Вращение стержня

[Александр45]

Все правильно и для половины стержня. E₂ у тебя также по физическому смыслу - интеграл энергии поступательного движения половины стержня. И этот интеграл равен нулю, так как нет поступательного движения.

При вращении стержня длиной L₀ относительно его конца, а не относительно центра маcc
Полная энергия по СТО для этого случая

\(\displaystyle E=\frac{\sigma c^3}{\omega }\arcsin \left ( \frac{\omega L_0}{c} \right )\)

Кинетическая энергия \(\displaystyle E=\frac{\sigma c^3}{\omega }\arcsin \left ( \frac{\omega L_0}{c} \right )-m_0~c^2\)


В классике

\(\displaystyle E=\frac{m_0~\omega ^2~L_0^2}{6}\)  кинетическая энергия

Для сравнения:
при вращении стержня длиной L₀ относительно центра масс
\(\displaystyle E=\frac{m_0~\omega ^2~L_0^2}{24}\)

Уважаемые Ost и Горин!
На мой взгляд главная ошибка в ваших расчетах, это то, что в формулах нет переменной \(t\), поэтому и главная причина нарушения законов сохранения для стержня в целом, т.е. ОО, в ваших расчетах не учитывается.
Я в этих случаях использую систему параметрических уравнений, на основании которых я и строю графики.


Эти уравнения можно использовать для любого распределения массы стержня относительно оси вращения. А суммарное значение импульса и полной энергии зависит еще от ОО, определяемой уравнениями определяемыми одновременно в ИСО'.
Вспомните периодическую деформацию (изгибы) стержня в ИСО'.

[Иван Горин]

Уважаемые Ost и Горин!
На мой взгляд главная ошибка в ваших расчетах, это то, что в формулах нет переменной \(t\), поэтому и главная причина нарушения законов сохранения для стержня в целом, т.е. ОО, в ваших расчетах не учитывается.
Я в этих случаях использую систему параметрических уравнений, на основании которых я и строю графики.


Эти уравнения можно использовать для любого распределения массы стержня относительно оси вращения. А суммарное значение импульса и полной энергии зависит еще от ОО, определяемой уравнениями определяемыми одновременно в ИСО'.
Вспомните периодическую деформацию (изгибы) стержня в ИСО'.

Александр! Не мудрите!
Мои формулы для энергии приведены для стержня, который покоится в своей системе К. И в любой момент времени эта энергия одинакова в этой системе!
И не зависит от времени.
А вот при переходе в систему К' стержень будет искривляться и энергия будет зависеть от времени t'.

[Александр45]

Александр! Не мудрите!
Мои формулы для энергии приведены для стержня, который покоится в своей системе К. И в любой момент времени эта энергия одинакова в этой системе!
И не зависит от времени.
А вот при переходе в систему К' стержень будет искривляться и энергия будет зависеть от времени t'.

А я что - против? Я говорю, что импульс и полная энергия для нашего стержня, в ИСО, в которой ось вращения покоится и где заданы исходные данные, законы сохранения выполняются, а в ИСО, в которой ось вращения движется, законы сохранения нарушаются.
Просто в Ваших с Ostом уравнениях я не увидел зависимость величины импульса и полной энергии от t' или Вы должны были дописать еще уравнения, где были бы приведены функции \(r'(t'), \omega'(t'), t'(t)\) и др.
Ведь если не будет учтена ОО, то и законы сохранения будут выглядеть по другому.

Подробности можно посмотреть здесь.

[Иван Горин]

А я что - против? Я говорю, что импульс и полная энергия для нашего стержня, в ИСО, в которой ось вращения покоится и где заданы исходные данные, законы сохранения выполняются, а в ИСО, в которой ось вращения движется, законы сохранения нарушаются.
Просто в Ваших с Ostом уравнениях я не увидел зависимость величины импульса и полной энергии от t' или Вы должны были дописать еще уравнения, где были бы приведены функции \(r'(t'), \omega'(t'), t'(t)\) и др.
Ведь если не будет учтена ОО, то и законы сохранения будут выглядеть по другому.

Подробности можно посмотреть здесь.

Да, формулы для энергии и импульса в системе К' я еще не приводил.
Но можно заранее сказать, что в релятивистской механике законы сохранения энергии и имульса по отдельности не выполняются. Должен выполняться закон сохранения энергии-импульса.

[Александр45]

Да, формулы для энергии и импульса в системе К' я еще не приводил.
Но можно заранее сказать, что в релятивистской механике законы сохранения энергии и импульса по отдельности не выполняются.

