Автор Тема: Преобразования координат  (Прочитано 4704 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн Иван Горин

  • Модератор
  • Местный мудрец
  • *****
  • Сообщений: 3629
  • Страна: de
  • Рейтинг: +534/-930
  • Пол: Мужской
Re: Преобразования координат
« Ответ #240 : 30 Октябрь 2020, 16:20:22 »
Формула \(\displaystyle r'=(r-V~t~cos(\varphi))~\gamma\) не подходит для произвольных координат события.
Это только частный случай для луча света.

В общем случае используется векторный вариант

\(\displaystyle \vec r=\vec r'+(\gamma-1)~\frac{(\vec V \cdot ~\vec r')~\vec V}{V^2}+\gamma~\vec V~t'\);   

\(\displaystyle  t=\left(t'+\frac{\vec V \cdot ~\vec r'}{c^2}\right)~\gamma\).

Проверим подходит или нет.
Из ППЛ в векторном виде найдем модуль вектора \(\displaystyle \vec{r'}\)
\(\displaystyle \vec r'=\vec r+(\gamma-1)~\frac{(\vec V \cdot ~\vec r)~\vec V}{V^2}-\gamma~\vec V~t\)
Вектора \(\displaystyle \vec{r}\) и \(\displaystyle \vec{V}\) лежат в одной произвольной плоскости под углом \(\displaystyle \varphi\)

\(\displaystyle \vec{r'}=\vec{r}+\vec{V}\left [ \frac{(\gamma -1)Vr\cos \varphi }{V^2}-\gamma t \right ]\)
\(\displaystyle \vec{r'}=\vec{r}+\vec{V}\left [ \frac{(\gamma -1)r\cos \varphi }{V}-\gamma t \right ]\)
\(\displaystyle \vec{r'}=\vec{r}+\vec{V}t\left [ \frac{(\gamma -1)ct\cos \varphi }{V}-\gamma  \right ]\)
\(\displaystyle \vec{r'}=\vec{r}+\vec{V}t\left [ \frac{(\gamma -1)\cos \varphi }{\beta}-\gamma  \right ]\)
\(\displaystyle \beta =\frac{V}{c}\)

\(\displaystyle \vec{r'}=\vec{r}+\frac{\vec{V}t}{\beta }\left [ (\gamma -1)\cos \varphi-\gamma \beta \right ]\)

\(\displaystyle r'^2=r^2+r^2\left [ (\gamma -1)\cos \varphi-\gamma \beta \right ]^2+2r^2\left [ (\gamma -1)\cos \varphi-\gamma \beta \right ]\cos \varphi \)
\(\displaystyle r'^2=r^2+r^2\left [ (\gamma -1)\cos \varphi-\gamma \beta \right ]\left [ (\gamma -1)\cos \varphi-\gamma \beta +2\cos \varphi \right ]\)

\(\displaystyle \left [ (\gamma -1)\cos \varphi-\gamma \beta \right ]\left [ (\gamma -1)\cos \varphi-\gamma \beta +2\cos \varphi \right ] =\left [ \gamma (\cos \varphi -\beta )-\cos \varphi \right ]\left [ \gamma (\cos \varphi -\beta )+\cos \varphi \right ]=\)
\(\displaystyle \gamma^2 (\cos \varphi -\beta )^2-\cos \varphi^2\)

\(\displaystyle r'^2=r^2\left [ 1+ \gamma^2 (\cos \varphi -\beta )^2-\cos \varphi^2 \right ]\)
\(\displaystyle r'^2=r^2\left [ 1+ \frac{(\cos \varphi -\beta )^2}{1-\beta ^2}-\cos \varphi^2 \right ]\)
\(\displaystyle r'^2=\frac{r^2}{1-\beta ^2}\left [ 1-\beta ^2+ (\cos \varphi -\beta )^2-\cos \varphi^2 +\beta ^2\cos \varphi ^2 \right ]=\frac{r^2(1-\beta \cos \varphi )^2}{1-\beta ^2}\)

\(\displaystyle r'=\frac{r(1-\beta \cos \varphi )}{\sqrt{1-\beta ^2}}=\gamma (r-Vt\cos \varphi )\)

Что и требовалось доказать.
Игнорирую пользователей.
Кышрот, Милянцев, Вашкевич, Старый.

Большой Форум

Re: Преобразования координат
« Ответ #240 : 30 Октябрь 2020, 16:20:22 »
Загрузка...

