и точностью вычисления интеграла (5), который нормирует площадь \(S_1\) по условию \(t_w\).
Это видно на числовой модели этого процесса. Эту математическую модель, покажу потом, в этой теме.

Моё замечание насчет точности относилось к приближенной аналитической формуле для ответа, которую можно было бы легко получить. При численном расчете интеграла, как у вас, точность, естественно, можно получить любую, с ошибкой в k²

[Ost]

Из (5) \(S_1=3.075 \bullet 10^{-6}~м^2 \equiv 3.075~мм^2\)

Высота подъёма на активном участке траектории без учёта гравитации равна \(s=9.98~м\).

Полная высота подъёма с учётом гравитации равна \(8.144~м\).

[Andrey_R]

Из (5) \(S_1=3.075 \bullet 10^{-6}~м^2 \equiv 3.075~мм^2\)

Высота подъёма на активном участке траектории без учёта гравитации равна \(s=9.98~м\).

Полная высота подъёма с учётом гравитации равна \(8.144~м\).

Отлично. Я как раз и "предсказал" 8м, хотя в самом начале моя оценка была как чуть больше 10м.

[Мастеров АВ]

Водяная ракета

Сколько воды и сколько воздуха должно быть,
чтобы ракета поднялась как можно выше ?

Базовые формулы реактивного движения водяной ракеты
Реактивная сила
\(F=\frac{d(mv)}{dt}=m\frac{dv}{dt}+v\frac{m}{dt}=ma+V\dot{m}\)

\(m\) - масса ракеты

\(v\) - скорость ракеты
\(a\) - ускорение ракеты

\(V^2=\frac{P}{\rho}\) - скорость струи

\(P\) - давление внутри ракеты

\(\dot{m}=V\rho s=\frac{Ps}{V}\) - расход воды/газа
\(s\) - площадь сечения сопла

\(F_v=Kv^2\) - сила сопротивления воздуха

\(F=\dot{m}V=V^2\rho s=Ps\) - реактивная сила

\(ma=F-F_v=\dot{m}V-Kv^2=V^2\rho s-Kv^2=Ps-Kv^2\)

\(m(t)=m_o-\dot{m}t=m_o-V\rho st=m_o-\frac{Ps}{V}t\)

\(a=\frac{F-F_v}{m_o-V\rho st}=\frac{\dot{m}V-Kv^2}{m_o-V\rho st}=\frac{V^2\rho s-Kv^2}{m_o-V\rho st}=\frac{Ps-Kv^2}{m_o-V\rho st}\)

[Ost]

Водяная ракета

Сколько воды и сколько воздуха должно быть,
чтобы ракета поднялась как можно выше ?

Базовые формулы реактивного движения водяной ракеты
Реактивная сила
\(F=\frac{d(mv)}{dt}=m\frac{dv}{dt}+v\frac{m}{dt}=ma+V\dot{m}\)

\(m\) - масса ракеты

\(v\) - скорость ракеты
\(a\) - ускорение ракеты

\(V^2=\frac{P}{\rho}\) - скорость струи

\(P\) - давление внутри ракеты

\(\dot{m}=V\rho s=\frac{Ps}{V}\) - расход воды/газа
\(s\) - площадь сечения сопла

\(F_v=Kv^2\) - сила сопротивления воздуха

\(F=\dot{m}V=V^2\rho s=Ps\) - реактивная сила

\(ma=F-F_v=\dot{m}V-Kv^2=V^2\rho s-Kv^2=Ps-Kv^2\)

\(m(t)=m_o-\dot{m}t=m_o-V\rho st=m_o-\frac{Ps}{V}t\)

\(a=\frac{F-F_v}{m_o-V\rho st}=\frac{\dot{m}V-Kv^2}{m_o-V\rho st}=\frac{V^2\rho s-Kv^2}{m_o-V\rho st}=\frac{Ps-Kv^2}{m_o-V\rho st}\)

\(V^2=\frac{P}{\rho}\) - скорость струи

\(P\) - давление внутри ракеты

Если пренебречь скоростью течения воды в бутылке, то правильно будет

\(\displaystyle V^2=\frac{2~\Delta P}{\rho}\), где \(\Delta P~-\) разность давлений, внутри и снаружи.