Стрельба на карусели.Задача Иссена

[Иван Горин]

Рассмотрим подробно задачу Иссена, которую он привёл в основном разделе.

Простейшая задача.
Плоская карусель R=10 метров вращается с угловой скоростью 3 градуса в секунду. Стрелок на окружности, мишень тоже на окружности через диаметр (линия визирования, естественно, проходит через центр круга). Скорость пули 1 м/с.
Куда прикажите целиться стрелку, чтобы поразить цель?

Приведём чертёж.




На чертеже в точке А находится стрелок.
В точке В - цель.
Карусель поворачивается против часовой стрелки с угловой скоростью \(\displaystyle \omega \)
Угол альфа - угол упреждения стрельбы.
Угол \(\displaystyle \beta\) - угол результирующей скорости пули в неподвижной системе координат, отсчитанный от оси OX.
Угол \(\displaystyle \gamma\) - угол поворота карусели до встречи с пулей.
Из чережа видно, что в момент встречи цели и пули  \(\displaystyle \gamma\)=\(\displaystyle 2\beta\)
Учтём это при дальнейших выводах.
Vb - скорость вылета пули из ствола.
\(\displaystyle \omega R\) - тангенциальная или линейная скорость пули за счёт вращения карусели.
Точки А1 и В1 - новые положения стрелка и цели при повороте на момент встречи пули с целью.

Продолжение следует.
Эта тема учебная и всегда закрыта.
Открыта только для математиков БФ. Алекспо, Оста, Геро, Дробышева, Беляева, Мастерова и других вновь пришедших математиков и физиков. Эти математики имеют право указывать на мои ошибки.
Я тоже иногда делаю ошибки.

Остальные форумчане могут оставлять свои комментарии по данной теме в оригинальной теме Иссена в основном разделе.

[Иван Горин]

На чертеже в точке А находится стрелок.
В точке В - цель.
Карусель поворачивается против часовой стрелки с угловой скоростью \(\displaystyle \omega \)
Угол альфа - угол упреждения стрельбы.
Угол \(\displaystyle \beta\) - угол результирующей скорости пули в неподвижной системе координат, отсчитанный от оси OX.
Угол \(\displaystyle \gamma\) - угол поворота карусели до встречи с пулей.
Из чережа видно, что в момент встречи цели и пули  \(\displaystyle \gamma\)=\(\displaystyle 2\beta\)
Учтём это при дальнейших выводах.
Vb - скорость вылета пули из ствола.
\(\displaystyle \omega R\) - тангенциальная или линейная скорость пули за счёт вращения карусели.
Точки А1 и В1 - новые положения стрелка и цели при повороте на момент встречи пули с целью.

Из чертежа найдём рузультитующий вектор скорости пули V в неподвижной системе координат.
\(\displaystyle \vec{V}=\vec{V_b}+\vec{\omega R}\)
Вектора выделены синим цветом.
Модуль вектора результирующей скорости пули.
\(\displaystyle V=\sqrt{V_b^2+2V_b\omega Rcos(\alpha +\frac{\pi }{2})+(\omega R)^2}\)
\(\displaystyle V=\sqrt{V_b^2-2V_b\omega R\sin (\alpha)+(\omega R)^2}\)

Из чертежа находим угол \(\displaystyle \beta\)
\(\displaystyle \cos (\beta )=\frac{V_b\cos \alpha }{V}\)
Расстояние L, которое пролетит пуля до встречи с окружностью. На череже это отрезок АВ₁
Из чертежа видно, что это расстояние:
\(\displaystyle L=2R \cos \beta\)
...

[Иван Горин]

В тоже врямя \(\displaystyle L=VT\)
\(\displaystyle cos\beta =\frac{V_x}{V}\)
\(\displaystyle \beta =\frac{\omega T}{2}\)
\(\displaystyle VT=2R\frac{V_x}{V}\) (1)
\(\displaystyle \cos (\frac{\omega T}{2})=\frac{V_x}{V}\)
\(\displaystyle T=\frac{2}{\omega }\arccos \frac{V_x}{V}\)
Подставим T в (1)
\(\displaystyle \frac{2V}{\omega }\arccos \frac{V_x}{V}=2R\frac{V_x}{V}\)
После преобразований получим:

\(\displaystyle \frac{V_x}{V}=cos(\frac{\omega RV_x}{V^2})\)

Подставляем в полученное транциндентное уравнение исходные данные и решаем это уравнение при помощи функции solver из Excel.
\(\displaystyle V_x=V_bcos\alpha =cos\alpha\)
\(\displaystyle \omega R=0,524 \frac{м}{сек}\)
\(\displaystyle V=\sqrt{1^2-2*1*0,524sin\alpha +0,524^2}=\sqrt{1,2746-1,048sin\alpha }\)

