Автор Тема: Детская задачка на знание алгебры и смекалку :)  (Прочитано 408 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн ER*

  • Местный мудрец
  • *****
  • Сообщений: 12024
  • Страна: de
  • Рейтинг: +1635/-1142
  • Пол: Мужской
  • nemo curat
Давненько не было детских здачек... Попрубуем что-нибудь изродить. :) Берём какие-нибудь две знаменательных даты. Ну, например, 1969 г. - высадка человека на Луну. Вторая дата - ну, даже не знаю -, ну, допустим, получение Эйлером суммы ряда обратных квадратов, 1735 г. :)

Вопрос: на какое наименьшее простое число \( N > 2 \) делится сумма \( 1969^{1735} + 1735^{1969} \) ?

:)
« Последнее редактирование: 02 Сентябрь 2019, 17:22:31 от ER* »

Большой Форум

Загрузка...

Оффлайн Ost

  • Местный мудрец
  • *****
  • Сообщений: 777
  • Страна: ru
  • Рейтинг: +214/-28
Давненько не было детских здачек... Попрубуем что-нибудь изродить. :) Берём какие-нибудь две знаменательных даты. Ну, например, 1969 г. - высадка человека на Луну. Вторая дата - ну, даже не знаю -, ну, допустим, получение Эйлером суммы ряда обратных квадратов, 1735 г. :)

Вопрос: на какое наименьшее целое \( N > 2 \) делится сумма \( 1969^{1735} + 1735^{1969} \) ?

:)
(5)

Оффлайн ER*

  • Местный мудрец
  • *****
  • Сообщений: 12024
  • Страна: de
  • Рейтинг: +1635/-1142
  • Пол: Мужской
  • nemo curat
(5)

Разве такое может быть? Правое слагаемое суммы \( 1969^{1735} + 1735^{1969} \) явно делится на Ваш ответ. А левое - явно не делится. Значит, и сумма этих слагаемых то же не может делиться.

Оффлайн Ost

  • Местный мудрец
  • *****
  • Сообщений: 777
  • Страна: ru
  • Рейтинг: +214/-28
Разве такое может быть? Правое слагаемое суммы \( 1969^{1735} + 1735^{1969} \) явно делится на Ваш ответ. А левое - явно не делится. Значит, и сумма этих слагаемых то же не может делиться.
(4)

Оффлайн ER*

  • Местный мудрец
  • *****
  • Сообщений: 12024
  • Страна: de
  • Рейтинг: +1635/-1142
  • Пол: Мужской
  • nemo curat
(4)

А ещё 8 :). Ладно, это мой косяк. Я имел в виду только простые делители. Исправляю формулировку. Спасибо, что заметили. :)

Оффлайн Ost

  • Местный мудрец
  • *****
  • Сообщений: 777
  • Страна: ru
  • Рейтинг: +214/-28
(13; 31; 52)

Оффлайн ER*

  • Местный мудрец
  • *****
  • Сообщений: 12024
  • Страна: de
  • Рейтинг: +1635/-1142
  • Пол: Мужской
  • nemo curat
(13; 31; 52)

Достаточно только первого простого числа. Ответ получен. Подождём, может ещё кто решит. :)

Оффлайн Andrey_R

  • Пламенный трибун
  • ****
  • Сообщений: 266
  • Страна: su
  • Рейтинг: +27/-5
Задача несложная, хотя детской я бы ее называть не стал. Решается перебором.
3 не подходит, т.к. оба числа при делении на 3 дают 1 в остатке, значит, сумма даст в остатке 2.
Не подходят 5 и 11, т.к. одно из чисел на них делится, а второе нет.
7: одно дает в остатке 2, второе - (-1). А при делении на 6 оба дают 1 (6=7-1 - максимальный размер цикла при возведении в степень). Значит, наша сумма  при делении на 7 эквивалентна (21+(-1)1)(mod 7)= 1. Т.е. (19691735+17351969)(mod 7)=(21+(-1)1)= 1
13: (19691735+17351969)(mod 13)=(61+67)(mod 13)= 6-6=0 (1 и 7 - остатки чисел при делении на 12=13-1)
Ответ:13.
« Последнее редактирование: 03 Сентябрь 2019, 17:54:00 от Andrey_R »

Оффлайн ER*

  • Местный мудрец
  • *****
  • Сообщений: 12024
  • Страна: de
  • Рейтинг: +1635/-1142
  • Пол: Мужской
  • nemo curat
Задача несложная, хотя детской я бы ее называть не стал. 
6=7-1 - максимальный размер цикла при возведении в степень.

