Удивительно. Из этого выражения следует, что \( v\rightarrow c \) при \( \omega R\rightarrow \infty \).Вот и настала необходимость проверить уточнённую формулу для "зайца". Ведь с точки зрения чистой кинематики нет никакой разницы движется ли ракета по кругу, либо "заяц" по цилиндрической мишени.
Согласно уточнённой формуле заяц при \( \omega R=c \) будет иметь скорость \( \frac{c}{\sqrt 2} \).
Угловая скорость не имеет ограничения. В неинерциальной системе отсчёта ракеты она может достигать теоретической бесконечности,
а скорость линейная, в этом случае, не может быть больше скорости света, как в системе отсчёта ракеты так и в ИСО.
Эта формула не имеет отношения к "зайчику" или тени на экране.
Они являются кинематическими миражами и не имеют отношения к математике 4-пространства.
--------------------------------------------------------------------------------------
Подробное решение задачи.
Рассматриваем ускорение в произвольном направлении.
В неинерциальной системе отсчёта ракеты 4-ускорение равно
\(\displaystyle w^i=\left(0,\frac{\vec g}{c^2} \right)\). Относительная скорость акселерометра равна нулю
\(v=0\) в
(1).
Переходим в ИСО из которой наблюдается орбита ракеты.
Поворот в 4-пространстве на угол
\(\displaystyle \psi=ath \left(\frac{v}{c} \right)\), где
\(v~-\) модуль скорости ракеты в ИСО.
\(\displaystyle {w_{*}}^i= \left(\frac{g}{c^2}~sh(\psi),\frac{\vec g}{c^2}~ch(\psi) \right)=\left(\gamma~\frac{v}{c} \frac{g}{c^2},\gamma~\frac{\vec g}{c^2} \right) \) (1), где
\(\displaystyle \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\).
Вычисленное ускорение инвариантно, модуль ускорение в 4-пространстве постоянный
\(\displaystyle {w_{*}}^i~{w_{*}}_i=w^i~w_i =-\frac{g^2}{c^4}\).
Вспоминаем определение 4-ускорения
\(\displaystyle {w_*}^i=\left(\frac{\gamma}{c}~\frac{d \gamma}{dt}, \frac{\gamma}{c^2}~\frac{d}{dt}(\vec v~\gamma)\right)\) (2).
Сравниваем 3-ускорение в
(1) и
(2).
Выделяем соотношение
\(\displaystyle \frac{d}{dt}\left(\frac{\vec v}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \right)=\vec g\) (3).
Для кругового движения
\(\displaystyle \frac{\vec a}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=\vec g\);
\(\displaystyle \frac{\omega^2~R}{\sqrt{1-\frac{\omega^2~R^2}{c^2}}}=g\);
\(\displaystyle R=\frac{c}{\omega}\frac{1}{\sqrt{1+\frac{\omega^2~c^2}{g^2}}}\);
\(\Delta t=365\).
\(\tau=\Delta t - \Delta t^{'} =\Delta t~\left(1-\sqrt{1-\frac{\omega^2~R^2}{c^2}}\right) =4.82217\) суток.
...