Т.е. два закона сохранения уже нарушаются. А чтобы забраковать любую теорию достаточно и одного.

Должен выполняться закон сохранения энергии-импульса.

Должен, но не выполняется.
У меня сама формула инварианта, приведенная Вами, вызывает сомнение.

\(\displaystyle \left(\sum\limits_{i} E_i / c\right)^2-\left(\sum\limits_{i} \vec p_i \right)^2=inv\)

Вызывает сомнение корректность сложения квадратов вектора и скаляра.
Даже если сумма квадратов модуля вектора и скаляра будет инвариантна, то направление вектора суммарного импульса может изменяться, что опять говорит о нарушении закона сохранения импульса и следовательно, о нарушении закона сохранения энергии-импульса - см. формулу выше.

[Иван Горин]

У меня сама формула инварианта, приведенная Вами, вызывает сомнение.

\(\displaystyle \left(\sum\limits_{i} E_i / c\right)^2-\left(\sum\limits_{i} \vec p_i \right)^2=inv\)

Я не приводил такую формулу!

[Иван Горин]

Вызывает сомнение корректность сложения квадратов вектора и скаляра.

Квадрат вектора также является скаляром.
Какие могут быть сомнения?!

[severe]

Вывод из Ваших рассуждений можно сделать следующий: зачем физике ОО?
Стоит отказаться от ОО в пользу АО и  большинство парадоксов СТО исчезнут вместе с фундаментальным ПО.

Если в одной теории уживаются три этих тезиса:
- секунда в движущейся системе равна секунде в покоящейся системе, т.к. часы в обеих системах идут одинаково
- секунда в движущейся системе больше секунды в покоящейся, т.к. движущиеся часы идут медленнее покоящихся
- секунда в движущейся системе меньше секунды в покоящейся, т.к. отрезок времени длительностью одна секунда между двумя событиями в движущейся системе всегда короче отрезка времени между этими же двумя событиями в покоящейся системе.

Из данных рассуждений можно сделать следующий вывод: что теория кричаще логически противоречива, и поэтому более пристального разбора, чем этот, не заслуживает.

[Александр45]

Вызывает сомнение корректность сложения квадратов вектора и скаляра.


Квадрат вектора также является скаляром.
Какие могут быть сомнения?!

Как я помню, то векторное произведение двух векторов - тоже вектор. А векторное произведение двух сонаправленных (коллинеарных) векторов, в нашем случае квадрат вектора, будет нулевым вектором, у которого длина равна нулю.

[Александр45]

Цитата: Александр45 от 08 Сентябрь 2021, 14:56:27
У меня сама формула инварианта, приведенная Вами, вызывает сомнение.

\(\displaystyle \left(\sum\limits_{i} E_i / c\right)^2-\left(\sum\limits_{i} \vec p_i \right)^2=inv\)

Я не приводил такую формулу!

Извините, видимо я не правильно понял Ostа. Тем более, что в этой формуле в СТО импульс должен рассматривается как скаляр.

[Иван Горин]

Как я помню, то векторное произведение двух векторов - тоже вектор. А векторное произведение двух сонаправленных (коллинеарных) векторов, в нашем случае квадрат вектора, будет нулевым вектором, у которого длина равна нулю.

Вам надо вспомнить векторную алгебру.
Далеко ходить не надо.
Посмотрите тему Оста в этом разделе о векторах. Она закреплена.
Тема : "Операции с комлексными числами в механике"

[Александр45]

Цитата: Александр45 от 09 Сентябрь 2021, 06:26:10
Как я помню, то векторное произведение двух векторов - тоже вектор. А векторное произведение двух сонаправленных (коллинеарных) векторов, в нашем случае квадрат вектора, будет нулевым вектором, у которого длина равна нулю.

Вам надо вспомнить векторную алгебру.
Далеко ходить не надо.
Посмотрите тему Оста в этом разделе о векторах. Она закреплена.
Тема : "Операции с комлексными числами в механике"

В формуле сумма импульсов записана как вектор.
\(\displaystyle \left(\sum\limits_{i} E_i / c\right)^2-\left(\sum\limits_{i} \vec p_i \right)^2=inv\)
Поэтому надо уточнять, что речь в формуле идет именно о скалярном умножении.

Векторный квадрат вектора всегда является нулевым вектором: [a × a] = 0 . Поэтому, когда говорят о «квадрате вектора» без уточнения типа перемножения, имеют в виду скалярный квадрат (квадрат модуля вектора).https://yandex.ru/search/?clid=1882628&text=%D0%B2%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D1%8B%D0%B9+%D0%BA%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82+%D0%B2%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B0&l10n=ru&lr=10968