Трансформатор имеет одну катушку круглого сечения на которой
намотаны первичная и вторичная обмотка.
Сформулировать условие минимального проходного активного сопротивления трансформатора.
Обозначения:
\(\rho~-\) удельное сопротивление;
\(s~-\) площадь сечения провода;
\(S~-\) площадь окон с проводами;
\(r~-\) радиусы от оси катушки;
\(h~-\) высота катушки;
\(R~-\) сопротивления;
\(k~-\) коэффициент трансформации;
\(q~-\) форм фактор который зависит от формы сечения провода
и особенностей его укладки.
\(\displaystyle R=\rho \frac{l}{s}=\rho \frac{V}{s^2}=\rho \frac{V~N^2}{s^2~N^2}=\rho \frac{V}{S^2} N^2\), где
\(V~-\) объём провода на катушке; \(S~-\) площадь окна на катушке; \(N~-\) количество витков.
С точностью до коэффициента, связанного формой сечения провода и применяемой укладки.
Пусть \(r_1~-\) радиус цилиндра катушки;
\(r_2~-\) радиус границы между обмотками;
\(r_3~-\) внешний радиус провода на катушке, определяемый по окну железа.
Объёмы провода.
\(V_1=\pi~(r_2^2-r_1^2)~h\); \(V_2=\pi~(r_3^2-r_2^2)~h\).
Площади окон занятых проводом.
\(S_1=(r_2-r_1)~h\); \(S_2=(r_3-r_2)~h\).
Сопротивления обмоток.
\(\displaystyle R_1=\rho \frac{\pi~(r_2^2-r_1^2)~h}{(r_2-r_1)^2~h^2}~ N_1^2=\frac{\rho~\pi}{h}~\frac{r_2+r_1}{r_2-r_1}~ N_1^2\);
\(\displaystyle R_2=\frac{\rho~\pi}{h}~\frac{r_3+r_2}{r_3-r_2}~ N_2^2\).
\(R=R_2+k^{-2}~R_1~-\) активное сопротивление трансформатора приведённое к вторичной обмотке.
\(\displaystyle R=\frac{\rho~\pi}{h}~\frac{r_3+r_2}{r_3-r_2}~ N_2^2+k^{-2}~\frac{\rho~\pi}{h}~\frac{r_2+r_1}{r_2-r_1}~ N_1^2=\frac{\rho~\pi}{h} \left(\frac{r_3+r_2}{r_3-r_2} +\frac{r_2+r_1}{r_2-r_1}\right) N_2^2\).
Условие минимального сопротивления
\(\displaystyle \frac{d}{dr_2} \left(\frac{r_3+r_2}{r_3-r_2} +\frac{r_2+r_1}{r_2-r_1}\right)=0\);
\(\displaystyle \frac{r_3}{(r_3-r_2)^2} -\frac{r_1}{(r_2-r_1)^2}=0\);
\(r_3~(r_2-r_1)^2-r_1~(r_3-r_2)^2=0\);
\(r_3~(r_2^2+r_1^2-2r_1~r_2)-r_1~(r_3^2+r_2^2-2r_3~r_2)=0\);
\(r_3~r_2^2+r_3~r_1^2-r_1~r_3^2-r_1~r_2^2=0\);
\((r_3-r_1)~r_2^2-r_3~r_1~(r_3-r_1)=0\);
\(r_2=\sqrt{r_3~r_1}\). Радиус границы между обмотками равен среднегеометрическому между радиусом катушки и радиусом полного заполнения катушки.
