Математическая задача

[sergey_B_K]

Дана матрица \( (\vec a_{ij}) \), диагональные элементы которой являются нулевыми векторами, недиагональные - ненулевыми векторами, удовлетворяющими условию \( a_{ij}a_{jk}\vec a_{ki}=-a_{ji}a_{kj}\vec a_{ik} \). Поправьте, если заметили некорректность записи. Чтобы у меня не создалось впечатление, что, мол, задана матрица, все элементы которой являются нулевыми векторами

Я же Вам уже прямо показал, а Вы о нулевых векторах. Нет в матрице подобных векторов. Там только компоненты/элементы:
"Матрицей называется прямоугольная таблица чисел... Матрицы обозначаются заглавными полужирными буквами (A), а их элементы — соответствующими строчными буквами с индексами, т.е. a_ij. Первый индекс нумерует строки, а второй — столбцы. "
1. Базовые сведения. 1.1 Матрицы
Векторы встречаются в матрице только в том виде, как я показал. В общем же случае
"Если матрица состоит только из одного столбца (J = 1), то такой объект называется вектором. Точнее говоря, вектором-столбцом".
Косоугольность же матрицы у Вас напрямую следует из Ваших корявых выражений, приводящих, в том числе, и к нулевым элементам главной диагонали.

Кососимметричная матрица
Узнаёте своё условие для не диагональных элементов? 

[severe]

Нет в матрице подобных векторов. Там только компоненты/элементы:
"Матрицей называется прямоугольная таблица чисел... Матрицы обозначаются заглавными полужирными буквами (A), а их элементы — соответствующими строчными буквами с индексами, т.е. aij. Первый индекс нумерует строки, а второй — столбцы. "
1. Базовые сведения. 1.1 Матрицы
Векторы встречаются в матрице только в том виде, как я показал.

А, теперь, Вы начали утверждать, что не бывает матрицы, элементами которой являются векторы?
Вы сами уже привели пример матрицы, в первой строке которой стоят элементы-векторы

Не замечаете, что приведенный Вами пример матрицы противоречит определению матрицы, на которое Вы ссылаетесь?

Узнаёте своё условие для не диагональных элементов?

Исходная матрица \( (\vec a_{ij}) \) не обязательно кососимметричная.

[sergey_B_K]

А, теперь, Вы начали утверждать, что не бывает матрицы, элементами которой являются векторы?
Вы сами уже привели пример матрицы, в первой строке которой стоят элементы-векторы :)Не замечаете, что приведенный Вами пример матрицы противоречит определению матрицы, на которое Вы ссылаетесь?

Не забывайте, я сам Вам привёл это исключение. Если хотя бы ещё одна строка будет состоять из векторов, то будет абсурд с точки зрения теории матриц. В частности, какое будет там произведение? Скалярное? Векторное? А может абсурд, некоторого соединения бульдога с носорогом, как в соседней теме? Так оно не будет соответствовать ни одному физическому случаю произведения векторов. Лет тридцать назад я это для себя анализировал. Но сейчас гуляют символами от фонаря.

Исходная матрица \( (\vec a_{ij}) \) не обязательно кососимметричная.

У Вас обязательно и по Вашему же условию. Сами показали, после моего напоминания, что диагональные элементы обращаются в ноль, а элементы с заменой индекса строки на столбец противоположны по знаку. Индекс же к - это вообще не пришей кобыле хвост.

[severe]

У Вас обязательно и по Вашему же условию. Сами показали, после моего напоминания, что диагональные элементы обращаются в ноль, а элементы с заменой индекса строки на столбец противоположны по знаку. Индекс же к - это вообще не пришей кобыле хвост.

Если бы исходная матрица \( (\vec a_{ij}) \) была кососимметричная, то решение задачи выглядело бы, например, так \( (m_i\equiv 1) \). Я превратил диагональные элементы исходной матрицы \( (\vec a_{ij}) \) в ноль только для того, чтобы матрица \( (\vec F_{ij}\equiv m_i\vec a_{ij}) \) могла оказаться кососимметричной.

Не забывайте, я сам Вам привёл это исключение. Если хотя бы ещё одна строка будет состоять из векторов, то будет абсурд с точки зрения теории матриц.

Если Вы на этом настаиваете, то решите тогда хотя бы такую задачу. Дана несимметричная квадратная матрица \( (a_{ij}) \), диагональные элементы которой равны нулю, а недиагональные положительны и отвечают условию \( a_{ij}a_{jk}a_{ki}=a_{ji}a_{kj}a_{ik} \).
Как ввести \( (m_i) \), чтобы матрица \( (F_{ij}\equiv m_i a_{ij}) \) была симметричной?

