А давайте найдем сумму всех натуральных чисел: \(S=1+2+3+4+5+6+ \ldots\) Если кто-то думает, что это \(+\infty\), то я покажу, что это вовсе не так. Сумма бесконечного ряда натуральных чисел (заметьте, положительных!) равна отрицательному числу \(-1/12\).
Начнем с бесконечной суммы \(S_1=1-1+1-1+\ldots\) Сложим \(S_1\) с \(S_1\) по-школьному, в столбик:
\(1-1+1-1+\ldots \\
\underline{\hphantom{1-\,}1-1+1-\ldots} \\
1+0+0+0+ \ldots =1
\)
Единица получается. Поэтому \(2S_1=1\) и \(S_1=1/2\). Кто бы сомневался.
Дальше смотрим сумму \(S_2=1-2+3-4+\ldots\) Складываем \(S_2\) с \(S_2\) по той же методе:
\(1-2+3-4+\ldots \\
\underline{\hphantom{1-\,}1-2+3-\ldots} \\
1-1+1-1+ \ldots = S_1
\)
Как видим, получается \(S_1\), поэтому \(2S_2=S_1\), откуда \(S_2=S_1/2\) и \(S_2=1/4\).
Перейдем, наконец, к нашей сумме \(S=1+2+3+4+5+6+ \ldots\) и вычтем из нее в столбик сумму \(S_2\):
\(\underline{\hphantom{0}}1+2+3+4+5+6+ \ldots \\
\hphantom{0}\underline{1-2+3-4+5-6+\ldots} \\
\hphantom{0}0+4+0+8+0+12+ \ldots = 4(1+2+3+\ldots)=4S
\)
Видим, что получается \(4S\). Таким образом, \(S-S_2=4S\), откуда \(S=-S_2/3\). Но \(S_2=1/4\), поэтому \(S=-1/12\). Окончательно,
\(1+2+3+4+5+6+ \ldots= -1/12\).
И что здесь не так, где ошибки?
