Выше мы рассмотрели случай испускания пары фотонов движущимся телом "вперед" и "назад" строго вдоль вектора скорости
v и получили выражение
f =
f0 (
c/(c+v*cosА), (4)
связывающее частоту фотона в системе излучателя
f0 с частотой
f при его приеме.
Теперь рассмотрим другой случай – испускание пары фотонов (γ
3`, γ
4`) в "косом" направлении, не совпадающим ни с продольным, ни с поперечным, образующим с вектором скорости v некоторый угол α (рис. 4.1). Величина угла α выбирается с таким расчетом, чтобы один из парных фотонов (именно γ
3, рис. 4.2) пришел в ИСО приемника со строго поперечного направления.
Найдем значение угла α при заданной скорости
v, который бы обеспечил преобразование "косого" фотона γ
3` в поперечный γ
3 относительно системы приемника, так, как показано на рис. 4.3. При этом по (4) обеспечивается условие
f = f0, поскольку cos 90 = 0, при отсутствии поперечного доплер-эффекта.
Из треугольника скоростей
с, с`, v (рис. 4.3) имеем
sin α /
v = sin (90 – α) /
c, откуда
tg α =
v/c (5)
То есть, при выполнении условия (5) для фотона γ
3`в системе излучателя, фотон γ
3 в системе приемника будет принят с направления, перпендикулярного вектору скорости
v.
Исходя из требования сохранения импульса и энергии, фотон γ
4 придет в систему приемника с направления, развернутого в направлении скорости v на дополнительный к углу α угол β (рис. 4.2). Величина угла β также находится из треугольника скоростей (рис. 4.4):
sin β = (
v* sin (90 + α)) /
c = (
v* cos α) /
c (6)
Поскольку (5) преобразовывается к виду
sin α = (
v* cos α) /
c , (7)
правые части (6) и (7) совпадают,
приходим к равенству углов α = β.
Выражения (4) и (5), с учетом α = β, позволяют нам найти коэффициенты изменения частоты фотонов γ
3 и γ
4 в системе приемника, принимая её равной f
0 в системе передатчика.
(f (γ
1`) + f(γ
2`)) /(f (γ
1) + f(γ
2)) = (f (γ
3`) + f(γ
4`)) /(f (γ
3) + f(γ
4)) = (с
2 – v
2)/ с
2 (8)
то есть, имеем аналогичный результат. Обобщая, имеем: отношение суммы частот пары фотонов в исходной системе отсчета относительно суммы частот пары фотонов в системе отсчета, движущейся относительно исходной со скоростью
v, является функцией величины относительной скорости
v систем отсчета и не зависит от их взаимной ориентации.