Оффлайн Ost

  • Местный мудрец
  • *****
  • Сообщений: 1065
  • Страна: ru
  • Рейтинг: +238/-29
Re: Преобразования координат
« Ответ #241 : 30 Октябрь 2020, 19:25:36 »
Проверим подходит или нет.
Из ППЛ в векторном виде найдем модуль вектора \(\displaystyle \vec{r'}\)
\(\displaystyle \vec r'=\vec r+(\gamma-1)~\frac{(\vec V \cdot ~\vec r)~\vec V}{V^2}-\gamma~\vec V~t\)
Вектора \(\displaystyle \vec{r}\) и \(\displaystyle \vec{V}\) лежат в одной произвольной плоскости под углом \(\displaystyle \varphi\)

\(\displaystyle \vec{r'}=\vec{r}+\vec{V}\left [ \frac{(\gamma -1)Vr\cos \varphi }{V^2}-\gamma t \right ]\)
\(\displaystyle \vec{r'}=\vec{r}+\vec{V}\left [ \frac{(\gamma -1)r\cos \varphi }{V}-\gamma t \right ]\)
\(\displaystyle \vec{r'}=\vec{r}+\vec{V}t\left [ \frac{(\gamma -1)ct\cos \varphi }{V}-\gamma  \right ]\)
\(\displaystyle \vec{r'}=\vec{r}+\vec{V}t\left [ \frac{(\gamma -1)\cos \varphi }{\beta}-\gamma  \right ]\)
\(\displaystyle \beta =\frac{V}{c}\)

\(\displaystyle \vec{r'}=\vec{r}+\frac{\vec{V}t}{\beta }\left [ (\gamma -1)\cos \varphi-\gamma \beta \right ]\)

\(\displaystyle r'^2=r^2+r^2\left [ (\gamma -1)\cos \varphi-\gamma \beta \right ]^2+2r^2\left [ (\gamma -1)\cos \varphi-\gamma \beta \right ]\cos \varphi \)
\(\displaystyle r'^2=r^2+r^2\left [ (\gamma -1)\cos \varphi-\gamma \beta \right ]\left [ (\gamma -1)\cos \varphi-\gamma \beta +2\cos \varphi \right ]\)

\(\displaystyle \left [ (\gamma -1)\cos \varphi-\gamma \beta \right ]\left [ (\gamma -1)\cos \varphi-\gamma \beta +2\cos \varphi \right ] =\left [ \gamma (\cos \varphi -\beta )-\cos \varphi \right ]\left [ \gamma (\cos \varphi -\beta )+\cos \varphi \right ]=\)
\(\displaystyle \gamma^2 (\cos \varphi -\beta )^2-\cos \varphi^2\)

\(\displaystyle r'^2=r^2\left [ 1+ \gamma^2 (\cos \varphi -\beta )^2-\cos \varphi^2 \right ]\)
\(\displaystyle r'^2=r^2\left [ 1+ \frac{(\cos \varphi -\beta )^2}{1-\beta ^2}-\cos \varphi^2 \right ]\)
\(\displaystyle r'^2=\frac{r^2}{1-\beta ^2}\left [ 1-\beta ^2+ (\cos \varphi -\beta )^2-\cos \varphi^2 +\beta ^2\cos \varphi ^2 \right ]=\frac{r^2(1-\beta \cos \varphi )^2}{1-\beta ^2}\)

\(\displaystyle r'=\frac{r(1-\beta \cos \varphi )}{\sqrt{1-\beta ^2}}=\gamma (r-Vt\cos \varphi )\)

Что и требовалось доказать.
\(\displaystyle r'=\frac{r(1-\beta \cos \varphi )}{\sqrt{1-\beta ^2}}=\gamma (r-Vt\cos \varphi )\) - не модуль вектора   \(\displaystyle \vec r'=\vec r+(\gamma-1)~\frac{(\vec V \cdot ~\vec r)~\vec V}{V^2}-\gamma~\vec V~t\).

Так как в процессе вычислений сделана подстановка \(c~t=r\).

