Распространение волн

[Иван Горин]

В точке О находится источник и распространяет гармонические волны в пространство по закону
\(\displaystyle A_s=A_m\sin \omega t\)




Пока источник неподвижен приёмник принимает гармонический сигнал по закону
\(\displaystyle A_r=A_m\sin[ \omega (t-\frac{L_0}{c})]\)
Затухание не учитываем.
В момент времени t=0 источник начинает движение по оси х со скоростью V.

В данной задаче необходимо найти
1. Закон приёма сигнала приёмником, иначе говоря зависимость \(\displaystyle A_r(t)\)
2. Период приёма в общем виде T'(t)
3. Текущий угол приёма фронта волны.
Не забыть про начальные условия.
Они даны на чертеже.

Расстояние от источника до приёмника соизмеримо с длиной волны, которую излучает в пространство источник.

Приведём другой чертёж. Задание прежнее.
1. Амплитуда приёма



Данные для примера:
\(\displaystyle N_{min}=1;\,\beta =0,8;\,\alpha _0=20°\)
\(\displaystyle N_{min}=\frac{H}{\lambda }\)
Остальные данные произвольные.

Время приёма текущего фронта волны.
\(\displaystyle t'=t+\frac{L}{c}\) (1)
Из чертежа найдём L(t)
\(\displaystyle L=\lambda \sqrt{\frac{N_{min}^2}{\sin^2( \alpha _0)}-2N_{min}\beta \tau \cot (\alpha _0)+\beta ^2\tau ^2}\) (2)
\(\displaystyle \tau =\frac{t}{T}\) - относительное текущее время.

Относительная амплитуда излучения источника
\(\displaystyle a_s=\sin (\omega t)=\sin (\frac{2\pi }{T}t)=\sin (2\pi \tau )\)
Относительная амплитуда приёма
\(\displaystyle a_r=\sin (\omega t')=\sin (\frac{2\pi }{T}t')=\sin (2\pi \tau' )\)
Из (1) и (2) найдём
\(\displaystyle \tau '=\frac{t'}{T}=\tau +\sqrt{\frac{N_{min}^2}{\sin^2( \alpha _0)}-2N_{min}\beta \tau \cot (\alpha _0)+\beta ^2\tau ^2}\)


Получаем графические результаты первого пункта нашей задачи по точному эффекту Доплера.

[Иван Горин]

2. Периоды приёма в зависимости от текущего времени

Чертёж 1

Данные для примера:
\(\displaystyle N_{min}=1;\,\beta =0,8;\,\alpha _0=20°\)
\(\displaystyle N_{min}=\frac{H}{\lambda }\)
Остальные данные произвольные.

Из чертежа найдём L(t)
\(\displaystyle L=\lambda \sqrt{\frac{N_{min}^2}{\sin^2( \alpha _0)}-2N_{min}\beta \tau \cot (\alpha _0)+\beta ^2\tau ^2}\) (1)
\(\displaystyle \tau =\frac{t}{T}\) - относительное текущее время.

В абсолютных единицах
\(\displaystyle L(t)=\sqrt{L_0^2-2VL_0t\cos \alpha_0 +V^2t^2}\) (2)



Для вывода формулы периода приёма приведём вспомогательную векторную диаграмму.


Чертёж 2

Время приёма первого фронта волны
\(\displaystyle t_1=\frac{L(t-T)}{c})\)
Второго фронта
\(\displaystyle t_2=T+\frac{L(t)}{c})\)
Период приёма
\(\displaystyle T'=t_2-t_1=T+\frac{L(t))}{c}-\frac{L(t-T))}{c}\)

\(\displaystyle L(t-T)=\sqrt{L^2+2VLT\cos \alpha +V^2T^2}\)

\(\displaystyle T'=T+\frac{L}{c}-\frac{\sqrt{L^2+2VLT\cos \alpha +V^2T^2}}{c}\) (3)

Из черт. 1 найдем:
\(\displaystyle \cos \alpha =\frac{L_0\cos \alpha _0-Vt}{\sqrt{L_0^2-2VL_0t\cos \alpha_0 +V^2t^2}}\) (4)

Формулу (3) можно записать по другому, если использовать (4).