[sergey_B_K]

Если Вы на этом настаиваете, то решите тогда хотя бы такую задачу. Дана несимметричная квадратная матрица \( (a_{ij}) \), диагональные элементы которой равны нулю, а недиагональные положительны и отвечают условию \( a_{ij}a_{jk}a_{ki}=a_{ji}a_{kj}a_{ik} \).
Как ввести \( (m_i) \), чтобы матрица \( (F_{ij}\equiv m_i a_{ij}) \) была симметричной?

Не играйте символами...

[sergey_B_K]

Как ввести \( (m_i) \), чтобы матрица \( (F_{ij}\equiv m_i a_{ij}) \) была симметричной?

В принципе, путём сложения и вычитания строк и столбцов, любую матрицу можно привести к треугольному и даже диагональному виду, но  вид компонентов матрицы при этом будет сильно усложняться с ростом номера столбца и строки. Этими же операциями можно добиться, чтобы матрица стала симметричной. К Вашей формуле это не сводится. Первую строку сделать несложно, а вот в следующих строках нужно вводить коэффициенты умножения  столбцов, которые приводили бы к симметричности элементов строки с соответствующими под главной диагональю и одновременно с этим - всех предыдущих. С ростом ранга матрицы это будет приводить к системам уравнений.
Но можно ещё проще
"Теорема. Для любой матрицы A матрицы AA^Т и A^ТA — симметричны. Для любой квадратной матрицы A матрица A+A^Т — симметрична."
Симметричная матрица
Из последнего выражения в теореме по ссылке легко доказать, что
для любой квадратной матрицы A выражение A-A^Т порождает кососимметричную матрицу

[severe]

В принципе, путём сложения и вычитания строк и столбцов, любую матрицу можно привести к треугольному и даже диагональному виду, но  вид компонентов матрицы при этом будет сильно усложняться с ростом номера столбца и строки. Этими же операциями можно добиться, чтобы матрица стала симметричной. К Вашей формуле это не сводится.

Не надо сложения и вычитания строк. Задача поставлена по-другому - надо умножение строк на число. Каждые три недиагональных элемента исходной квадратной несимметричной матрицы отвечают условию \( a_{ij}a_{jk}a_{ki}=a_{ji}a_{kj}a_{ik} \). Каждая строка исходной квадратной несимметричной матрицы должна быть умножена на своё ненулевое число, чтобы полученная матрица оказалась симметричной. Требуется найти набор этих ненулевых чисел.

[sergey_B_K]

Не надо сложения и вычитания строк. Задача поставлена по-другому - надо умножение строк на число. Каждая строка исходной квадратной несимметричной матрицы должна быть умножена на своё ненулевое число, чтобы полученная матрица оказалась симметричной. Требуется найти набор этих ненулевых чисел.

Задача решается и я показал как, если не следовать любым тупым условиям. Хотите несмотря ни на что следовать? 

[severe]

Задача решается и я показал как, если не следовать любым тупым условиям. Хотите несмотря ни на что следовать? 

Я хочу, чтобы Вы поняли, что в любой задаче есть условие. Решить задачу значит либо предложить её решение, либо доказать, что решения не существует. Объявить же голословно условие задачи тупым - это значит не решить задачу
Всё, что требуется, это доказать теорему. Если умножить первую строку квадратной несимметричной матрицы, отвечающей условию (1), на единицу, а остальные строки на \( m_i\equiv \frac{a_{1i}}{a_{i1}} \), то полученная матрица будет симметричной.
Условие (1) \( a_{ij}a_{jk}a_{ki}=a_{ji}a_{kj}a_{ik}, \ i\neq j\neq k \).

[sergey_B_K]

Я хочу, чтобы Вы поняли, что в любой задаче есть условие. Решить задачу значит либо предложить её решение, либо доказать, что решения не существует.