« Последнее редактирование: 30 Октябрь 2020, 19:39:17 от Ost »

Оффлайн Иван Горин

  • Модератор
  • Местный мудрец
  • *****
  • Сообщений: 3629
  • Страна: de
  • Рейтинг: +534/-930
  • Пол: Мужской
Re: Преобразования координат
« Ответ #242 : 31 Октябрь 2020, 10:56:07 »
Можно записать общий случай и в векторном виде. В формулу ПЛ в векторном варианте

\(\displaystyle \vec r'=\vec r+(\gamma-1)~\frac{(\vec V \cdot ~\vec r)~\vec V}{V^2}-\gamma~\vec V~t\), подставляем \(\vec r=\vec c~t\), тогда

\(\displaystyle \vec r'=\vec r+(\gamma-1)~\frac{(\vec V \cdot ~\vec c)~\vec V~t}{V^2}-\gamma~\vec V~t=\vec r+\left((\gamma-1)~\frac{(\vec V \cdot ~\vec c)~\vec V}{V^2} - \gamma~\vec V \right)~t=\vec r+\left((\gamma-1)~\frac{(\vec V \cdot ~\vec c)}{V^2} - \gamma \right) \vec V~t\).

У тебя такая же подстановка в векторном виде.
r2=c2t2
r=ct

Луч света движется в неподвижной трехмерной системе координат по вектору r
« Последнее редактирование: 31 Октябрь 2020, 12:23:18 от Иван Горин »
Игнорирую пользователей.
Кышрот, Милянцев, Вашкевич, Старый.

Оффлайн Ost

  • Местный мудрец
  • *****
  • Сообщений: 1065
  • Страна: ru
  • Рейтинг: +238/-29
Re: Преобразования координат
« Ответ #243 : 31 Октябрь 2020, 13:33:44 »
У тебя такая же подстановка в векторном виде.
r2=c2t2
r=ct

Луч света движется в неподвижной трехмерной системе координат по вектору r
Я писал по аналогии, как у тебя. Для определённости надо было сменить обозначение модуля.
Основная идея сообщения заключалась в том, что, зачем писать по модулю, если можно записать в векторном виде.

В любом варианте, делая подстановку мы переходим к частному случаю, справедливому только для луча света.
В такую формулу нельзя подставлять координаты событий, связанные с произвольной траекторией материальных тел.

Оффлайн Иван Горин

  • Модератор
  • Местный мудрец
  • *****
  • Сообщений: 3629
  • Страна: de
  • Рейтинг: +534/-930
  • Пол: Мужской
Re: Преобразования координат
« Ответ #244 : 31 Октябрь 2020, 14:52:41 »
Я писал по аналогии, как у тебя. Для определённости надо было сменить обозначение модуля.
Основная идея сообщения заключалась в том, что, зачем писать по модулю, если можно записать в векторном виде.

В любом варианте, делая подстановку мы переходим к частному случаю, справедливому только для луча света.
В такую формулу нельзя подставлять координаты событий, связанные с произвольной траекторией материальных тел.

Как же ты вывел формулу:
\(\displaystyle  t'=\left(t-\frac{\vec V \cdot ~\vec r}{c^2}\right)~\gamma\)
не зная модуль r'?
Игнорирую пользователей.
Кышрот, Милянцев, Вашкевич, Старый.

Оффлайн Ost

  • Местный мудрец
  • *****
  • Сообщений: 1065
  • Страна: ru
  • Рейтинг: +238/-29
Re: Преобразования координат
« Ответ #245 : 31 Октябрь 2020, 16:59:52 »
Как же ты вывел формулу:
\(\displaystyle  t'=\left(t-\frac{\vec V \cdot ~\vec r}{c^2}\right)~\gamma\)
не зная модуль r'?
Просто формула \(\displaystyle  t=\left(t'+\frac{\vec V \cdot ~\vec r'}{c^2}\right)~\gamma\)
является обобщением формулы \(\displaystyle  t=\left(t'+\frac{V~x'}{c^2}\right)~\gamma\), на произвольное направление скорости.

Для каждой оси в дифференциальном виде формально можно записать

\(\displaystyle  dt_x=\left(dt_x'+\frac{V_x ~dx'}{c^2}\right)~\gamma\);

\(\displaystyle  dt_y=\left(dt_y'+\frac{V_y ~dy'}{c^2}\right)~\gamma\);

\(\displaystyle  dt_z=\left(dt_z'+\frac{V_z ~dz'}{c^2}\right)~\gamma\).

Каждая составляющая скорости по осям, независимо изменяет момент времени.

Суммируем эти уравнения

\(\displaystyle  dt=\left(dt'+\frac{V_z ~dz'+V_y ~dy'+V_x ~dx'}{c^2}\right)~\gamma = \left(dt'+\frac{\vec V \cdot ~d \vec r'}{c^2}\right)~\gamma\).

Или в интегральном виде \(\displaystyle  t=\left(t'+\frac{\vec V \cdot ~\vec r'}{c^2}\right)~\gamma\). При \(\vec V=\vec {const}\).


