Смертельный номер! Считаем "близнецов" в СО Ракеты! СТО не работает! Считаем по ОТО, и через эффект Допплера!
Близнецы разлетаются сразу после рождения. "Ракетчик" считает что покоится, Земля удалялась со скоростью
\( V \) на расстояние
\( L \), потом началось сближение. Разворот будем считать быстрым по сравнению со всем полётом, скорости и ускорения не запредельными - это позволит нам применить ОТО без тензорного исчисления. Но, сам принцип станет от этого ещё более понятен.
Итак, для неподвижного Ракетчика, время инерциального разлёта-встречи составило
\( T = 2L/V. \) И ещё "ракетчик" ощутил ускорение на короткое время
\( t \ll T \). Очевидно,
\( a = 2V/t \) (скорость изменилась на обратную). Таким образом, Земля на короткое время
\( t \) находилась в "гравитационном колодце" высотой
\( L \). Земля была "наверху", значит имело место гравитационное "посинение". Коэффициент посинения можно посчитать как
\( \Delta \phi /c^2 = aL/c^2 \) ;
Во столько раз время на Земле бежало быстрее, пока Ракетчик разворачивался. А какое будет суммарное время?
Во время инерциального полёта на Земле время шло в гамма раз медленнее (!), а потом, за короткое время
\( t \), на Земле набежало
\( atL/c^2 \). Итого, возраст земного близнеца:
\( 2L/\gamma V + atL/c^2 = 2L/\gamma V + 2VL/c^2 = (2L/V)(1/\gamma + v^2/c^2)= T(1/\gamma + v^2/c^2) \) ;
Польуясь приближением гамма для малых
\( v \), имеем:
\( T(\sqrt{1-v^2/c^2} + v^2/c^2) = \)\( =T(1-v^2/(2c^2) + v^2/c^2) = T(1 + v^2/(2c^2)) = T\gamma \) ;
Всё так и есть, короткое ускорение всё изменило: несмотря на то, что во время инерциальных участков земной близнец старел медленнее, но за время короткого разворота его возраст значительно "скакнул", а в сумме получилось в гамма раз старше.
Резюме:
\( \star \) В ОТО нет "парадокса" близнецов, есть только "эффект" близнецов.
\( \star \) В СТО нет "парадокса" близнецов, потому что СТО не работает для HE-ИСО Ракетчика. А для ИСО Земли результат получается ткой же, как и выше.
Вывод:
Парадокса близнецов не существует вообще. ))
Решение через эффект Доплера здесь:
http://bolshoyforum.com/forum/index.php?topic=603456.msg8785584#msg8785584P.S. Следует, наверное, добавить, что возможное ускорение непосредственно в момент расставания близнецов не играет никакой роли, ведь "эффект гравитационного колодца" \( aL/c^2 \), а \( L \) в момент расставания равна нулю. Т.е. нет никакого эффекта.