Проверим подходит или нет.
Из ППЛ в векторном виде найдем модуль вектора \(\displaystyle \vec{r'}\)
\(\displaystyle \vec r'=\vec r+(\gamma-1)~\frac{(\vec V \cdot ~\vec r)~\vec V}{V^2}-\gamma~\vec V~t\)
Вектора \(\displaystyle \vec{r}\) и \(\displaystyle \vec{V}\) лежат в одной произвольной плоскости под углом \(\displaystyle \varphi\)
\(\displaystyle \vec{r'}=\vec{r}+\vec{V}\left [ \frac{(\gamma -1)Vr\cos \varphi }{V^2}-\gamma t \right ]\)
\(\displaystyle \vec{r'}=\vec{r}+\vec{V}\left [ \frac{(\gamma -1)r\cos \varphi }{V}-\gamma t \right ]\)
\(\displaystyle \vec{r'}=\vec{r}+\vec{V}t\left [ \frac{(\gamma -1)ct\cos \varphi }{V}-\gamma \right ]\)
\(\displaystyle \vec{r'}=\vec{r}+\vec{V}t\left [ \frac{(\gamma -1)\cos \varphi }{\beta}-\gamma \right ]\)
\(\displaystyle \beta =\frac{V}{c}\)
\(\displaystyle \vec{r'}=\vec{r}+\frac{\vec{V}t}{\beta }\left [ (\gamma -1)\cos \varphi-\gamma \beta \right ]\)
\(\displaystyle r'^2=r^2+r^2\left [ (\gamma -1)\cos \varphi-\gamma \beta \right ]^2+2r^2\left [ (\gamma -1)\cos \varphi-\gamma \beta \right ]\cos \varphi \)
\(\displaystyle r'^2=r^2+r^2\left [ (\gamma -1)\cos \varphi-\gamma \beta \right ]\left [ (\gamma -1)\cos \varphi-\gamma \beta +2\cos \varphi \right ]\)
\(\displaystyle \left [ (\gamma -1)\cos \varphi-\gamma \beta \right ]\left [ (\gamma -1)\cos \varphi-\gamma \beta +2\cos \varphi \right ] =\left [ \gamma (\cos \varphi -\beta )-\cos \varphi \right ]\left [ \gamma (\cos \varphi -\beta )+\cos \varphi \right ]=\)
\(\displaystyle \gamma^2 (\cos \varphi -\beta )^2-\cos \varphi^2\)
\(\displaystyle r'^2=r^2\left [ 1+ \gamma^2 (\cos \varphi -\beta )^2-\cos \varphi^2 \right ]\)
\(\displaystyle r'^2=r^2\left [ 1+ \frac{(\cos \varphi -\beta )^2}{1-\beta ^2}-\cos \varphi^2 \right ]\)
\(\displaystyle r'^2=\frac{r^2}{1-\beta ^2}\left [ 1-\beta ^2+ (\cos \varphi -\beta )^2-\cos \varphi^2 +\beta ^2\cos \varphi ^2 \right ]=\frac{r^2(1-\beta \cos \varphi )^2}{1-\beta ^2}\)
\(\displaystyle r'=\frac{r(1-\beta \cos \varphi )}{\sqrt{1-\beta ^2}}=\gamma (r-Vt\cos \varphi )\)
Что и требовалось доказать.
Уважаемый
Иван Горин, Вы забыли про граничные условия. Тогда как учет граничных условий приводит к преобразованиям Галилея.
Что такое граничные условия? Это единственность причинно-следственных связей в континууме, не порождающая противоречий в существовании объектов и явлений. Тогда как любая форма относительности времени и пространства не поддерживает единственности причинно-следственных связей, порождает множественный характер несовместимых линий причинности. Ввиду чего, относительность времени и пространства не совместима со свойством нашего мира состоящим в наличии одной линии причинно-следственных связей порождаемой абсолютностью времени и пространства. Отсюда, преобразования Лоренца не удовлетворяют условиям сохранения причинности, а преобразования Галилея удовлетворяют.
Поэтому, Ваш вывод преобразований координат игнорирует граничные условия.
Примечание. Если предположить, что время относительно, и оно может течь в системе с разными скоростями, относительно других систем, то через какое то время эти все времена расходятся, и в них возникают различные события, которые не совместимы между собой. Это и есть различные линии причинности порождаемые различиями в ходе времени. Например, в одной линии причинности яблоко уже упало, а в другой оно висит на ветке, и его срывает мальчик. В третьей линии причинности яблоко сгрызает червяк, и поэтому мальчик касается его, но не срывает яблоко, и оно падает. Но, падает в другой момент, чем первое яблоко и в другом состоянии. Когда все эти линии причинности пересекаются в одном яблоке, то они становятся противоречивыми. Тогда как абсолютный характер времени во всех СО предохраняет от этого тем, что событие одинаково во всех СО, и поэтому оно не порождает противоречий существования.