« Последнее редактирование: 31 Октябрь 2020, 17:04:31 от Ost »

Оффлайн Иван Горин

  • Модератор
  • Местный мудрец
  • *****
  • Сообщений: 3629
  • Страна: de
  • Рейтинг: +534/-930
  • Пол: Мужской
Re: Преобразования координат
« Ответ #246 : 31 Октябрь 2020, 17:41:43 »
Просто формула \(\displaystyle  t=\left(t'+\frac{\vec V \cdot ~\vec r'}{c^2}\right)~\gamma\)
является обобщением формулы \(\displaystyle  t=\left(t'+\frac{V~x'}{c^2}\right)~\gamma\), на произвольное направление скорости.

Это бездоказательное обобщение.

Из твоей записи в векторной форме я нашел модуль вектора r'
\(\displaystyle t'=\frac{r'}{c}=\frac{r-vt\cos \varphi }{c}\gamma =\gamma (\frac{r}{c}-\frac{vtcos\varphi }{c})\)
\(\displaystyle t'=\gamma (t-\frac{vctcos\varphi }{c^2})=\gamma (t-\frac{vrcos\varphi }{c^2})\)
\(\displaystyle t'=\gamma (t-\frac{\vec{V}\vec{r}}{c^2})\)


Это строгий вывод. И он соответствует твоему интуитивному обобщению.
И в строгом выводе используется второй постулат
\(\displaystyle r=ct,\,r'=ct'\)

И в результате моих выводов можно убедиться,что твоя формула в векторном виде верная.
Для произвольного события её надо использовать.

Формулы для t'  и r' были выведены для луча света.
"Но так как все законы в Природе едины, то я распространяю эти выводы также для материальных тел"
Так примерно сказал Эйнштейн.

Надеюсь, что получу вывод r' в векторной форме.
Игнорирую пользователей.
Кышрот, Милянцев, Вашкевич, Старый.

Оффлайн ABC11

  • Местный мудрец
  • *****
  • Сообщений: 562
  • Страна: ru
  • Рейтинг: +7/-5
Re: Преобразования координат
« Ответ #247 : 01 Ноябрь 2020, 11:36:53 »
Это бездоказательное обобщение.

Из твоей записи в векторной форме я нашел модуль вектора r'
\(\displaystyle t'=\frac{r'}{c}=\frac{r-vt\cos \varphi }{c}\gamma =\gamma (\frac{r}{c}-\frac{vtcos\varphi }{c})\)
\(\displaystyle t'=\gamma (t-\frac{vctcos\varphi }{c^2})=\gamma (t-\frac{vrcos\varphi }{c^2})\)
\(\displaystyle t'=\gamma (t-\frac{\vec{V}\vec{r}}{c^2})\)


Это строгий вывод. И он соответствует твоему интуитивному обобщению.
И в строгом выводе используется второй постулат
\(\displaystyle r=ct,\,r'=ct'\)

И в результате моих выводов можно убедиться,что твоя формула в векторном виде верная.
Для произвольного события её надо использовать.

Формулы для t'  и r' были выведены для луча света.
"Но так как все законы в Природе едины, то я распространяю эти выводы также для материальных тел"
Так примерно сказал Эйнштейн.

Надеюсь, что получу вывод r' в векторной форме.
Не в обиду.
 Преобразовывали координаты Галилей и Лоренц. И что:
Наш мир состоит из 3 оси координат x, y, z. х ось преобразовали и добавили ось t. Итого 4 оси координат 4 измерение, которое отличается от нашего мира.
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Преобразования Лоренца псевдоевклидова пространства сигнатуры {\displaystyle находят широкое применение в физике, в частности, в специальной теории относительности (СТО), где в качестве аффинного псевдоевклидова пространства выступает четырёхмерный пространственно-временной континуум...



Оффлайн Ost

  • Местный мудрец
  • *****
  • Сообщений: 1065
  • Страна: ru
  • Рейтинг: +238/-29
Re: Преобразования координат
« Ответ #248 : 01 Ноябрь 2020, 13:21:02 »
Это бездоказательное обобщение.