Результат решения \(\displaystyle \alpha =63,5°\)
Найдём остальные данные
\(\displaystyle \beta =39,7°\)
T=26,5 сек
L=15,4 м
V=0,581 м/сек
\(\displaystyle V_x =cos63,5°=0,446\) м/сек
Найдём абсолютную ошибку решения нашего транциндентного уравнения
\(\displaystyle \frac{V_x}{V}-cos(\frac{\omega RV_x}{V^2})=\frac{0,446}{0,581}-cos(\frac{0,524*0,446}{0,581^2})=-0,0021\)
Ошибка получилась достаточно большая, потому что я округлил решение EXCEL до одного знака после запятой.
EXCEL выдал решение \(\displaystyle \alpha =63,476°\)
Здесь ошибка будет \(\displaystyle 2*10^{-5}\)

Нам такая точность не требуется.

[Иван Горин]

Траектория движения пули



Радиус вектор пули в неподвижной системе координат
\(\displaystyle \vec{r}=\vec{R}+\vec{V}t=Re^{i\pi }+Vte^{i\beta }\) (1)
Радиус вектор пули в системе карусели
\(\displaystyle \vec{r'}=Re^{i(\pi -\gamma )}+Vte^{i(\beta -\gamma )}\) (2)
\(\displaystyle \gamma =\omega t\)

Координаты пули в системе карусели найдём из (2) по правилам тригонометрии
\(\displaystyle x'=Vtcos(\beta -\omega t)-Rcos(\omega t)\)
\(\displaystyle y'=Rsin(\omega t)+Vtsin(\beta -\omega t)\)
...

[Иван Горин]

График траектории пули в системе карусели

[Иван Горин]

Вектор скорости пули в системе карусели.

Вспомним из предыдущего поста.
Радиус вектор пули в системе карусели
\(\displaystyle \vec{r'}=Re^{i(\pi -\gamma )}+Vte^{i(\beta -\gamma )}\) (2)
\(\displaystyle \gamma =\omega t\)

Производная радиуса вектора по времени даёт нам вектор скорости пули относительно центра карусели:
\(\displaystyle \dot{\vec{r'}}=Ve^{i(\beta -\omega t)}-i\omega Vte^{i(\beta -\omega t)}+i\omega Re^{-i\omega t}\)

В проекциях на оси координат системы карусели
\(\displaystyle \dot{x'}=V \cos (\beta -\omega t)+V\omega t\sin (\beta -\omega t)+\omega R\sin (\omega t)\)
\(\displaystyle \dot{y'}=V \sin (\beta -\omega t)-V\omega t\cos (\beta -\omega t)+\omega R \cos (\omega t)\)

Привожу таблицу, из которой видно, что вектор скорости является касательной к траектории полёта пули в штрихованной системе координат карусели

[Иван Горин]

Вектор ускорения пули в системе карусели.
Этот вектор есть производная по времени от вектора скорости:
\(\displaystyle \dot{\vec{r'}}=Ve^{i(\beta -\omega t)}-i\omega Vte^{i(\beta -\omega t)}+i\omega Re^{-i\omega t}\)

Возьмём эту производную:
\(\displaystyle \ddot{\vec{r'}}=-i\omega Ve^{i(\beta -\omega t)}-i\omega V[e^{i(\beta -\omega t)}-i\omega te^{i(\beta -\omega t)}]+\omega^2 Re^{-i\omega t}\)

\(\displaystyle \ddot{\vec{r'}}=-i2\omega Ve^{i(\beta -\omega t)}-\omega^2 Vte^{i(\beta -\omega t)}+\omega ^2Re^{-i\omega t}\)

Первое слагаемое - вектор ускорения Кориолиа.
Сумма второго и третьего - центробежное ускорение пули в системе карусели. Этот вектор совпадает по направлению в радиусом вектором пули в системе карусели.
Сила Кориолиса поворачивает пулю по часовой стрелке.
Центробежная сила удаляет пулю от центра.
В итоге - траектория пули это расширяющаяся спираль.
Реально в ИСО на пулю не действуют никакие силы по условию задачи.
И в системе карусели на пулю также не действуют никакие силы.
Силы Кориолиса и центробежная - в системе карусели это чисто кинематический эффект.

А на стрелка на карусели действует реальная центробежная сила, которая прижимает его к спинке кресла. И это уже не кинематический эффект. Для стрелка это реальная сила.
Причина заключается в том, что пуля свободна, а стрелок закреплён в кресле.

