\(\displaystyle E= \frac{m_0c^2}{\sqrt{1-\frac{\omega ^2r^2}{c^2}}}\)
\(\displaystyle E= \frac{m_0c^2}{\sqrt{1-\frac{\omega ^2r^2}{c^2}}}\) энергия материальной точки массой m
0 на расстоянии r от центра вращения
Найдем энергию стержня, при условии,что его масса сосредоточена не на концах, а распределена равномерно с линейной плотностью \(\sigma\) (кг/м)
Энегрия элементарной массы dm на расстоянии r от центра вращения
\(dE=c^2dm=c^2d\left ( \frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{\omega ^2r^2}{c^2}}} \right )\) (1)
Проинтегрируем (1) по r от -r
0 до r
0\(\displaystyle E=c^2\int\limits_{-r_0}^{r_0} d\left ( \frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{\omega ^2r^2}{c^2}}} \right )\) (2)
\(\displaystyle d\left ( \frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{\omega ^2r^2}{c^2}}} \right )=\frac{d(m_0)\sqrt{1-\frac{\omega ^2r^2}{c^2}}-m_0d(\sqrt{1-\frac{\omega ^2r^2}{c^2}})}{1-\frac{\omega ^2r^2}{c^2}}=\)
\(\displaystyle =\frac{\sigma d(r)\sqrt{1-\frac{\omega ^2r^2}{c^2}}+\frac{m_0\omega ^2rdr}{c^2\sqrt{1-\frac{\omega ^2r^2}{c2}}}}{1-\frac{\omega ^2r^2}{c^2}}=\frac{\sigma dr}{\sqrt{1-\frac{\omega ^2r^2}{c^2}}}+\frac{m_0\omega ^2rdr}{c^2\left ( 1-\frac{\omega ^2r^2}{c^2} \right )^{3/2}}\)
Подставляем наш дифференциал в (2)
\(\displaystyle E=c^2\int\limits_{-r_0}^{r_0} \left ( \frac{\sigma dr}{\sqrt{1-\frac{\omega ^2r^2}{c^2}}}+\frac{m_0\omega ^2rdr}{c^2\left ( 1-\frac{\omega ^2r^2}{c^2} \right )^{3/2}} \right )\) Оба интеграла табличные. Первый это арксинус, второй степенной.
\(\displaystyle E=\int\limits_{-r_0}^{r_0} \frac{\sigma dr}{\sqrt{1-\frac{\omega ^2r^2}{c^2}}}+\int\limits_{-r_0}^{r_0}\frac{m_0\omega ^2rdr}{c^2\left ( 1-\frac{\omega ^2r^2}{c^2} \right )^{3/2}}\)
\(\displaystyle E_1=\left. \frac{\sigma c^3}{\omega }\arcsin (\frac{\omega r}{c})\right\vert_{-r_0}^{r_0}=\frac{2\sigma c^3}{\omega }\arcsin (\frac{\omega r_0}{c})\) (3)
\(\displaystyle E_2=\left. \frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{\omega ^2r^2}{c^2}}}\right\vert_{-r_0}^{r_0}=0\)
В итоге полная энергия стержня
\(\displaystyle E=\frac{2\sigma c^3}{\omega }\arcsin (\frac{\omega r_0}{c})\) (4)
Относительная скорость конца стержня \(\displaystyle \beta _c=\frac{\omega r_0}{c}\)
Скорость конца стержня \(v=\omega r_0\)
Угловая скорость \(\omega =\frac{v}{r_0}\)
Масса покоя стержня \(m_0=2\sigma r_0\)
Подставим эти значения в формулу (4) и получим
\(\displaystyle E=m_0c^2\frac{\arcsin \beta _c}{\beta _c}\) (5) это полная энергия стержня
\(\displaystyle T=m_0c^2\left ( \frac{\arcsin \beta _c}{\beta _c}-1\right )\) (6) кинетическая энергия.
При \(\beta _c< < 1\) кинетическая энергия по СТО должна переходить в классику
Верим, но проверим правильность нашей формулы (6)
При \(\beta _c< < 1\) разложим наш арксинус по формуле Тейлора
\(\arcsin \beta _c=\beta _c+\frac{\beta _c^3}{6}\) подставим в (6)
\(\displaystyle T=m_0c^2\left ( \frac{\beta_c +\frac{\beta_c^3}{6} }{\beta _c}-1\right )=m_0c^2(1+\beta _c^2/6-1)=m_0c^2v^2/(6c^2)=\frac{m_0\omega ^2r_0^2}{6}\)
Получили энергию стержня в классике.
Можно и подробнее, как в учебниках физики
Длина стержня \(L=2r_0\)
\(r_0=\frac{L}{2}\)
\(\displaystyle T=\frac{m_0\omega ^2r_0^2}{6}=\frac{m_0\omega ^2L^2}{24}\)
Момент инерции стержня в классике \(\displaystyle J=\frac{m_0L^2}{12}\)
Кинетическая энергия стержня в классике \(\displaystyle T=\frac{J\omega ^2}{2}\)