Из твоей записи в векторной форме я нашел модуль вектора r'
\(\displaystyle t'=\frac{r'}{c}=\frac{r-vt\cos \varphi }{c}\gamma =\gamma (\frac{r}{c}-\frac{vtcos\varphi }{c})\)
\(\displaystyle t'=\gamma (t-\frac{vctcos\varphi }{c^2})=\gamma (t-\frac{vrcos\varphi }{c^2})\)
\(\displaystyle t'=\gamma (t-\frac{\vec{V}\vec{r}}{c^2})\)


Это строгий вывод. И он соответствует твоему интуитивному обобщению.
И в строгом выводе используется второй постулат
\(\displaystyle r=ct,\,r'=ct'\)

И в результате моих выводов можно убедиться, что твоя формула в векторном виде верная.
Для произвольного события её надо использовать.

Формулы для t'  и r' были выведены для луча света.
"Но так как все законы в Природе едины, то я распространяю эти выводы также для материальных тел"
Так примерно сказал Эйнштейн.

Надеюсь, что получу вывод r' в векторной форме.
Цитировать (выделенное)
Формулы для t'  и r' были выведены для луча света.
"Но так как все законы в Природе едины, то я распространяю эти выводы также для материальных тел"
Так примерно сказал Эйнштейн.
Так в этом случае не получается. Делаем простую числовую проверку для произвольного события.
Видно, что интервалы (1), (2) инвариантны, а (3) нет. Значит твоя формула даёт ошибку.
Если момент события задать равным \(\displaystyle t=\frac{r}{c}\), тогда все три интервала, для луча света, будут равны нулю.




Оффлайн Ltlekz49

  • Местный мудрец
  • *****
  • Сообщений: 25927
  • Страна: ru
  • Рейтинг: +700/-1357
  • Хамству бой!
Re: Преобразования координат
« Ответ #249 : 01 Ноябрь 2020, 13:31:28 »
Преобразования координат бывают только:
 - сдвиг начала координат без поворота :
 - поворот осей:
 - и наконец сдвиг с поворотом.
Преобразования Лоренца не являются преобразованиями координат - ибо это преобразование самого пространства, описываемого этими координатами.
К физике это отношения иметь не может - пространство вселенной является СВОЙСТВОМ материи, мерой её геометрических свойств.
Математические модели создают иллюзию понимания физических процессов.
Ссылка при объяснении на математику есть «удобное средство избавить себя от труда понять, указать и обосновать понятийные определения» Гегель.

Оффлайн Иван Горин

  • Модератор
  • Местный мудрец
  • *****
  • Сообщений: 3629
  • Страна: de
  • Рейтинг: +534/-930
  • Пол: Мужской
Re: Преобразования координат
« Ответ #250 : 01 Ноябрь 2020, 17:31:14 »
Так в этом случае не получается. Делаем простую числовую проверку для произвольного события.
Видно, что интервалы (1), (2) инвариантны, а (3) нет. Значит твоя формула даёт ошибку.
В мою формулу также надо подставлять t=1, если речь идет о произвольном событии, а не о луче света.
В данном случае второй постулат x=ct и x'=ct' не выполняется.
Он выполняется только для света и это давно известно из СТО.
Моя формула правильная и спорить не о чем.
Позже приведу интервалы, используя свою формулу и твой пример.
Игнорирую пользователей.
Кышрот, Милянцев, Вашкевич, Старый.

Оффлайн Ost

  • Местный мудрец
  • *****
  • Сообщений: 1065
  • Страна: ru
  • Рейтинг: +238/-29
Re: Преобразования координат
« Ответ #251 : 01 Ноябрь 2020, 17:47:50 »
В мою формулу также надо подставлять t=1, если речь идет о произвольном событии, а не о луче света.
В данном случае второй постулат x=ct и x'=ct' не выполняется.
Он выполняется только для света и это давно известно из СТО.
Моя формула правильная и спорить не о чем.
Позже приведу интервалы, используя свою формулу и твой пример.
В этом расчёте в твою формулу подставляется t=1.

Оффлайн Иван Горин

  • Модератор
  • Местный мудрец
  • *****
  • Сообщений: 3629
  • Страна: de
  • Рейтинг: +534/-930
  • Пол: Мужской
Re: Преобразования координат
« Ответ #252 : 01 Ноябрь 2020, 19:40:14 »