А можно для детей как-то обосновать максимальный размер цикла при возведении в степень? Что бы задачка всё-таки свелась к детской. :)

Оффлайн Andrey_R

  • Пламенный трибун
  • ****
  • Сообщений: 266
  • Страна: su
  • Рейтинг: +27/-5
А можно для детей как-то обосновать максимальный размер цикла при возведении в степень? Что бы задачка всё-таки свелась к детской. :)
Ну не для детей это же очевидно: максимальный размер цикла это количество ненулевых остатков от деления (сколько их не возводи в степень - ноль не получится, так что максимум все их придется перебрать). Но повторюсь, задачка не детская ( я бы своего ребенка таким не мучил).
« Последнее редактирование: 03 Сентябрь 2019, 20:50:23 от Andrey_R »

Оффлайн ER*

  • Местный мудрец
  • *****
  • Сообщений: 12024
  • Страна: de
  • Рейтинг: +1635/-1142
  • Пол: Мужской
  • nemo curat
Re: Детская задачка на знание алгебры и смекалку :)
« Ответ #10 : 03 Сентябрь 2019, 20:50:58 »
Ну не для детей это же очевидно - количество ненулевых остатков от деления (сколько их не возводи в степень - ноль не получится, так что максимум все придется перебрать). Но повторюсь, задачка не детская ( я бы своего ребенка таким не мучил).

Не очень понял насчёт перебора. Нужно только проверить делимость на 3, 7, и 13. На третий раз будет успех. Проверка на тройку вообще тривиальна, остаётся только попробовать семёрку и тринадцать. Всего две попытки. Две попытки - какой же это перебор? Думаете ребёнку трудно додуматься до, например, такого решения? -

пробуем 7

\( 1969^{1735} + 1735^{1969} = \)
\( (281*7 + 2)^{1735} + (247*7 + 6)^{1969} \)

Задача свелась к делимости на семь суммы

\( 2^{1735} + 6^{1969} = \)
\( 2^{3*578 + 1} + 6^{2*984+1}= \)
\( 2(7+1)^{578}  + 6(35+1)^{984} \)

Задача свелась к делимости на семь суммы

\( 2 + 6  \)

Одного взгляда достаточно - на 7 не делится.

пробуем 13

\( 1969^{1735 }+ 1735^{1969} = \)
\( (151*13 + 6)^{1735} + (133*13 + 6)^{1969} \)

Задача свелась к делимости на 13 суммы

\( 6^{1735} + 6^{1969} = \)
\( 6^{12*144 + 7} + 6^{12*164+1}= \)
\( 6^7(13m+1)^{144}  + 6(13m+1)^{164} \)

(\( m \) - какoе-то целoе, вовсе не обязательно его знать)


Задача свелась к делимости на 13 суммы

\( 6^7 + 6 \)

Здесь одного взгляда будет недостаточно. Считаем на калькуляторе, видим, что число \( 6^7 + 6  \) делится на 13. Задача решена, ответ 13.

Главное в задаче, конечно, не нахождение правильного ответа, а нахождение алгоритма как избавиться от больших чисел в больших степенях, и свести задачу к решению в уме, или на калькуляторе. И этот алгоритм весьма простой.

Всего-то пришлось один раз прибегнуть к калькулятору. :)
« Последнее редактирование: 03 Сентябрь 2019, 21:24:50 от ER* »

Оффлайн Andrey_R

  • Пламенный трибун
  • ****
  • Сообщений: 266
  • Страна: su
  • Рейтинг: +27/-5
Re: Детская задачка на знание алгебры и смекалку :)
« Ответ #11 : 03 Сентябрь 2019, 21:27:57 »
Не очень понял насчёт перебора.
Нужно проверять последовательно все простые числа - 3, 5, 7, 11, 13... Это и есть перебор. Для 5 и 11 это проще, т.к. одно из чисел на них делится, но это не значит, что 5 и 11 в переборе не участвуют. К тому же заранее не известно, что решением будет 13, а не, например, 101 - для ребенка это будет стресс.
В целом же, как я вижу, у нас решения абсолютно одинаковые.

Оффлайн ER*

  • Местный мудрец
  • *****
  • Сообщений: 12024
  • Страна: de
  • Рейтинг: +1635/-1142
  • Пол: Мужской
  • nemo curat
Re: Детская задачка на знание алгебры и смекалку :)
« Ответ #12 : 03 Сентябрь 2019, 21:52:53 »
К тому же заранее не известно, что решением будет 13, а не, например, 101 - для ребенка это будет стресс.

101. :) Мы же не крокодилы какие предлагать задачку, где первый делитель будет таким большим. Я, поначалу, хотел что бы ответ был 7, но, почему-то подумал, что слишком просто, и сделал 13.

Цитировать
В целом же, как я вижу, у нас решения абсолютно одинаковые.

Что логично, вряд-ли как-то ещё решаются такие задачки.

~ ~ ~

Хорошо, пусть эта  задачка не школьная, а для детской олимпиады какого-нибудь областного масштаба. Задачка олимпиадная, но всё равно для детей. :)
« Последнее редактирование: 03 Сентябрь 2019, 21:56:21 от ER* »

Оффлайн Andrey_R

  • Пламенный трибун
  • ****
  • Сообщений: 266
  • Страна: su
  • Рейтинг: +27/-5
Re: Детская задачка на знание алгебры и смекалку :)
« Ответ #13 : 03 Сентябрь 2019, 22:12:47 »
Хорошо, пусть эта  задачка не школьная, а для детской олимпиады какого-нибудь областного масштаба. Задачка олимпиадная, но всё равно для детей.

Согласен.
 В любом случае полезно иногда что-нибудь вспомнить.

Большой Форум

Re: Детская задачка на знание алгебры и смекалку :)
« Ответ #13 : 03 Сентябрь 2019, 22:12:47 »
Загрузка...