Много споров было по этому поводу.
На стрелка действует  центростремительная сила, и она давит на стрелка спинкой кресла.

А стрелок чувствует другое. Его прижимает к спинке кресла какая-то сила - центробежная фиктивная (кажущеяся). А для стрелка эта сила полностью реальная.

А на пулю не действуют никакие силы ни в одной из систем отсчётов. Она не закреплена.
И поэтому в системе карусели все силы для неё чисто фиктивные.

[Иван Горин]

Тему пока открыл.
Флуд , хамство и оскорбления удаляю без предупреждений.

[severe]

Силы Кориолиса и центробежная - в системе карусели это чисто кинематический эффект.

Поддерживаю.
Свободная пуля движется в системе карусели по расширяющейся спирали. Вопрос: скорость её колеблется по модулю с течением времени или постепенно нарастает? На график бы скорости посмотреть. Но можно ответить и без графика на словах.

[Иван Горин]

Поддерживаю.
Свободная пуля движется в системе карусели по расширяющейся спирали. Вопрос: скорость её колеблется по модулю с течением времени или постепенно нарастает? На график бы скорости посмотреть. Но можно ответить и без графика на словах.

Я привел таблицу изменения модуля скорости пули и угла поворота в системе карусели в зависимоти от времени. И нее все видно.
А график ничего не покажет.
Из таблицы видно, что модуль скорости пули в системе карусели от момента старта до момента достижения цели равен примерно 1 м/сек.
Из таблицы также видно, что модуль скорости пули после поражения условной цели, не врезаясь в нее, увеличивается при дальнейшем движении пули.

[Иван Горин]

Графическое решение задачи.
Угол полёта пули
\(\displaystyle \beta _п=\arcsin \left ( \frac{V_b\sin \alpha -\omega R}{V} \right )\)
Введём коэффициент Мастерова.
\(\displaystyle k=\frac{V_b}{\omega R}=1,91\)
\(\displaystyle \beta _п=\arcsin \left ( \frac{k\sin \alpha -1 }{\sqrt{k^2-2\sin \alpha +1}}\right )\)

Пуля дойдёт до встречи с окружносью карусели за время t.
За это время карусель развернётся вокруг своей оси на угол \(\displaystyle \gamma =\omega t=2\beta _{кар}\)
\(\displaystyle \beta _{кар}=\frac{k\cos \alpha }{k^2-2k\sin \alpha +1}\)

Привожу таблицу вычислений и графики.
В таблицу я включил также модуль скорости пули, длину и время пролёта до встречи с окружностью карусели.
Эти данные вычисляются по формулам:
\(\displaystyle V=\omega R\sqrt{k^2-2k\sin \alpha +1}\)
\(\displaystyle L=2R\cos \beta _п\)
\(\displaystyle t=\frac{L}{V}\)



Таблица показывает также все замечательные точки, которые привёл Алекспо.



Точка пересечения кривых даёт ответ задачи со всеми данными.

[Иван Горин]

Иссен привёл решение своей задачи.
Разберём его решение подробно.

Вы запутано рисуете рисунок.
Рисовать нужно так:
1. По дуге окружности откладываете 60 градусов (20-ти секундная точка упреждения).
2. От стрелка в эту точку откладываете луч (это 1 м/с), другой луч идёт по касательной к окружности (это 0,5236 м/с).
3. Параллельно отложенным векторам проводите лучи. Получили параллелограмм векторов скоростей.
4. От стрелка проводите луч (будущая путевая скорость), делящий параллелограмм пополам (вершина чуть правее диаметра).
5. Соединяем точку упреждения с мишенью и с центром. Из образованных треугольников сразу видно, что острый угол параллелограмма равен 60 градусов.
6. Теперь по теореме косинусов находим путевую скорость пули (0,866 м/с).
7. Из прямоугольного треугольника, опирающегося на диаметр, видно, что стрелок должен прицеливаться влево 30 градусов от диаметра.
8. Время полёта пули по хорде (17,32 м) с путевой скоростью (0,866 м/с) составит 20 секунд.

Это решение задачи с независимой после выстрела пулей.

Из его описания сделаем чертёж.



Угол поворота карусели \(\displaystyle \gamma =\omega t=3*20=60°\)
Стрелок при выстреле прицеливается в ту точку, где будет цель через 20 сек. Пункт 7 решения Иссена.
Для стрелка угол упреждения будет \(\displaystyle \alpha =30°\). Тоже из пункта 7.
В конце анализа решения будет видно, что это предположение неверное.

Модуль скорости пули Иссен определил верно.

