Предлагаю ознакомиться с работой О несовместимости преобразований Лоренца и принципа относительности, посвященной процедуре измерения гамма-фактора с точки зрения КФ, СТО и Теории Лоренца.
Измерения длины стержня по СТО проведено неверно.
По классике правильно.
Покажем как можно измерить длину стержня таким методом в условиях Земли.
Пример.
Необходимо измерить длину состава, который движется по железной дороге и рядом идёт автомобильная дорога.
Состав движется со скоростью v вправо.
На автомобильной дороге стоят два автомобиля.
Когда середина состава поравняется с автомобилями они начинают движение в противоположные стороны со скоростью с.
Автомобили движутся в неподвижной системе К'.
Поезд свяжем с системой К. Поезд в ней неподвижен, а система движется со скоростью v.
Координата начала поезда в системе К \(\displaystyle x_B=\frac{L_0}{2}\)
Координата конца поезда в системе К \(\displaystyle x_A=-\frac{L_0}{2}\)
1. Определим длину состава классическим методом при помощи преобазований Галилея.
В классике относительная скорость правого автомобили относительно поезда \(\displaystyle v_B=c-v\)
Левого \(\displaystyle v_A=c+v\)
Время движения автомобилей до встречи с началом и концом состава в системе поезда К.
\(\displaystyle t_A=\frac{L_0}{2(c+v)}\)
\(\displaystyle t_B=\frac{L_0}{2(c-v)}\)
Далее применяем ПГ.
Координаты автомобилей в неподвижной системе К'
\(\displaystyle x'=x+vt\)
\(\displaystyle t'=t\)
\(\displaystyle x'_A=x_A+vt_A=-\frac{L_0}{2}+\frac{vL_0}{2(c+v)}=-\frac{cL_0}{2(c+v)}\)
\(\displaystyle x'_B=x_B+vt_B=\frac{L_0}{2}+\frac{vL_0}{2(c-v)}=\frac{cL_0}{2(c-v)}\)
Найдём разность координат автомобилей в неподвижной системе отсчёта К'
\(\displaystyle x'_B-x'_A=\frac{cL_0}{2(c-v)}+\frac{cL_0}{2(c+v)}=\frac{c^2L_0}{c^2-v^2}=\frac{L_0}{1-\frac{v^2}{c^2}}\)
Временные промежутки
\(\displaystyle \Delta t=\Delta t'=\frac{\frac{vL_0}{c^2}}{1-\frac{v^2}{c^2}}\)
...
