Распространение волн

[Иван Горин]

В точке О находится источник и распространяет гармонические волны в пространство по закону
\(\displaystyle A_s=A_m\sin \omega t\)




Пока источник неподвижен приёмник принимает гармонический сигнал по закону
\(\displaystyle A_r=A_m\sin[ \omega (t-\frac{L_0}{c})]\)
Затухание не учитываем.
В момент времени t=0 источник начинает движение по оси х со скоростью V.

В данной задаче необходимо найти
1. Закон приёма сигнала приёмником, иначе говоря зависимость \(\displaystyle A_r(t)\)
2. Период приёма в общем виде T'(t)
3. Текущий угол приёма фронта волны.
Не забыть про начальные условия.
Они даны на чертеже.

Расстояние от источника до приёмника соизмеримо с длиной волны, которую излучает в пространство источник.

[sergey_B_K]

В момент времени t=0 источник начинает движение по оси х со скоростью V.

В данной задаче необходимо найти
1. Закон приёма сигнала приёмником, иначе говоря зависимость \(\displaystyle A_r(t)\)
2. Период приёма в общем виде T'(t)
3. Текущий угол приёма фронта волны.
Не забыть про начальные условия.
Они даны на чертеже.

Подскажите, чем эта задача отличается от уже решённой? Тем, что ищется трансформация самой синусоиды от изменения угла приёма? Так её можно построить непосредственно из существующего решения, поскольку эта частота будет определять круговую частоту синусоиды. 

[Иван Горин]

В принципе, вопрос приёма сигнала сам по себе интересный. Исходная формула, которую Вы записали раньше
\[ A_r  = A_m \sin \left( {\omega \left( {t - \frac{{L_0 }}{c}} \right)} \right)\ \]
(с внутренней скобкой правильнее) - для неподвижного источника и приёмника. Если изменяется частота и расстояние и при вычислении частоты мы автоматически учитываем изменение расстояния, то для наблюдателя с осциллографом формула, по-моему, должна принять вид
\[ A_r  = A_m \sin \left( {2\pi \nu \left( {\alpha \left( t \right)} \right)} \right)\ \]
поскольку изменение расстояния уже учтено в аргументе синуса. Хотя этот вопрос дискуссионный.

Осталось найти альфа от t.
Со скобками у меня описка.  Спасибо за внимательность. Без внутренних скобок нарушается размерность.

[Иван Горин]

Так это, зная H и v делается элементарно по Вашей же схеме. После этого нужно разложить ν́΄(ν(t)) в ряд по t, последовательно разложить синус суммы и учесть, что гармоники будут близко отстоять от базовой частоты. 
Но остаётся главный вопрос: цель этих телодвижений? 

Не надо ничего раскладывать в ряд.
На осциллографе мы получим синусоиду с переменным от времени периодом.
Нам необходимо найти закон изменения амплитуды от времени при приеме.
И нарисовать график в Excel.
Это и есть цель задачи.

[Ost]

[sergey_B_K]

Можно и численно. Только длина измеряется не в м/с, а период не в с/ν́. Уточнить бы... 

[Ost]

Можно и численно. Только длина измеряется не в м/с, а период не в с/ν́. Уточнить бы... 

Да, поторопился, не заметил. В периоде "с" это просто размерность в секундах.

[Иван Горин]

Это очень сложный метод по итерациям. Можно много проще.
И в данном примере применяются постые клиссические формуы, так как минимальное расстояние от источника до приемника болше 300 длин волн.
И уже при 100 можно применять простые формулы с максимальной относительной ошибкой 10^-4
И ОТСУТСТВУЕТ ГРАФИК АМПЛИТУДЫ ПРИЕМА ОТ ВРЕМЕНИ ИЛИ ОТНОСИТЕЛЬНОГО ВРЕМЕНИ t/T.

[sergey_B_K]

Это очень сложный метод по итерациям. Можно много проще.
И в данном примере применяются постые клиссические формуы, так как минимальное расстояние от источника до приемника болше 300 длин волн.

Да, нет, Иван. В подходах всё крутится вокруг одних и тех же формул. Так что при построении сложность будет примерно одинакова. В частности, если в моих формулах сделать замену t = NT, то тоже будет зависимость от числа периодов.
Другое дело, что в методе Ost'a видна зависимость при конкретных численных параметрах, но не видна общая связь параметров, как в аналитических решениях. Вот Вы, взяв мою общую формулу, смогли её преобразовать для случая удалённого источника. В численных методах подобное невозможно.
Кроме того, итерационные методы плохи тем, что по мере продвижения по траектории ошибки вычислений накапливаются и при большом числе итераций могут и, как правило, уводят в ту-степь. Аналитические методы этой проблемы не имеют. Погрешности остаются в точках, в которых были произведены конкретные вычисления.
А так? Мах мадера, мах портвейн. 

[Ost]

Это очень сложный метод по итерациям. Можно много проще.
И в данном примере применяются простые классические формулы, так как минимальное расстояние от источника до приемника больше 300 длин волн.
И уже при 100 можно применять простые формулы с максимальной относительной ошибкой 10^-4
И ОТСУТСТВУЕТ ГРАФИК АМПЛИТУДЫ ПРИЕМА ОТ ВРЕМЕНИ ИЛИ ОТНОСИТЕЛЬНОГО ВРЕМЕНИ t/T.

