Задача по СТО. Два автомобиля

[Иван Горин]

В неподвижном пункте А стоят два автомобиля.
В момент времени t=0 по часам неподвижной системы часы автомобилей 1 и 2 сбрасываются в нуль и запускаются.
В этот момент времени стартует первый автомобиль со скоростью v в положительном направлении оси x.
Через промежуток времени t₀ по часам неподвижной системы стартует второй автомобиль со скоростью U.
U>v

В задаче требуется найти по теории СТО
1. Через какое время второй автомобиль догонит первый по часам неподвижной системы.
2. Какое расстояние пройдут автомобили до места встречи от пункта А в координатах неподвижной системы.
3. Каковы будут показания собственных часов первого и второго автомобилей на момент встречи.

[severe]

В неподвижном пункте А стоят два автомобиля.
В момент времени t=0 по часам неподвижной системы часы автомобилей 1 и 2 сбрасываются в нуль и запускаются.
В этот момент времени стартует первый автомобиль со скоростью v в положительном направлении оси x.
Через промежуток времени t₀ по часам неподвижной системы стартует второй автомобиль со скоростью U.
U>v

В задаче требуется найти по теории СТО
1. Через какое время второй автомобиль догонит первый по часам неподвижной системы.
2. Какое расстояние пройдут автомобили до места встречи от пункта А в координатах неподвижной системы.
3. Каковы будут показания собственных часов первого и второго автомобилей на момент встречи.

1. \( t=t_0+s/U=t_0+(vt)/U \)
\( t=\frac{t_0}{1-v/U} \)
2. \( s=vt=\frac{vt_0}{1-v/U} \)

[severe]

3. \( t'_1=\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\cdot (\frac{t_0}{1-v/U}-(v/c^2)\cdot \frac{vt_0}{1-v/U}) \)

    \( t'_2=\frac{1}{\sqrt{1-U^2/c^2}}\cdot (\frac{t_0}{1-v/U}-(U/c^2)\cdot \frac{vt_0}{1-v/U}) \)

В выражении для \( t'_2 \) ошибка. До момента t_0 часы шли нормально, и только потом замедлились соответственно скорости U.

Попытка исправить ошибку: \( t'_2=\frac{1}{\sqrt{1-U^2/c^2}}\cdot (\frac{t_0}{1-v/U}-(U/c^2)\cdot \frac{vt_0}{1-v/U})+t_0(1-\sqrt{1-U^2/c^2}) \)

[Иван Горин]

3. \( t'_1=\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\cdot (\frac{t_0}{1-v/U}-(v/c^2)\cdot \frac{vt_0}{1-v/U}) \)

    \( t'_2=\frac{1}{\sqrt{1-U^2/c^2}}\cdot (\frac{t_0}{1-v/U}-(U/c^2)\cdot \frac{vt_0}{1-v/U}) \)

В выражении для \( t'_2 \) ошибка. До момента t_0 часы шли нормально, и только потом замедлились соответственно скорости U.

Попытка исправить ошибку: \( t'_2=\frac{1}{\sqrt{1-U^2/c^2}}\cdot (\frac{t_0}{1-v/U}-(U/c^2)\cdot \frac{vt_0}{1-v/U})+t_0(1-\sqrt{1-U^2/c^2}) \)

Молодец, Север.
Можно немного упростить и добавить скобки, которые ты пропустил.

 \( t'_2=\frac{1}{\sqrt{1-U^2/c^2}}\cdot [(\frac{t_0}{1-v/U}-(U/c^2)\cdot \frac{vt_0}{1-v/U})+t_0(1-\sqrt{1-U^2/c^2})] \)

\(\displaystyle t'_2=\frac{1}{\sqrt{1-U^2/c^2}}\cdot \left ( \frac{\frac{v}{U}t_0}{1-v/U}-(U/c^2)\cdot \frac{vt_0}{1-v/U}\right )+t_0\)

\(\displaystyle t'_2=\frac{1}{\sqrt{1-U^2/c^2}}\cdot \frac{\frac{v}{U}t_0}{1-v/U}(1-\frac{U^2}{c^2})+t_0\)

\(\displaystyle t'_2= \frac{\frac{v}{U}t_0}{1-v/U} \sqrt{1-U^2/c^2}+t_0\)

 \( t'_1=\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\cdot (\frac{t_0}{1-v/U}-(v/c^2)\cdot \frac{vt_0}{1-v/U}) \)

\(\displaystyle t'_1= \frac{t_0}{1-v/U}\sqrt{1-v^2/c^2}\)

[severe]

Молодец, Север.
Можно немного упростить и добавить скобки, которые ты пропустил.

 \( t'_2=\frac{1}{\sqrt{1-U^2/c^2}}\cdot [(\frac{t_0}{1-v/U}-(U/c^2)\cdot \frac{vt_0}{1-v/U})+t_0(1-\sqrt{1-U^2/c^2})] \)

\(\displaystyle t'_2=\frac{1}{\sqrt{1-U^2/c^2}}\cdot \left ( \frac{\frac{v}{U}t_0}{1-v/U}-(U/c^2)\cdot \frac{vt_0}{1-v/U}\right )+t_0\)

\(\displaystyle t'_2=\frac{1}{\sqrt{1-U^2/c^2}}\cdot \frac{\frac{v}{U}t_0}{1-v/U}(1-\frac{U^2}{c^2})+t_0\)

\(\displaystyle t'_2= \frac{\frac{v}{U}t_0}{1-v/U} \sqrt{1-U^2/c^2}+t_0\)

 \( t'_1=\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\cdot (\frac{t_0}{1-v/U}-(v/c^2)\cdot \frac{vt_0}{1-v/U}) \)

\(\displaystyle t'_1= \frac{t_0}{1-v/U}\sqrt{1-v^2/c^2}\)

Неужели OST, подкованный и закалённый, нас, точнее меня, начал принципиально игнорировать?
Я лично ждал его решения.

[Иван Горин]

Имеется еще два варианта решения.
1. Первый автомобиль принимаем за неподвижный.
2. Второй автомобиль принимаем за неподвижный.

[severe]

1. Первый автомобиль принимаем за неподвижный.

Тогда скорость второго автомобиля \( v_2=\frac{U-v}{1+(uv)/c^2} \) после t_0, и \( v_2=-v \) до t_0.

2. Второй автомобиль принимаем за неподвижный.

Тогда скорость первого автомобиля \( v_1=-\frac{U-v}{1+(uv)/c^2} \) после t_0, и \( v_1=v \) до t_0.
Дальше пока продолжать не буду, не исключаю, что допустил ошибку при работе с релятивистской формулой сложения скоростей.

[Ost]

Неужели OST, подкованный и закалённый, нас, точнее меня, начал принципиально игнорировать?
Я лично ждал его решения.

Не буди лихо, пока оно тихо.
Для Вас задача.
http://bolshoyforum.com/forum/index.php?topic=614648.msg9612547#msg9612547