Исходя из примера Михаила модуль r' равен с точностью до четвёртого порядка малости 400 км.
Интервал в неподвижной системе
\(\displaystyle (ct)^2-r^2=9*10^{12}t^2-(10^6+4*10^6)=9*10^{12}t^2-5*10^6\)
В штрихованной
\(\displaystyle (ct')^2-r'^2= c^2\gamma ^2(t-\frac{\vec{V}\vec{r}}{c^2})^2 -\gamma ^2(r-Vt\cos \varphi )^2=\)
\(\displaystyle = c^2\gamma ^2(t-\frac{Vr\cos \varphi }{c^2})^2 -\gamma ^2(r-Vt\cos \varphi )^2=\)
\(\displaystyle =\gamma ^2\left [ c^2t^2-2Vrt\cos \varphi +\frac{V^2r^2\cos \varphi ^2}{c^2}-r^2+2rVt\cos \varphi -V^2t^2\cos \varphi ^2 \right ]=\)
\(\displaystyle =\gamma ^2\left [ c^2t^2-2\beta crt\cos \varphi +\beta ^2r^2\cos \varphi ^2-r^2+2r\beta ct\cos \varphi -\beta ^2c^2t^2\cos \varphi ^2 \right ]\)
После сокращений получим интервал в подвижной системе:
\(\displaystyle (ct')^2-r'^2= \gamma ^2(c^2t^2-r^2)\)

при t=1
\(\displaystyle(ct)^2-r^2=9*10^{12}t^2-(10^6+4*10^6)\approx 9*10^{12}\)
\(\displaystyle (ct')^2-r'^2= \gamma ^2(c^2t^2-r^2)\approx 9*10^{12}*1,67^2=25*10^{12}\)

У Оста в формулах 2 и 3 возможно ошибки.
Модули r' у нас равны.Времена t и t' тоже равны.
У кого ошибка в вычислении интервалов?
Я ожидал равенство интервалов.
Игнорирую пользователей.
Кышрот, Милянцев, Вашкевич, Старый.

Оффлайн Ost

  • Местный мудрец
  • *****
  • Сообщений: 1065
  • Страна: ru
  • Рейтинг: +238/-29
Re: Преобразования координат
« Ответ #253 : 01 Ноябрь 2020, 22:45:10 »
Исходя из примера Михаила модуль r' равен с точностью до четвёртого порядка малости 400 км.
Интервал в неподвижной системе
\(\displaystyle (ct)^2-r^2=9*10^{12}t^2-(10^6+4*10^6)=9*10^{12}t^2-5*10^6\)
В штрихованной
\(\displaystyle (ct')^2-r'^2= c^2\gamma ^2(t-\frac{\vec{V}\vec{r}}{c^2})^2 -\gamma ^2(r-Vt\cos \varphi )^2=\)
\(\displaystyle = c^2\gamma ^2(t-\frac{Vr\cos \varphi }{c^2})^2 -\gamma ^2(r-Vt\cos \varphi )^2=\)
\(\displaystyle =\gamma ^2\left [ c^2t^2-2Vrt\cos \varphi +\frac{V^2r^2\cos \varphi ^2}{c^2}-r^2+2rVt\cos \varphi -V^2t^2\cos \varphi ^2 \right ]=\)
\(\displaystyle =\gamma ^2\left [ c^2t^2-2\beta crt\cos \varphi +\beta ^2r^2\cos \varphi ^2-r^2+2r\beta ct\cos \varphi -\beta ^2c^2t^2\cos \varphi ^2 \right ]\)
После сокращений получим интервал в подвижной системе:
\(\displaystyle (ct')^2-r'^2= \gamma ^2(c^2t^2-r^2)\)

при t=1
\(\displaystyle(ct)^2-r^2=9*10^{12}t^2-(10^6+4*10^6)\approx 9*10^{12}\)
\(\displaystyle (ct')^2-r'^2= \gamma ^2(c^2t^2-r^2)\approx 9*10^{12}*1,67^2=25*10^{12}\)

У Оста в формулах 2 и 3 возможно ошибки.
Модули r' у нас равны. Времена t и t' тоже равны.
У кого ошибка в вычислении интервалов?
Я ожидал равенство интервалов.
Интервал (1) отличается только погрешностью вычисления.
Интервал (3) получился отличный от моего в силу очередной подстановки \(c~t=r\), но в любом случае
(1), (3) у тебя не будут равны.