Теперь можно привести графики периодов для точной формулы (3) и приближенной.

[Иван Горин]

3. Текущий угол приёма волнового фронта.
\(\displaystyle \cos \alpha =\frac{L_0\cos \alpha _0-Vt}{\sqrt{L_0^2-2VL_0t\cos \alpha_0 +V^2t^2}}\)

[Иван Горин]

Ты проверял формулу на числах?
\(\displaystyle T(\tau)= T_0-\frac{1}{c}\left(\sqrt{(L_0~cos(\alpha_0)-v~(\tau+T_0))^2+L_0^2~sin(\alpha_0)^2} - \sqrt{(L_0~cos(\alpha_0)-v~\tau)^2+L_0^2~sin(\alpha_0)^2}\right)\).

Конечно проверял.
Ты привёл точную формулу для ЭД.
Для твоих данных я привёл, какую ошибку даёт приближенная формула.
Максимальная ошибка при угле 90°
Для периода приёма ошибка небольшая, а для углов уже довольно большая.

[Иван Горин]

Где-то я ошибся со знаком.
При сближении частота должна увеличиваться до тау=3.4 , а у меня уменьшается.
Возможно в уравнении бегущей волны поставил плюс вместо минуса.
В тоже время и проверка не сходится.
При угле приема второго фронта волны под 90°, первый фронт волны был принят под углом 51,34° и период будет 0,719 T.
По приближенной формуле оба угла 90 и период приема Т. Ошибка 28%. С углами еще хуже.

[sergey_B_K]

Где-то я ошибся со знаком.
При сближении частота должна увеличиваться до тау=3.4 , а у меня уменьшается.
Возможно в уравнении бегущей волны поставил плюс вместо минуса.
В тоже время и проверка не сходится.
При угле приема второго фронта волны под 90°, первый фронт волны был принят под углом 51,34° и период будет 0,719 T.
По приближенной формуле оба угла 90 и период приема Т. Ошибка 28%. С углами еще хуже.

Вы, видимо, не учли нюанс, на который я делал акцент. При определённых условиях в решении знак перед корнем изменяется на противоположный... Это, понятно, не может быть учтено в приближённом решении... 

[Иван Горин]

Ты проверял формулу на числах?
\(\displaystyle T(\tau)= T_0-\frac{1}{c}\left(\sqrt{(L_0~cos(\alpha_0)-v~(\tau+T_0))^2+L_0^2~sin(\alpha_0)^2} - \sqrt{(L_0~cos(\alpha_0)-v~\tau)^2+L_0^2~sin(\alpha_0)^2}\right)\).

Проверил подробнее.
При t=0. Начало движения. У тебя тоже период увеличивается при сближении с приёмником.
На числах и проверять не надо. Бери угол нулевым и расстояние равным длине волны. И при сближении с приёмником на одной линии получаем увеличение периода. А должно быть уменьшение.

[Ost]

Проверил подробнее.
При t=0. Начало движения. У тебя тоже период увеличивается при сближении с приёмником.
На числах и проверять не надо. Бери угол нулевым и расстояние равным длине волны. И при сближении с приёмником на одной линии получаем увеличение периода. А должно быть уменьшение.

Да, вижу, что знак не тот.
Исправил http://bolshoyforum.com/forum/index.php?topic=610945.msg9347952#msg9347952

[Ost]

Это угловая модуляция волны.

Дополнил http://bolshoyforum.com/forum/index.php?topic=610945.msg9347953#msg9347953

[Иван Горин]

2. Периоды приёма


Чертёж 1

Данные для примера:
\(\displaystyle N_{min}=1;\,\beta =0,8;\,\alpha _0=20°\)
\(\displaystyle N_{min}=\frac{H}{\lambda }\)
Остальные данные произвольные.

