А куда уже глубже-то? Вы показали стандартную релятивистскую зависимость X'(X) и признали, что X' и X реальные координаты соответствующих ИСО.
Вас попросили в той же реальности показать зависимость X(X'). Что кусты ломаем? 
За зависимостъ \( \displaystyle X(X') \) отвечают обратные ПЛ, что сложно было догадаться? ))
Итак, в нештрихах в какой-то единый момент времени \( \displaystyle t \), имеем реальный перевод реальных координат в реальные же штрихованные координаты.
\( \displaystyle \Delta X=x_1-x_0,\; \Delta X' = x'_1-x'_0 \), момент времени \( \displaystyle t \) можно взять любой фиксированный.
ПЛ:
\( \displaystyle t'_1 = \gamma (t-x_1v/c^2)\:; \)
\( \displaystyle t'_0 = \gamma (t-x_0v/c^2)\:; \)
Обратные ПЛ:
\( \displaystyle x_1 = \gamma (x{'}_1+vt{'}_1)\:; \)
\( \displaystyle x_0 = \gamma (x{'}_0+vt{'}_0)\:; \)
Подставляем \( \displaystyle t'_0,\: t'_1 \) из ПЛ в обратные ПЛ:
\( \displaystyle \Delta X(X')=x_1-x_0 = \gamma (x{'}_1+v\gamma (t-x_1v/c^2) - \gamma (x{'}_0+v\gamma (t-x_0v/c^2)) = \)
\( \displaystyle = \gamma (x{'}_1-x{'}_0-v\gamma (x_1v/c^2-x_0v/c^2) = \)
\( \displaystyle = \gamma (\Delta X'-\gamma \beta^2\Delta X) \)
Откуда
\( \displaystyle \Delta X' = \frac{\Delta X (1+\gamma^2\beta^2)}{\gamma} = \gamma\Delta X \).
И снова тот же результат. А Вы чего ожидали? )) Вы гордитесь тем, что ожидали другой результат? ))