Для ПЛ не имеет значения неподвижно или движется, координаты берутся в один момент, что равносильно покою.
ПЛ просто преобразуют координаты не зависимо от движения тел в системе отсчёта.
Про это ВЫ уже долбостебили
когда тело в одной ИСО неподвижно.
Это не имеет значения.
ПЛ транслируют просто координаты, безусловно.
и я уже отвечал
И здесь тоже перевираете уже написанное мной , вынуждая меня повторять вполне официальное толкование СТО:
ПЛ транслируют просто координаты, безусловно - три пространственные координаты ВМЕСТЕ СО ВРЕМЕНЕМ - поэтому В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ (когда тело движется в обеих ИСО) из одновременных "событий" - множества точек тела, задающих его форму в один момент времени в исходной ИСО - в результате одноразового применения ПЛ получается множество НЕ ОДНОВРЕМЕННЫХ событий (получающиеся 4-х координаты точек НЕ одновременны и поэтому НЕ ДАЮТ ФОРМЫ тела).
И ТОЛЬКО в частном случае когда тело в одной ИСО неподвижно - координаты его точек одинаковые в ЛЮБОЙ момент времени - можно получить форму тела (в один момент времени) одноразовым выполнением ПЛ.
Ладно, чтобы без навязываемой Вами филосни, беру понравившуюся Вам методу и применяю ее к трем точкам стержня - А и В на концах и центр вращения О посередине между ними, в исходный момент времени to=0 в положении когда все три точки лежат на оси Х системы где стержень длиной 2r только вращается с угловой скоростью w:
Xa=-r, Ya=0,
Xb=r, Yb=0,
Xo=0, Yo=0.
Определяю пространственно-временные координаты этих точек в системе, которая движется параллельно той же оси Х со скоростью V вправо (стержень там будет смещаться в противоположном направлении, со скоростью -V, влево)
\(\gamma=1/\sqrt{1-(v/c)^2}\).
\(x'_a=-\gamma r\), \(y'_a=0\), \(t'_a=\gamma rv/c^2\),
\(x'_b=\gamma r\), \(y'_b=0\), \(t'_b=-\gamma rv/c^2\),
\(x'_o=0\), \(y'_o=0\), \(t'_o=0\).
Для трех точек получили три разные момента времени:
центр О в момент \(t'_o=0\),
конец А в "будущем" \(t'_a=\gamma rv/c^2\),
конец В в "прошлом" \(t'_b=-\gamma rv/c^2\).
Чтобы привести координаты концов А и В к "центральному" моменту времени, нужно учесть их смещение за соответствующие промежутки времени, учитывая также, что они оба движутся перпендикулярно оси Х (пока приближенно, без точного учета аберрации) и противоположно друг другу со скоростями
\(u_a=-\omega r\) и \(u_b=\omega r\).
ПОэтому координату Ха нужно перевести из "будущего" в "настоящее", сдвинув вправо на величину смещения
\(vt'_a=\gamma rv^2/c^2 \),
\(x'_{a0}=x_a+vt'_a=-\gamma r+\gamma rv^2/c^2=-r/\gamma \)
координату Хb нужно перевести из "прошлого" в "настоящее", сдвинув влево на величину смещения
\(vt'_b=-\gamma rv^2/c^2\),
\(x'_{b0}=x_b+vt'_b=\gamma r-\gamma rv^2/c^2=r/\gamma \).
По этой координате Х результаты получаются такими же , как и по приведенной Остом ссылке, традиционно поясняющей сокращение размеров на примере стержня, неподвижного в исходной собственной ИСО.
Но в рассматриваемой здесь задаче из-за вращения стержня за те же промежутки НЕодновременности его концы сместятся не только по оси Х, дав "обычные сокращения", но еще и по оси У, чего нет в стандартном примере.
Для конца А из "будущего" координата y'a=0 перейдет в "настоящее"
\(y_{a0}=u_a t'_a=\omega r \gamma rv/c^2\),
а для конца В из "прошлого" координата y'b=0 перейдет в "настоящее"
\(y_{b0}=u_b t'_b=\omega r \gamma rv/c^2\).
Таким образом, в системе где стержень при вращении движется, для одного момента времени t'o=0 оба конца стержня находятся выше оси Х, а центр вращения О остается на оси - стержень получается изогнутым дугой, концами вверх, в отличие от "учебного" стержня, который не вращается.
Если же отсюда, зная ОДНОВРЕМЕННУЮ форму стержня, перемещающегося при вращении, сделать обратные преобразования в исходную систему, одноразовое применение ПЛ конечно же даст те же "дугообразные" координаты по оси У - для РАЗНЫХ моментов времени t, которые тоже придется переводить к одному "центральному" с учетом вращения - и только после этой корректировки опять получится прямая исходная форма стержня.