Оффлайн Ost

  • Местный мудрец
  • *****
  • Сообщений: 1065
  • Страна: ru
  • Рейтинг: +238/-29
Re: Преобразования координат
« Ответ #254 : 02 Ноябрь 2020, 16:58:55 »
Исходя из примера Михаила модуль r' равен с точностью до четвёртого порядка малости 400 км.
Интервал в неподвижной системе
\(\displaystyle (ct)^2-r^2=9*10^{12}t^2-(10^6+4*10^6)=9*10^{12}t^2-5*10^6\)
В штрихованной
\(\displaystyle (ct')^2-r'^2= c^2\gamma ^2(t-\frac{\vec{V}\vec{r}}{c^2})^2 -\gamma ^2(r-Vt\cos \varphi )^2=\)
\(\displaystyle = c^2\gamma ^2(t-\frac{Vr\cos \varphi }{c^2})^2 -\gamma ^2(r-Vt\cos \varphi )^2=\)
\(\displaystyle =\gamma ^2\left [ c^2t^2-2Vrt\cos \varphi +\frac{V^2r^2\cos \varphi ^2}{c^2}-r^2+2rVt\cos \varphi -V^2t^2\cos \varphi ^2 \right ]=\)
\(\displaystyle =\gamma ^2\left [ c^2t^2-2\beta crt\cos \varphi +\beta ^2r^2\cos \varphi ^2-r^2+2r\beta ct\cos \varphi -\beta ^2c^2t^2\cos \varphi ^2 \right ]\)
После сокращений получим интервал в подвижной системе:
\(\displaystyle (ct')^2-r'^2= \gamma ^2(c^2t^2-r^2)\)

при t=1
\(\displaystyle(ct)^2-r^2=9*10^{12}t^2-(10^6+4*10^6)\approx 9*10^{12}\)
\(\displaystyle (ct')^2-r'^2= \gamma ^2(c^2t^2-r^2)\approx 9*10^{12}*1,67^2=25*10^{12}\)

У Оста в формулах 2 и 3 возможно ошибки.
Модули r' у нас равны. Времена t и t' тоже равны.
У кого ошибка в вычислении интервалов?
Я ожидал равенство интервалов.
Для случая с ещё одной подстановкой \(c~t=r\) у тебя есть доказательство неравенства.
\(\displaystyle(ct)^2-r^2=\gamma ^2(c^2t^2-r^2)=(ct')^2-r'^2\), возможно только в двух случаях: \(V=0\) и \(r=c~t\).
Для произвольного события, при скорости не равной нулю, равенства не будет.

Оффлайн Иван Горин

  • Модератор
  • Местный мудрец
  • *****
  • Сообщений: 3629
  • Страна: de
  • Рейтинг: +534/-930
  • Пол: Мужской
Re: Преобразования координат
« Ответ #255 : 02 Ноябрь 2020, 17:00:06 »
Интервал (1) отличается только погрешностью вычисления.
Интервал (3) получился отличный от моего в силу очередной подстановки \(c~t=r\), но в любом случае
(1), (3) у тебя не будут равны.

Мои интервалы отличаются на множитель \(\displaystyle \gamma ^2\)
Значит моя формула действительно для частного случая.
Найдём модуль r' для произвольных координат и проверим подходит ли он для света.
Условие равенства интервалов
\(\displaystyle (ct)^2-r^2=(ct')^2-r'^2\)
\(\displaystyle r'^2=(ct')^2- (ct)^2+r^2\)
\(\displaystyle t'=\gamma (t-\frac{(\vec{V}\vec{r})}{c^2})\) (1)
После преобразований получим:
\(\displaystyle r'^2=r^2+\gamma ^2(Vt-\frac{(\vec{V}\vec{r})}{V})^2-\frac{(\vec{V}\vec{r})^2}{V^2}\) (2)

Для луча света интервалы равны нулю, то есть r=ct и r'=ct' (3)
Преобразуем формулу (2), используя r=ct
Получим мою формулу:
\(\displaystyle r'=\gamma (r-Vt\cos \varphi )\) (4)
Используем  (3) и найдем t'
\(\displaystyle t'=\frac{r'}{c}=\gamma\left ( \frac{r}{c}-\frac{Vt\cos \varphi }{c} \right )=\gamma \left ( t-\frac{Vct\cos \varphi }{c^2} \right ) =\gamma \left ( t-\frac{(\vec{V}\vec{r})}{c^2} \right )\)

Получается что (1) является универсальной формулой.
Я её вывел для света, но она подходит и для произвольных координат.
Странно.


Игнорирую пользователей.
Кышрот, Милянцев, Вашкевич, Старый.

