Ну не для детей это же очевидно - количество ненулевых остатков от деления (сколько их не возводи в степень - ноль не получится, так что максимум все придется перебрать). Но повторюсь, задачка не детская ( я бы своего ребенка таким не мучил).
Не очень понял насчёт перебора. Нужно только проверить делимость на 3, 7, и 13. На третий раз будет успех. Проверка на тройку вообще тривиальна, остаётся только попробовать семёрку и тринадцать. Всего две попытки. Две попытки - какой же это перебор? Думаете ребёнку трудно додуматься до, например, такого решения? -
пробуем 7
\( 1969^{1735} + 1735^{1969} = \)
\( (281*7 + 2)^{1735} + (247*7 + 6)^{1969} \)
Задача свелась к делимости на семь суммы
\( 2^{1735} + 6^{1969} = \)
\( 2^{3*578 + 1} + 6^{2*984+1}= \)
\( 2(7+1)^{578} + 6(35+1)^{984} \)
Задача свелась к делимости на семь суммы
\( 2 + 6 \)
Одного взгляда достаточно - на 7 не делится.
пробуем 13
\( 1969^{1735 }+ 1735^{1969} = \)
\( (151*13 + 6)^{1735} + (133*13 + 6)^{1969} \)
Задача свелась к делимости на 13 суммы
\( 6^{1735} + 6^{1969} = \)
\( 6^{12*144 + 7} + 6^{12*164+1}= \)
\( 6^7(13m+1)^{144} + 6(13m+1)^{164} \)
(\( m \) - какoе-то целoе, вовсе не обязательно его знать)
Задача свелась к делимости на 13 суммы
\( 6^7 + 6 \)
Здесь одного взгляда будет недостаточно. Считаем на калькуляторе, видим, что число \( 6^7 + 6 \) делится на 13. Задача решена,
ответ 13.
Главное в задаче, конечно, не нахождение правильного ответа, а
нахождение алгоритма как избавиться от больших чисел в больших степенях, и свести задачу к решению в уме, или на калькуляторе. И этот алгоритм весьма простой.
Всего-то пришлось один раз прибегнуть к калькулятору.
