Формула \(\displaystyle r'=(r-V~t~cos(\varphi))~\gamma\) не подходит для произвольных координат события.
Это только частный случай для луча света.
В общем случае используется векторный вариант
\(\displaystyle \vec r=\vec r'+(\gamma-1)~\frac{(\vec V \cdot ~\vec r')~\vec V}{V^2}+\gamma~\vec V~t'\);
\(\displaystyle t=\left(t'+\frac{\vec V \cdot ~\vec r'}{c^2}\right)~\gamma\).
Проверим подходит или нет.
Из ППЛ в векторном виде найдем модуль вектора \(\displaystyle \vec{r'}\)
\(\displaystyle \vec r'=\vec r+(\gamma-1)~\frac{(\vec V \cdot ~\vec r)~\vec V}{V^2}-\gamma~\vec V~t\)Вектора \(\displaystyle \vec{r}\) и \(\displaystyle \vec{V}\) лежат в одной произвольной плоскости под углом \(\displaystyle \varphi\)
\(\displaystyle \vec{r'}=\vec{r}+\vec{V}\left [ \frac{(\gamma -1)Vr\cos \varphi }{V^2}-\gamma t \right ]\)
\(\displaystyle \vec{r'}=\vec{r}+\vec{V}\left [ \frac{(\gamma -1)r\cos \varphi }{V}-\gamma t \right ]\)
\(\displaystyle \vec{r'}=\vec{r}+\vec{V}t\left [ \frac{(\gamma -1)ct\cos \varphi }{V}-\gamma \right ]\)
\(\displaystyle \vec{r'}=\vec{r}+\vec{V}t\left [ \frac{(\gamma -1)\cos \varphi }{\beta}-\gamma \right ]\)
\(\displaystyle \beta =\frac{V}{c}\)
\(\displaystyle \vec{r'}=\vec{r}+\frac{\vec{V}t}{\beta }\left [ (\gamma -1)\cos \varphi-\gamma \beta \right ]\)
\(\displaystyle r'^2=r^2+r^2\left [ (\gamma -1)\cos \varphi-\gamma \beta \right ]^2+2r^2\left [ (\gamma -1)\cos \varphi-\gamma \beta \right ]\cos \varphi \)
\(\displaystyle r'^2=r^2+r^2\left [ (\gamma -1)\cos \varphi-\gamma \beta \right ]\left [ (\gamma -1)\cos \varphi-\gamma \beta +2\cos \varphi \right ]\)
\(\displaystyle \left [ (\gamma -1)\cos \varphi-\gamma \beta \right ]\left [ (\gamma -1)\cos \varphi-\gamma \beta +2\cos \varphi \right ] =\left [ \gamma (\cos \varphi -\beta )-\cos \varphi \right ]\left [ \gamma (\cos \varphi -\beta )+\cos \varphi \right ]=\)
\(\displaystyle \gamma^2 (\cos \varphi -\beta )^2-\cos \varphi^2\)
\(\displaystyle r'^2=r^2\left [ 1+ \gamma^2 (\cos \varphi -\beta )^2-\cos \varphi^2 \right ]\)
\(\displaystyle r'^2=r^2\left [ 1+ \frac{(\cos \varphi -\beta )^2}{1-\beta ^2}-\cos \varphi^2 \right ]\)
\(\displaystyle r'^2=\frac{r^2}{1-\beta ^2}\left [ 1-\beta ^2+ (\cos \varphi -\beta )^2-\cos \varphi^2 +\beta ^2\cos \varphi ^2 \right ]=\frac{r^2(1-\beta \cos \varphi )^2}{1-\beta ^2}\)
\(\displaystyle r'=\frac{r(1-\beta \cos \varphi )}{\sqrt{1-\beta ^2}}=\gamma (r-Vt\cos \varphi )\)
Что и требовалось доказать.