Из чертежа найдём L(t)
\(\displaystyle L=\lambda \sqrt{\frac{N_{min}^2}{\sin^2( \alpha _0)}-2N_{min}\beta \tau \cot (\alpha _0)+\beta ^2\tau ^2}\) (1)
\(\displaystyle \tau =\frac{t}{T}\) - относительное текущее время.

В абсолютных единицах
\(\displaystyle L(t)=\sqrt{L_0^2-2VL_0t\cos \alpha_0 +V^2t^2}\) (2)



Для вывода формулы периода приёма приведём вспомогательную векторную диаграмму.


Чертёж 2

Время приёма первого фронта волны
\(\displaystyle t_1=\frac{L(t-T)}{c})\)
Второго фронта
\(\displaystyle t_2=T+\frac{L(t)}{c})\)
Период приёма
\(\displaystyle T'=t_2-t_1=T+\frac{L(t))}{c}-\frac{L(t-T))}{c}\)

\(\displaystyle L(t-T)=\sqrt{L^2+2VLT\cos \alpha +V^2T^2}\)

\(\displaystyle T'=T+\frac{L}{c}-\frac{\sqrt{L^2+2VLT\cos \alpha +V^2T^2}}{c}\) (3)

Из черт. 1 найдем:
\(\displaystyle \cos \alpha =\frac{L_0\cos \alpha _0-Vt}{\sqrt{L_0^2-2VL_0t\cos \alpha_0 +V^2t^2}}\) (4)

Формулу (3) можно записать по другому, если использовать (4).

Теперь можно привести графики периодов для точной формулы (3) и приближенной.
Но, допустим, мы забыли приближенную формулу. А точную формулу мы вывели используя школьную геометрию.
И не использовали никакие итеррации, интегрирование и дифференцирование.
Простая формула в зависимости от текущего времени.

Продолжение по выводу приближенной формулы следует...

[Ost]

Для того чтобы сравнивать формулы надо применить единные обозначения.
У Оста и у меня применяется L0, у вас применяется H.
У Оста и у меня формулы одинаковые. И выведены прозрачно из черт.1
Можно L0 выразить через H.
H=L0 sin (alpha0)
t0=L0/c
И сравнить формулы.

У тебя расчёт идет с опережением на период.
Для совпадения с твоей формулой знаки у меня будут расставлены так
\(\displaystyle T(t)= T_0-\frac{1}{c}\left(\sqrt{(L_0~cos(\alpha_0)-v~(t-T_0))^2+L_0^2~sin(\alpha_0)^2} - \sqrt{(L_0~cos(\alpha_0)-v~t)^2+L_0^2~sin(\alpha_0)^2}\right)\).

[Иван Горин]

У тебя расчёт идет с опережением на период.
Для совпадения с твоей формулой знаки у меня будут расставлены так
\(\displaystyle T(t)= T_0-\frac{1}{c}\left(\sqrt{(L_0~cos(\alpha_0)-v~(t-T_0))^2+L_0^2~sin(\alpha_0)^2} - \sqrt{(L_0~cos(\alpha_0)-v~t)^2+L_0^2~sin(\alpha_0)^2}\right)\).

Это и есть моя формула.
И выбрал я такой вариант не наугад.
В этом варианте второй фронт волны принимается под углом альфа. Предудущий фронт волны принимается при времени (t-T)
В приближенной формуле используется угол альфа.
И разночтений при сравнении  точной формулы с приближенной  нет.

