Задача по математике для студентов первого курса

[Иван Горин]

Что больше
\(3^ \pi\) или \(\pi^3\)
Калькуляторы не применять!
Проверим, остались ли математики на этом форуме.

[sergey_B_K]

Что больше
\(3^ \pi\) или \(\pi^3\)
Калькуляторы не применять!
Проверим, остались ли математики на этом форуме.

Без калькулятора сложно, поскольку числа близкие.
Если принять π = 3+а, то
\[
3^\pi   = 27 \cdot 3^a
\]
\[
\pi ^3  = \left( {3 + a} \right)^3  = 27\left( {1 + a} \right) + 9a^2  + a^3  \approx 27\left( {1 + a} \right)
\]
Что больше \( 3^a\ \) или (1+а)? Калькулятор говорит, что разница между результатами всего лишь в 0,54 в пользу \( 3^\pi\ \).

[Ost]

Что больше
\(3^ \pi\) или \(\pi^3\)
Калькуляторы не применять!
Проверим, остались ли математики на этом форуме.

График функции \(\pi^x\) проходит выше графика функции \(3^x\).
Горизонтальные линии соответствующие аргументам \(3\) и \(\pi\) в пересечении с кривыми функций, образуют фигуру близкую к параллелограмму.
В этом параллелограмме точка соответствующая \(\pi^3\) находится слева внизу, а точка \(3^\pi\) справа вверху. Из чего следует, что \(3^\pi>\pi^3\).

[sergey_B_K]

График функции \(\pi^x\) проходит выше графика функции \(3^x\).

Неправильная постановка задачи. Степени в задаче разные.

[Метафизик]

[sergey_B_K]

Так это всё равно, что с калькулятором... 

[Иван Горин]

График функции \(\pi^x\) проходит выше графика функции \(3^x\).
Горизонтальные линии соответствующие аргументам \(3\) и \(\pi\) в пересечении с кривыми функций, образуют фигуру близкую к параллелограмму.
В этом параллелограмме точка соответствующая \(\pi^3\) находится слева внизу, а точка \(3^\pi\) справа вверху. Из чего следует, что \(3^\pi>\pi^3\).

Не горизонтальные, а вертикальные.
В этом параллелограмме точка соответствующая \(\pi^3\) находится слева вверху, а точка \(3^\pi\) справа внизу. Из чего невозможно сделать вывод, что \(3^\pi>\pi^3\).

[sergey_B_K]

Не горизонтальные, а вертикальные.
В этом параллелограмме точка соответствующая \(\pi^3\) находится слева вверху, а точка \(3^\pi\) справа внизу. Из чего невозможно сделать вывод, что \(3^\pi>\pi^3\).

Аналогичное и я показал на формулах... 

[Иван Горин]

Аналогичное и я показал на формулах... 

Да, но нельзя применять калькуляторы и вычислительную технику.

[Метафизик]

Из чего следует, что \(3^\pi>\pi^3\).

Из чего невозможно сделать вывод, что \(3^\pi>\pi^3\).

Так это всё равно,

Всё по Шалом Алейхему...     только члена, торчащего из окна автобуса, не видать... 

[sergey_B_K]

Всё по Шалом Алейхему...     только члена, торчащего из окна автобуса, не видать...

Ну,если нарезать, как Вы, то точно член из автобуса вылезет... 

[Ost]

Не горизонтальные, а вертикальные.
В этом параллелограмме точка соответствующая \(\pi^3\) находится слева вверху, а точка \(3^\pi\) справа внизу. Из чего невозможно сделать вывод, что \(3^\pi>\pi^3\).

Тогда смотрим графики

Точка \((3,\pi^3)\) находится слева внизу.
Точка  \((\pi,3^\pi)\) находится справа вверху.
Соответственно \(3^\pi>\pi^3\).
Для этого вывода не надо рисовать точные графики.
Достаточно знать свойства функции \(a^x\).

[sergey_B_K]

Тогда смотрим графики

И опять... Графики - это только визуализация и с помощью того же калькулятора получаются.

[Иван Горин]

Тогда смотрим графики

Точка \((3,\pi^3)\) находится слева внизу.
Точка  \((\pi,3^\pi)\) находится справа вверху.
Соответственно \(3^\pi>\pi^3\).
Для этого вывода не надо рисовать точные графики.
Достаточно знать свойства функции \(a^x\).

Синяя линия может оказаться ниже. И результат будет противоположный. То есть по любому надо применять калькулятор.

[Ost]

Синяя линия может оказаться ниже. И результат будет противоположный. То есть по любому надо применять калькулятор.

Синяя и зеленая линии, в этой задаче, по другому проходить не могут.
Эта задача на знание свойств функции \(a^x\).
Достаточно приблизительно провести четыре линии и расставить точки.
Запретим это знание?
А может запретим абстрактное мышление?

[Иван Горин]

Синяя и зеленая линии, в этой задаче, по другому проходить не могут.
Эта задача на знание свойств функции \(a^x\).

ЗЕЛЁНАЯ ЛИНИЯ ПО ЛЮБОМУ ВЫШЕ СИНЕЙ. С этим никто не спорит.
Но мы не знаем что больше pi^3 или 3^pi.
Калькулятор и другие вычислительные средства применять нельзя, иначе задача не имеет смысла.
Надо применять свойства неравенств.
Задача для первокурсников, значит можно применять высшую математику.

[Ost]

ЗЕЛЁНАЯ ЛИНИЯ ПО ЛЮБОМУ ВЫШЕ СИНЕЙ. С этим никто не спорит.
Но мы не знаем что больше pi^3 или 3^pi.
Калькулятор и другие вычислительные средства применять нельзя, иначе задача не имеет смысла.
Надо применять свойства неравенств.
Задача для первокурсников, значит можно применять высшую математику.

Но мы не знаем что больше pi^3 или 3^pi.

Точка \(3^\pi\) находится выше, а точка \(\pi^3\) находится ниже.
Для этого вывода не надо знать их величину. Это следует из рисунка.
Но это значит, что \(3^\pi\) больше, раз выше.

Числовые значения \(3^\pi\) и \(\pi^3\) можно убрать с рисунка и это не изменит вывода.
Всё это без калькулятора выводится.

[sergey_B_K]

Точка \(3^\pi\) находится выше, а точка \(\pi^3\) находится ниже.
Для этого вывода не надо знать их величину. Это следует из рисунка.
Но это значит, что \(3^\pi\) больше, раз выше.

Чтобы это доказать, нужно доказать теорему: если y>x, то
\[
\frac{y}{x} > \frac{{\lg y}}{{\lg x}} = \log _x y
\]

[Иван Горин]

Точка \(3^\pi\) находится выше, а точка \(\pi^3\) находится ниже.
Для этого вывода не надо знать их величину. Это следует из рисунка.

ТОГДА ПО ОСИ ОРДИНАТ ОТЛОЖИМ ТОЧКУ \(\pi^3\) выше точки \(3^\pi\) и получим новый четырёхугольник и новый рисунок.
Мы же пока не знаем что больше.
И тем не менее зелёная линия будет выше синей.

[sergey_B_K]

ТОГДА ПО ОСИ ОРДИНАТ ОТЛОЖИМ ТОЧКУ \(\pi^3\) выше точки \(3^\pi\) и получим новый четырёхугольник и новый рисунок.
Мы же пока не знаем что больше.
И тем не менее зелёная линия будет выше синей.

Ну, это уже гадание на кофейной гуще. Подгонка под результат. А строгое доказательство есть? Или без калькулятора никуда?