\(\displaystyle V=\sqrt{V_b^2-2V_b\omega Rsin30°+(\omega R)^2}=\sqrt{1^2-2*1*0,5236*0,5+0;5236^2}=0,866\) м/сек
4 и 5 пункты у Иссена правильные.
Найдём угол, под которым полетит пуля по отношению к оси ОХ из условия равенства проекций скоростей на ось ОY
\(\displaystyle V_b\sin \alpha-\omega R =V\sin \beta\)
\(\displaystyle \sin \beta =\frac{V_b\sin 30°-0,5236}{0,866} =\frac{0,5-0,5236}{0,866}=-0,2725\)
\(\displaystyle \beta =-1,56°\)

Расстояние, которое пролетит пуля за 20 сек.
\(\displaystyle AP=Vt=0,866*20=17,32м\)
То есть пуля не долетит даже до окружности.
Таким образом, через 20 сек.после выстрела под углом упреждения 30°, цель будет в точке B1, а пуля в точке P.

Решение задачи автора темы, Иссена, неверное.

[A_Abramovich]

Решение задачи очень просто. На пулю, вылетающую из ружья на карусели не действует ни центробежная, ни центростремительная сила. Поэтому, пуля движется до цели в инерциальной системе отсчета по прямой. Поэтому, нужно целиться в ту точку на карусели, в которой окажется цель в тот момент, как туда долетит пуля двигаясь по прямой со скоростью V=1 м/сек в инерциальной системе отсчета.  Если бы стрелок находился в центре окружности с радиусом R, то время полета пули до окружности будет равно T = R/V. При этом, цель сместится по окружности на угол  a = w T, где w угловая скорость вращения карусели.

Но, нам нужно найти расстояние от цели до положения стрелка, определяемого в инерциальной (покоящейся) СО на момент выстрела. Это расстояние до цели при повороте карусели можно найти из рассмотрения треугольника, образованного двумя радиусами. Один из которых проходит через точку выстрела в инерциальной покоящейся СО. Другой, через местоположение цели, зависящее от радиуса поворота. Расстояние до цели равно

S= 2cos 1/2(180 - w T)   и   S= VT            (1)     

2cos 1/2(180 - w T) = VT                           (2)

Отсюда, решая уравнение  (2) относительно времени, получим время, за которое цель повернется на угол "альфа". Этот угол и указывает местоположение точки прицеливания.

[Иван Горин]

Решение задачи очень просто. На пулю, вылетающую из ружья на карусели не действует ни центробежная, ни центростремительная сила. Поэтому, пуля движется до цели в инерциальной системе отсчета по прямой. Поэтому, нужно целиться в ту точку на карусели, в которой окажется цель в тот момент, как туда долетит пуля двигаясь по прямой со скоростью V=1 м/сек в инерциальной системе отсчета.  Если бы стрелок находился в центре окружности с радиусом R, то время полета пули до окружности будет равно T = R/V. При этом, цель сместится по окружности на угол  a = w T, где w угловая скорость вращения карусели.

Но, нам нужно найти расстояние от цели до положения стрелка, определяемого в инерциальной (покоящейся) СО на момент выстрела. Это расстояние до цели при повороте карусели можно найти из рассмотрения треугольника, образованного двумя радиусами. Один из которых проходит через точку выстрела в инерциальной покоящейся СО. Другой, через местоположение цели, зависящее от радиуса поворота. Расстояние до цели равно

S= 2cos 1/2(180 - w T)   и   S= VT            (1)     

2cos 1/2(180 - w T) = VT                           (2)

Отсюда, решая уравнение  (2) относительно времени, получим время, за которое цель повернется на угол "альфа". Этот угол и указывает местоположение точки прицеливания.

Хорошо, Абрамович. Но ваше решение неверное.
У вас две ошибки.
1. Вы не учли тангенциальную скорость пули в ИСО.
2. В вашей формуле должен стоять sin, а не cos.
А в общем у вас правильные рассуждения.

[Иван Горин]

Многим форумчанам непонятно использование комплексного исчисления в механике на плоскости.
Для примера привожу вывод вектора скорости пули этим методом.