[Ost]

В МОЕЙ ЗАДАЧЕ ТРЕБУЕТСЯ ВЫВЕСТИ ТОЧНУЮ ФОРМУЛУ ПЕРИОДА ПРИЕМА В ЗАВИСИМОСТИ ОТ ТЕКУЩЕГО ВРЕМЕНИ.
В ваших работах никогда такого не было.
Мы с Остом привели эти выводы при малых расстояниях между источником и приемником, что требовалось в постановке моей задачи.
И привели сравнения с приближенной формулой.
Ост вывел точную формулу своими методами, я другими методами.
А результат одинаковый.

Все ваши работы По ЭД хорошие.
Но все они для одного момента времени t=T.

И поэтому все ваши прежние работы к этой моей теме не имеют отношения.
И все ваши работы являются вариацией этой темы при ваших частных условиях t=T, а не наоборот.

Это во - первых.
Во - вторых, я нигде не видел в ваших работах перехода от точной формулы к приближенной.

Наша формула при \(t=0\), после преобразования, переходит в формулу по смыслу как у Сергея Борисовича.

\(\displaystyle T(\alpha)= T_0-\frac{1}{c}\left(\sqrt{(H~cot(\alpha)+v~T_0)^2+H^2} -\frac{H}{sin(\alpha)}\right)\) и выглядит проще.

[Ost]

H - минимальное удаление источника и приёмника. Это в задаче const.
\(\displaystyle L_0=\frac{H}{\sin (\alpha _0)}\)
Не мудрите, Каравашкин.
Ваше решение только для одной итерации.
Нет в ваших формулах зависимости от времени, как правильно заметил Ост.
Наши формулы переходят в одну их ваших при одном частном случае при t=0.
Ваш первый вывод 2004 года для точной формулы я не могу пока найти.
Но он не такой, как привёл Ост, после перехода из нашей последней формулы.

Да вы не переживайте. Вы по любому первым вывели точную формулу ЭД. Пусть и для одного момента времени.
Вторым был Купряев, затем и Горин. И все сделали это независимо.
Но переход к приближенной формуле никто не сделал, кроме меня.

Я сравнивал с

[Иван Горин]

Наша формула при \(t=0\), после преобразования, переходит в формулу по смыслу как у Сергея Борисовича.

\(\displaystyle T(\alpha)= T_0-\frac{1}{c}\left(\sqrt{(H~cot(\alpha)+v~T_0)^2+H^2} -\frac{H}{sin(\alpha)}\right)\) и выглядит проще.

Моя формула. Сделаем обозначения, как у тебя
\(\displaystyle T(t)=T_0+\frac{L(t)}{c}-\frac{\sqrt{L(t)^2+2VL(t)T_0\cos \alpha(t) +V^2T_0^2}}{c}\)
Примем для упрощения
\(\displaystyle T(t)=T\)
\(\displaystyle L(t)=L\)
\(\displaystyle \alpha(t)=\alpha\)
Получим
\(\displaystyle T=T_0+\frac{L}{c}-\frac{\sqrt{L^2+2VLT_0\cos \alpha +V^2T_0^2}}{c}\)
Выглядет тоже просто, но для всех t.
Теперь делаем переход к частному выводу Каравашкина при t=0.
\(\displaystyle T=T_0+\frac{L_0}{c}-\frac{\sqrt{L_0^2+2VL_0T_0\cos \alpha_0 +V^2T_0^2}}{c}\)
Но в работах Каравашкина нет такой формулы.
Да, у него \(\displaystyle L_0=\frac{H}{\sin (\alpha _0)}\)
Но тем не менее у него другая формула.
Но тоже правильная.
Дело соглашения. Какой фронт первый, какой второй.
Для второго, то есть Купряева это было без разницы. Для Каравашкина из его последней работы, похоже, не без разницы. Он уже понимал смысл баланса времени.

[Иван Горин]

2. Периоды приёма в зависимости от текущего времени

Чертёж 1

Данные для примера:
\(\displaystyle N_{min}=1;\,\beta =0,8;\,\alpha _0=20°\)
\(\displaystyle N_{min}=\frac{H}{\lambda }\)
Остальные данные произвольные.