И в данном примере применяются простые классические формулы, так как минимальное расстояние от источника до приемника больше 300 длин волн.
И уже при 100 можно применять простые формулы с максимальной относительной ошибкой 10^-4

Всегда можно разделить период на N частей и для каждой части рассчитать интервал времени в пределах периода.
Так можно вычислить деформацию периода синусоиды во времени. Подобно можно рассчитать деформацию и по амплитуде в пределах периода.
Это будет приблизительное решение не учитывающее всю сложность колебаний у приёмника.

... И ОТСУТСТВУЕТ ГРАФИК АМПЛИТУДЫ ПРИЕМА ОТ ВРЕМЕНИ ИЛИ ОТНОСИТЕЛЬНОГО ВРЕМЕНИ t/T.

i=t/T.
 

[sergey_B_K]

Это будет приблизительное решение не учитывающее всю сложность колебаний у приёмника.i=t/T.

Правильно. Но есть один нюанс. Вы в конце использовали приближённую формулу
\[ T_{d_i }  \leftarrow T_0 \left( {1 - \frac{v}{c}f\cos _i } \right)\ \]
Её Вы могли взять только из аналитического расчёта эффекта Доплера... Не забывайте об этом, плз. 

[Ost]

Правильно. Но есть один нюанс. Вы в конце использовали приближённую формулу
\[ T_{d_i }  \leftarrow T_0 \left( {1 - \frac{v}{c}f\cos _i } \right)\ \]
Её Вы могли взять только из аналитического расчёта эффекта Доплера... Не забывайте об этом, плз. 

Она только для сравнения. Максимальное расхождение между итерацией и формулой 0.035%.
Близко к точке когда источник находится под приёмником.

[Иван Горин]

Всегда можно разделить период на N частей и для каждой части рассчитать интервал времени в пределах периода.
Так можно вычислить деформацию периода синусоиды во времени. Подобно можно рассчитать деформацию и по амплитуде в пределах периода.
Это будет приблизительное решение не учитывающее всю сложность колебаний у приёмника.i=t/T.
 

Значит по оси х у тебя отложен один период, разделенный на 4000 частей?
Или по оси х относительное текущее время ?

[Ost]

Значит по оси х у тебя отложен один период, разделенный на 4000 частей?
Или по оси х относительное текущее время ?

По оси x - 4000 периодов. i=t/Т0 = x.

[Иван Горин]

Она только для сравнения. Максимальное расхождение между итерацией и формулой 0.035%.
Близко к точке когда источник находится под приёмником.

Условие моей задачи было.
Расстояние между источником и приемником соизмеримо с длиной волны.
Значит при прочих равных условиях надо взять начальное расстояние не 100 м, а 10 метров.
Тогда начальное количество длин волн будет около 30, минимальное около 3.
И тогда прием двух соседних фронтов волн будет под разными углами.
И приближенные классические формулы уже не годятся.
Надо использовать точные классические формулы.

[sergey_B_K]

Она только для сравнения. Максимальное расхождение между итерацией и формулой 0.035%.
Близко к точке когда источник находится под приёмником.

А у Ost'a она введена в расчёт... Кстати, его программу можно "пристроить" и под полную формулу, но для этого в конце нужно использовать и точную формулу. Так что куда ни кинь, а аналитическое решение всё равно нужно. Не только итерации. Дискретно всё равно считать. Главное - на какой базе.   

[Ost]

Условие моей задачи было.
Расстояние между источником и приемником соизмеримо с длиной волны.
Значит при прочих равных условиях надо взять начальное расстояние не 100 м, а 10 метров.
Тогда начальное количество длин волн будет около 30, минимальное около 3.
И тогда прием двух соседних фронтов волн будет под разными углами.
И приближенные классические формулы уже не годятся.
Надо использовать точные классические формулы.

При 10 метрах максимальное расхождение 0.35%.

[Ost]

А у Ost'a она введена в расчёт... Кстати, его программу можно "пристроить" и под полную формулу, но для этого в конце нужно использовать и точную формулу. Так что куда ни кинь, а аналитическое решение всё равно нужно. Не только итерации. Дискретно всё равно считать. Главное - на какой базе.   

Она просто использует косинусы из итерации, они считаются достаточно точно.
Можно вычислять косинусы и независимо, но зачем.
Поэтому формула только для сравнения с итерацией.
Её можно убрать из расчёта.

[sergey_B_K]

Она просто использует косинусы из итерации, они считаются достаточно точно.
Можно вычислять косинусы и независимо, но зачем.
Поэтому формула только для сравнения с итерацией.
Её можно убрать из расчёта.

Так дело же не в том, насколько сами косинусы правильно считаются. Вы сравнивали с формулой, которая сами приближённая и даёт возрастающую погрешность с уменьшением расстояния. И от итераций погрешность тоже есть, о чём я говорил. Сами же знаете, что чем больше шаг (ниже частота), тем больше погрешность. 

[Иван Горин]

При 10 метрах максимальное расхождение 0.35%.

Да, для данного примера при L0=10 m, это так.
Но ошибка угла приема, когда источник напротив приемника составлянт ококо 3°

Но мы для примера можем взять и другие данные
Пусть f=10 Гц, L0=10 m, V=100 m/c, начальный угол 6°
Тогда в момент времени когда источник напротив приемника
Ошибка вычисления периода приема составит 26,5%
Ошибка угла приема составит 174° минус 90°
Иными словами прием очередного фронты волны при 90°, прием следующего фронты волны при 174°
Разность приема этих двух соседних фронтов волн составит T'=T(1+0,265)