Даны два вектора скоростей.
\(\displaystyle \vec{V_b}=V_be^{i\alpha }\)
\(\displaystyle \vec{V_\tau }=\omega Re^{-i\frac{\pi }{2} }\)
Результирующий вектор скорости пули:
В показательной форме
\(\displaystyle \vec{V}=\vec{V_b}+\vec{V_\tau }=V_be^{i\alpha }+\omega Re^{-i\frac{\pi }{2} }\)
В тригонометрической форме
\(\displaystyle \vec{V}=V_b\cos \alpha +iV_b\sin \alpha -i\omega R=V_b\cos \alpha +i(V_b\sin \alpha -\omega R)\)
В показательной форме
\(\displaystyle \vec{V}=Ve^{i\beta }=\sqrt{(V_b\cos \alpha )^2+(V_b\sin \alpha -\omega R)^2}e^{i\arctan (\frac{V_b\sin \alpha -\omega R}{V_b})}\)

Модуль скорости пули в ИСО
\(\displaystyle V=\sqrt{(V_b\cos \alpha )^2+(V_b\sin \alpha -\omega R)^2}=\sqrt{V_b^2-2V_b\omega R\sin \alpha +(\omega R)^2}\)
Угол вектора скорости пули в ИСО по отношению к неподвижной оси абсцисс.
\(\displaystyle \beta =\arctan (\frac{V_b\sin \alpha -\omega R}{V_b})\)

[Иван Горин]

Модификация задачи по предложению форумчанина Севера.
Пуля летит по диаметру.
Цель делает N оборотов.
Пуля должна попасть в цель.
Скорость вылета пули из ствола оставляем прежней
Vb=1 м/сек
Радиус карусели также оставляем прежним.
Найдём угловую скорость карусели и угол стрельбы альфа.
Из новой постановки задачи следует, что наш угол beta =0.
И задача упрощается.
Скорость пули в ИСО.
\(\displaystyle V=\sqrt{V_b^2-\omega ^2R^2}\)
Время полёта пули по диаметру
\(\displaystyle t_п=\frac{2R}{\sqrt{V_b^2-\omega ^2R^2}}\)
Время движения мишени по окружности
\(\displaystyle t_м=\frac{2\pi RN}{\omega R}\)
Из равентсва этих времён:
\(\displaystyle\frac{2R}{\sqrt{V_b^2-\omega ^2R^2}}=\frac{2\pi RN}{\omega R}\)
\(\displaystyle \pi N\sqrt{V_b^2-\omega ^2R^2}=\omega R\)
Возведём обе части в квадрат
\(\displaystyle \pi ^2N^2(V_b^2-\omega ^2R^2)=\omega ^2R^2\)
\(\displaystyle \pi ^2N^2V_b^2=\pi ^2N^2\omega ^2R^2+\omega ^2R^2\)
\(\displaystyle \pi ^2N^2V_b^2=(\pi ^2N^2+1)\omega ^2R^2\)
Извлекаем корень квадратный из обеих частей уравнения и находим угловую скорость:
\(\displaystyle \omega =\frac{V_b}{R\sqrt{1+\frac{1}{N^2\pi ^2}}}\)

синус угла стрельбы
\(\displaystyle \sin \alpha =\frac{\omega R}{V_b} =\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{N^2\pi ^2}}}<1\)
При N=0,5 стрелок попадёт сам в себя.

...

[severe]

При N=0,5 стрелок попадёт сам в себя.

Сори, не согласен. При N=0,5 пуля ещё будет в центре карусели, цель - в первоначальном месте стрелка, стрелок - в первоначальном месте цели.

[Иван Горин]

Теперь приведём таблицу на Excel для разных значений N по формулам, которые я вывел в предыдущем посте.
Для начала повторим эти формулы в порядке применения.
\(\displaystyle \omega =\frac{V_b}{R\sqrt{1+\frac{1}{N^2\pi ^2}}}\)
\(\displaystyle \sin \alpha =\frac{\omega R}{V_b} =\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{N^2\pi ^2}}}<1\)
\(\displaystyle V=\sqrt{V_b^2-\omega ^2R^2}\)
\(\displaystyle t_п=\frac{2R}{\sqrt{V_b^2-\omega ^2R^2}}\)
\(\displaystyle t_м=\frac{2\pi RN}{\omega R}\)



При N=0,5 или 1,5 стрелок попадает сам в себя.
При N=1 или 2 стрелок попадает в мишень напротив себя.

Пример для N=1 в системе карусели в графиках следует ...

[severe]

При N=0,5 или 1,5 стрелок попадает сам в себя.
При N=1 или 2 стрелок попадает в мишень напротив себя.

Да, Вы правы. Скорость пули, летящей по диаметру, тем больше, чем меньше N.
\(\displaystyle V=\sqrt{V_b^2-\frac{V^2_b}{{1+\frac{1}{N^2\pi ^2}}}}=V_b\sqrt{\frac{1}{N^2\pi^2+1}}\)

[Иван Горин]

Траектория пули в системе карусели при N=1

...