Из чертежа найдём L(t)
\(\displaystyle L=\lambda \sqrt{\frac{N_{min}^2}{\sin^2( \alpha _0)}-2N_{min}\beta \tau \cot (\alpha _0)+\beta ^2\tau ^2}\) (1)
\(\displaystyle \tau =\frac{t}{T}\) - относительное текущее время.

В абсолютных единицах
\(\displaystyle L(t)=\sqrt{L_0^2-2VL_0t\cos \alpha_0 +V^2t^2}\) (2)



Для вывода формулы периода приёма приведём вспомогательную векторную диаграмму.


Чертёж 2

Время приёма первого фронта волны
\(\displaystyle t_1=\frac{L(t-T)}{c})\)
Второго фронта
\(\displaystyle t_2=T+\frac{L(t)}{c})\)
Период приёма
\(\displaystyle T'=t_2-t_1=T+\frac{L(t))}{c}-\frac{L(t-T))}{c}\)

\(\displaystyle L(t-T)=\sqrt{L^2+2VLT\cos \alpha +V^2T^2}\)

\(\displaystyle T'=T+\frac{L}{c}-\frac{\sqrt{L^2+2VLT\cos \alpha +V^2T^2}}{c}\) (3)

Из черт. 1 найдем:
\(\displaystyle \cos \alpha =\frac{L_0\cos \alpha _0-Vt}{\sqrt{L_0^2-2VL_0t\cos \alpha_0 +V^2t^2}}\) (4)

Формулу (3) можно записать по другому, если использовать (4).

Теперь можно привести графики периодов для точной формулы (3) и приближенной.

Красная линия приближенноя формула.
Синяя - точная формула

И в заключение привожу зависимость улга приема от времени.

3. Текущий угол приёма волнового фронта.
\(\displaystyle \cos \alpha =\frac{L_0\cos \alpha _0-Vt}{\sqrt{L_0^2-2VL_0t\cos \alpha_0 +V^2t^2}}\)

Первый вопрос задачи
Осцилограмма приема остается пока открытым.

[Иван Горин]

Первый вопрос задачи
Осцилограмма приема остается пока открытым.

Этот пункт задачи я тоже решил.
Задал мне его Сергей Юдин еще лет 8 тому назад.
Я пытался решить задаче через итерации. Но без нормального успеха. Прямая зависимость от текущего времени не получалась.
Все эти попытки есть на БФ.
Искать не имет смысла. У меня около 4000 постов.
И мне в одном из последних постов ноября 2020  напомнил о вопросе Юдина сам публицист (кто он, кто догадается?) работ физика и математика О.Н. Каравашкиной.

И вот этот вопрос Юдина я решил.
Без всяких итераций. В зависимости от текущего времени приёмника.
И привожу этот график.

Из этого графика можно вычислить период приёма для любого текущго времени излучения фронта волны источником.
Разность времени приёма соседних фаз волны и есть период приёма.
Отсчёт времени приёмника начинается от приёма первого фронта волны от источника.

[Иван Горин]

Часть вторая.
Источник неподвижен.
Задача прежная.
Найти зависимость периода приёма от времени и привести осциллограмму приёма.



Приёмник движется по красной линии.
В момент времени t=0 источник излучает фронт волны.
Приёмник встречается с этим фронтом в точке А.
Часы на приёмнике сбрасываются в этот момент времени в нуль. t'=0
В этот момент времени расстояние между источником и приёмником равно \(\displaystyle L_0\)
Угол приёма начального фронта фолны \(\displaystyle \alpha _{10}\)
Это начальные условия.

Через время t источник излучает текущий фронт волны.
Из векторной диаграммы найдем текущее расстояние L(t), в дальнейшем просто L.

\(\displaystyle \vec{L}=\vec{L_0}+\vec{V_1}t'\) (1)
Квадрат модуль вектора L
\(\displaystyle L^2=L_0^2+2L_0V_1t'\cos \alpha _{10}+(V_1t')^2\) (2)
Время хода приёмника t' от точки А до точки B необходимо найти.