Я уже не раз доказал, что Ваша постановка задачи абсурдна. Вы не слышите. Продолжайте дальше сами 

[severe]

Я уже не раз доказал, что Ваша постановка задачи абсурдна. Вы не слышите. Продолжайте дальше сами 

Приведу пример, как это работает.
Несимметричная квадратная матрица \( \begin{pmatrix}
0 &3  &6 \\
5 &0  &15 \\
2 &3  &0
\end{pmatrix} \) отвечает условию
\( a_{12}a_{23}a_{31}=a_{21}a_{32}a_{13} \),
\( 3\cdot 15\cdot 2=5\cdot 3\cdot 6 \),
\( 90=90 \)

Если умножить первую строку на 1, вторую строку на \( \frac{a_{12}}{a_{21}}=\frac{3}{5} \), третью строку на \( \frac{a_{13}}{a_{31}}=\frac{6}{2}=3 \),
то получим симметричную матрицу \( \begin{pmatrix}
0 &3  &6 \\
3 &0  &9 \\
6 &9  &0
\end{pmatrix}   \)

[sergey_B_K]

Приведу пример, как это работает.
Несимметричная квадратная матрица \( \begin{pmatrix}
0 &3  &6 \\
5 &0  &15 \\
2 &3  &0
\end{pmatrix} \) отвечает условию
\( a_{12}a_{23}a_{31}=a_{21}a_{32}a_{13} \),
\( 3\cdot 15\cdot 2=5\cdot 3\cdot 6 \),
\( 90=90 \)

Если умножить первую строку на 1, вторую строку на \( \frac{a_{12}}{a_{21}}=\frac{3}{5} \), третью строку на \( \frac{a_{13}}{a_{31}}=\frac{6}{2}=3 \),
то получим симметричную матрицу \( \begin{pmatrix}
0 &3  &6 \\
3 &0  &9 \\
6 &9  &0
\end{pmatrix}   \)

Смысл подбирать "удобные" числа? 

[severe]

Походу нарисовалась загадка. Интересно, что объединяет подобные несимметричные матрицы помимо условия (1)? Может ли кто-нибудь написать подобную матрицу 3х3, все недиагональные элементы которой - разные целые положительные числа больше единицы.
Короче, задача сводится к тому, чтобы найти целые положительные \( a,b,c,d,e,f \) такие, чтобы \( a\cdot b\cdot c=d\cdot e\cdot f \) и \( a\neq b\neq c\neq d\neq e\neq f \). У меня пока не получилось.

[severe]

Смысл подбирать "удобные" числа? 

Смысл в том, чтобы Вы наконец поняли, что условие (1) - не тупое.
http://bolshoyforum.com/forum/index.php?topic=607434.msg9100542#msg9100542

[sergey_B_K]

Походу нарисовалась загадка. Интересно, что объединяет подобные несимметричные матрицы помимо условия (1)? Может ли кто-нибудь написать подобную матрицу 3х3, все недиагональные элементы которой - разные целые положительные числа.
Короче, задача сводится к тому, чтобы найти целые положительные \( a,b,c,d,e,f \) такие, чтобы \( a\cdot b\cdot c=d\cdot e\cdot f \) и \( a\neq b\neq c\neq d\neq e\neq f \). У меня пока не получилось.

Этих чисел море, например
2 21. 75  =3150
6, 35, 15 = 3150
Но не в этом суть... 

[severe]

Этих чисел море, например
2 21. 75  =3150
6, 35, 15 = 3150

Спасибо. А какие будут числа, если произведение не 3150, а минимально возможное?

Кстати, с Вашими числами теорема работает так:
\( \begin{pmatrix}
0 &2  &15 \\
6 &0  &21 \\
75 &35  &0
\end{pmatrix} \)
Умножаем первую строку данной несимметричной матрицы на единицу, вторую на \( \frac{2}{6}=\frac{1}{3} \), третью на \( \frac{15}{75}=\frac{1}{5} \).

Получим опять симметричную матрицу
\( \begin{pmatrix}
0 &2  &15 \\
2 &0  &7 \\
15 &7  &0
\end{pmatrix} \)

[sergey_B_K]

Спасибо. А какие будут числа, если их сумма минимально возможная?

Кстати, с Вашими числами теорема работает так:
\( \begin{pmatrix}
0 &2  &15 \\
6 &0  &21 \\
75 &35  &0
\end{pmatrix} \)
Умножаем первую строку данной несимметричной матрицы на единицу, вторую на \( \frac{2}{6}=\frac{1}{3} \), третью на \( \frac{15}{75}=\frac{1}{5} \).