Оффлайн Ost

  • Местный мудрец
  • *****
  • Сообщений: 1065
  • Страна: ru
  • Рейтинг: +238/-29
Re: Преобразования координат
« Ответ #256 : 02 Ноябрь 2020, 19:25:27 »
Мои интервалы отличаются на множитель \(\displaystyle \gamma ^2\)
Значит моя формула действительно для частного случая.
Найдём модуль r' для произвольных координат и проверим подходит ли он для света.
Условие равенства интервалов
\(\displaystyle (ct)^2-r^2=(ct')^2-r'^2\)
\(\displaystyle r'^2=(ct')^2- (ct)^2+r^2\)
\(\displaystyle t'=\gamma (t-\frac{(\vec{V}\vec{r})}{c^2})\) (1)
После преобразований получим:
\(\displaystyle r'^2=r^2+\gamma ^2(Vt-\frac{(\vec{V}\vec{r})}{V})^2-\frac{(\vec{V}\vec{r})^2}{V^2}\) (2)

Для луча света интервалы равны нулю, то есть r=ct и r'=ct' (3)
Преобразуем формулу (2), используя r=ct
Получим мою формулу:
\(\displaystyle r'=\gamma (r-Vt\cos \varphi )\) (4)
Используем  (3) и найдем t'
\(\displaystyle t'=\frac{r'}{c}=\gamma\left ( \frac{r}{c}-\frac{Vt\cos \varphi }{c} \right )=\gamma \left ( t-\frac{Vct\cos \varphi }{c^2} \right ) =\gamma \left ( t-\frac{(\vec{V}\vec{r})}{c^2} \right )\)

Получается что (1) является универсальной формулой.
Я её вывел для света, но она подходит и для произвольных координат.
Странно.

Да, вот так.

Оффлайн Иван Горин

  • Модератор
  • Местный мудрец
  • *****
  • Сообщений: 3629
  • Страна: de
  • Рейтинг: +534/-930
  • Пол: Мужской
Re: Преобразования координат
« Ответ #257 : 02 Ноябрь 2020, 21:47:30 »
Да, вот так.

Значит я не ошибся?
Но почему выходит так?
Игнорирую пользователей.
Кышрот, Милянцев, Вашкевич, Старый.

Оффлайн Ost

  • Местный мудрец
  • *****
  • Сообщений: 1065
  • Страна: ru
  • Рейтинг: +238/-29
Re: Преобразования координат
« Ответ #258 : 03 Ноябрь 2020, 16:46:36 »
Значит я не ошибся?
Но почему выходит так?
Для формулы преобразования координат \(\displaystyle r'=(r-V~t~cos(\varphi))~\gamma\)  были использованы
одновременно две функции (\(c~t~-\) при выводе формулы) и (\(r(t)~-\) при применении формулы), что привело к противоречию,
так как координаты заложенные в формулу могут принадлежать только одному событию.

В случае формулы \(\displaystyle  t'=\left(t-\frac{\vec V \cdot ~\vec r}{c^2}\right)~\gamma\)
Мы можем записать дифференциал \(\displaystyle  dt'=-\frac{\vec V \cdot ~d \vec r}{c^2}~\gamma\).
Видно, что интеграл от этого дифференциала не зависит от особенностей пути во времени, а зависит только от конечного значения \(r(t)\).
Фактически не зависит от выбора функции \(r(t)\), а только от её значения в момент события (полный дифференциал). 
« Последнее редактирование: 03 Ноябрь 2020, 17:35:12 от Ost »

Оффлайн Иван Горин

  • Модератор
  • Местный мудрец
  • *****
  • Сообщений: 3629
  • Страна: de
  • Рейтинг: +534/-930
  • Пол: Мужской
Re: Преобразования координат
« Ответ #259 : 03 Ноябрь 2020, 21:36:13 »
Для формулы преобразования координат \(\displaystyle r'=(r-V~t~cos(\varphi))~\gamma\)  были использованы
одновременно две функции (\(c~t~-\) при выводе формулы) и (\(r(t)~-\) при применении формулы), что привело к противоречию,
так как координаты заложенные в формулу могут принадлежать только одному событию.

В случае формулы \(\displaystyle  t'=\left(t-\frac{\vec V \cdot ~\vec r}{c^2}\right)~\gamma\)
Мы можем записать дифференциал \(\displaystyle  dt'=-\frac{\vec V \cdot ~d \vec r}{c^2}~\gamma\).
Видно, что интеграл от этого дифференциала не зависит от особенностей пути во времени, а зависит только от конечного значения \(r(t)\).
Фактически не зависит от выбора функции \(r(t)\), а только от её значения в момент события (полный дифференциал). 
Понятно t=const
Мы к этому вернёмся.

Игнорирую пользователей.
Кышрот, Милянцев, Вашкевич, Старый.

Большой Форум

Re: Преобразования координат
« Ответ #259 : 03 Ноябрь 2020, 21:36:13 »
Loading...