Для этого используем понятие баланса времени:
\(\displaystyle \frac{L_0}{c}+t'=t+\frac{L}{c}\)
Из этого баланса находим
\(\displaystyle t'=t+\frac{L}{c}-\frac{L_0}{c}\) (3)
Из (3) найдём L
\(\displaystyle L=(t'-t)c+L_0\) (4)
Решая совместно (2) и (4) найдём t'(t)
Два уравнения с двумя неизвестными.
Из них находим L=f(t) и t'=f(t) при заданных начальных условиях.
Вывести эти зависимости не составляет проблемм для ученика восьмого класса.

Но на данном этапе все эти зависимости нам не нужны.
Наша первая задача найти t' в зависимости от текущего расстояния L(t) и текущего угла приёма \(\displaystyle \alpha _{1}(t)\)

Большие посты плохо читаются.
У читателей есть время на проверку и размышления.
Продолжение следует.
И пока до окончания выводов второй части тема закрывается, для избежания преждевременного флуда и троллинга.

[Иван Горин]

Продолжение


Из уравнения (1) найдём
\(\displaystyle \vec{L_0}=\vec{L}-\vec{V_1}t'\) (5)
\(\displaystyle L_0^2=L^2-2LV_1t'\cos \alpha _{1}+(V_1t')^2\) (6)
Из уравнения баланса времени
\(\displaystyle L_0=c(t-t')+L\) (7)
Подставим (7) в (6)
После несложных преобразований получим квадратное уравнение
\(\displaystyle t'^2(1-\beta _1^2)-2t'(t+\frac{L}{c}-\beta _1\frac{L}{c}\cos \alpha _1)+t^2+2t\frac{L}{c}=0\)

\(\displaystyle t'=\frac{t+\frac{L}{c}(1-\beta _1\cos \alpha _1)}{1-\beta _1^2}\pm \frac{1}{1-\beta _1^2}\sqrt{\left [ t+\frac{L}{c}(1-\beta _1\cos \alpha _1) \right ]^2-(t^2+2t\frac{L}{c})(1-\beta _1^2)}\)  (8)
Итак, мы получили формулу зависимости времени приёма волнового фронта от текущего времени источника.

Проверим эту формулу для центрального движения при \(\displaystyle \alpha _1=0\)
Из (8) после сложных преобразований получим:
\(\displaystyle t'=\frac{t+\frac{L}{c}(1-\beta _1)}{1-\beta _1^2}+\frac{\beta _1(t+\frac{L}{c})-\frac{L}{c}}{1-\beta _1^2}\)
\(\displaystyle t'=\frac{t}{1-\beta _1}\)
Период приёма
\(\displaystyle T'=\frac{T}{1-\beta _1}\)

Продолжение следует...

[Иван Горин]

черт. 1

\(\displaystyle t'=\frac{t+\frac{L}{c}(1-\beta _1\cos \alpha _1)}{1-\beta _1^2}\pm \frac{1}{1-\beta _1^2}\sqrt{\left [ t+\frac{L}{c}(1-\beta _1\cos \alpha _1) \right ]^2-(t^2+2t\frac{L}{c})(1-\beta _1^2)}\)  (8)
Итак, мы получили формулу зависимости времени приёма волнового фронта от текущего времени источника.

В этой формуле L(t) и \(\displaystyle \alpha _1(t)\) неизвестные переменные.
Из черт.1 найдём текущий волновой угол \(\displaystyle \alpha _1(t)\) через начальные условия.
Для этого сделаем дополнительные построения.
От линии L(t) опустим перпендикуляр на красную линию вектора скорости приёмника V1.
И получим
\(\displaystyle \cos \alpha _1=\frac{V_1t'+L_0\cos \alpha _{10}}{L}\)
...