Получим опять симметричную матрицу
\( \begin{pmatrix}
0 &2  &15 \\
2 &0  &7 \\
15 &7  &0
\end{pmatrix} \)

Во-первых, у Вас исчезли векторы, не так ли? А значит, исходная задача уже изменилась.
Во-вторых, и детерминант матрицы "поплыл", не так ли?
В-третьих, для более высших, как и более низших рангов это решение неприменимо.
В-четвёртых, У Вас не любые i, j, k, а не совпадающие, чего не было в условии задачи.
В-пятых, то известное решение, которое я показал, годится для любых матриц, а не только для тех, у которых треугольные произведения относительно главной диагонали равны.
Наконец, в шестых, где Вы видите применение этим решениям? 

[severe]

Во-первых, у Вас исчезли векторы, не так ли? А значит, исходная задача уже изменилась.
Во-вторых, и детерминант матрицы "поплыл", не так ли?
В-третьих, для более высших, как и более низших рангов это решение неприменимо.
В-четвёртых, У Вас не любые i, j, k, а не совпадающие, чего не было в условии задачи.
В-пятых, то известное решение, которое я показал, годится для любых матриц, а не только для тех, у которых треугольные произведения относительно главной диагонали равны.
Наконец, в шестых, где Вы видите применение этим решениям? 

Во-первых, я пошёл Вам навстречу. Хотел Вам угодить (временно).
Во-вторых, детерминант поплыл именно туда, куда и мог поплыть.
В-третьих, для ранга 2х2 соблюдается другое условие \( \frac{a_{12}(t)}{a_{21}(t)}=const \). И я его собирался ввести позже. Вы забегаете вперёд.
Для ранга 4х4 я уже могу написать несимметричную матрицу, отвечающую условию (1). И решение также применимо, я это докажу.
В-четвёртых, было в условии задачи, если Вы его более внимательно проанализируете.
В-пятых, я Вам уже доказал, что условие (1) не тупое, и условие задачи не выкидывают из задачи.
В-шестых, я удивлён, что Вы ещё не догадались, где данная теорема может найти применение, пусть это тогда пока останется в секрете.   

[severe]

Несимметричная матрица рангом 4х4

\( \begin{pmatrix}
0 & 3 & 6 & 75\\
5 & 0 & 15 & 25/3\\
2 & 3 & 0 & 35\\
15 & 1 & 21 & 0
\end{pmatrix} \)

\( a_{12}a_{23}a_{31}=a_{21}a_{32}a_{13} \)
\( 3\cdot 15\cdot 2=5\cdot 3\cdot 6=90 \)

\( a_{34}a_{41}a_{13}=a_{43}a_{14}a_{31} \)
\( 35\cdot 15\cdot 6=21\cdot 75\cdot 2=3150 \)

\( a_{23}a_{34}a_{42}=a_{32}a_{43}a_{24} \)
\( 15\cdot 35\cdot 1=3\cdot 21\cdot 25/3=525 \)

Умножим первую строку на \( 1 \), вторую строку на \( 3/5 \), третью строку на \( 6/2=3 \), четвертую строку на \( 75/15=5 \).

Получим опять симметричную матрицу
\( \begin{pmatrix}
0 & 3 & 6 & 75\\
3 & 0 & 9 & 5\\
6 & 9 & 0 & 105\\
75 & 5 & 105 & 0
\end{pmatrix} \)

[sergey_B_K]

Несимметричная матрица рангом 4х4

\( \begin{pmatrix}
0 & 3 & 6 & 75\\
5 & 0 & 15 & 25/3\\
2 & 3 & 0 & 35\\
15 & 1 & 21 & 0
\end{pmatrix} \)

\( a_{12}a_{23}a_{31}=a_{21}a_{32}a_{13} \)
\( 3\cdot 15\cdot 2=5\cdot 3\cdot 6=90 \)

\( a_{34}a_{41}a_{13}=a_{43}a_{14}a_{31} \)
\( 35\cdot 15\cdot 6=21\cdot 75\cdot 2=3150 \)

\( a_{23}a_{34}a_{42}=a_{32}a_{43}a_{24} \)
\( 15\cdot 35\cdot 1=3\cdot 21\cdot 25/3=525 \)

Умножим первую строку на \( 1 \), вторую строку на \( 3/5 \), третью строку на \( 6/2=3 \), четвертую строку на \( 75/15=5 \).

Получим опять симметричную матрицу
\( \begin{pmatrix}
0 & 3 & 6 & 75\\
3 & 0 & 9 & 5\\
6 & 9 & 0 & 105\\
75 & 5 & 105 & 0
\end{pmatrix} \)

Но в матрице четвёртого ранга теряется условие выбора чисел...