Задача по математике для студентов первого курса

[Иван Горин]

Ну, это уже гадание на кофейной гуще. Подгонка под результат. А строгое доказательство есть? Или без калькулятора никуда?

Строгое доказательство без калькулятора есть.
Его надо найти. Но для этого надо знать высшую математику в пределах первого курса.
Подождём, может сюда заглянет первокурсник или инженер.
Но начало могу подсказать
Прологарифмировать неравенство по натуральному логарифму.
Предположим, что
\(3^ \pi> \pi^3\)

\(\ln{3^ \pi}> \ln {\pi^3}\) знак неравенства сохраняется, так как функция натурального логарифма возрастает.

После дальнейших преобразований и исследований выясняем, верно ли наше предположение.

[sergey_B_K]

Строгое доказательство без калькулятора есть.
Его надо найти. Но для этого надо знать высшую математику в пределах первого курса.
Подождём, может сюда заглянет первокурсник или инженер.
Но начало могу подсказать
Прологарифмировать неравенство по натуральному логарифму.
Предположим, что
\(3^ \pi> \pi^3\)

\(\ln{3^ \pi}> \ln {\pi^3}\) знак неравенства сохраняется, так как функция натурального логарифма возрастает.

После дальнейших преобразований и исследований выясняем, верно ли наше предположение.

Решение очевидное и я с этого начинал тоже, а потом ушёл на алгебраический вариант, поскольку там появляется та самая неопределённость, о которой я написал, приведя отношение логарифмов. А дифференцировать и интегрировать тут некорректно. Числовые функции. Так что доказывать нужно в пределах алгебры.

[Иван Горин]

Решение очевидное и я с этого начинал тоже, а потом ушёл на алгебраический вариант, поскольку там появляется та самая неопределённость, о которой я написал, приведя отношение логарифмов. А дифференцировать и интегрировать тут некорректно. Числовые функции. Так что доказывать нужно в пределах алгебры.

А ты найди одну такую функцию, у которой аргумент x принимает любые  значения, в том числе  3 и pi.

[sergey_B_K]

А ты найди одну такую функцию, у которой аргумент x принимает любые  значения, в том числе  3 и pi.

Зачем выдумывать? Тем более, что равенство производных не означает равенства самих функций.

[sergey_B_K]

Без калькулятора сложно, поскольку числа близкие.
Если принять π = 3+а, то
\[
3^\pi   = 27 \cdot 3^a
\]
\[
\pi ^3  = \left( {3 + a} \right)^3  = 27\left( {1 + a} \right) + 9a^2  + a^3  \approx 27\left( {1 + a} \right)
\]
Что больше \( 3^a\ \) или (1+а)? Калькулятор говорит, что разница между результатами всего лишь в 0,54 в пользу \( 3^\pi\ \).

Закончу доказательство. Итак, мы остановились на вопросе, что больше \( 3^a\ \) или (1+а)?
Проварьируем а. Мы видим, что обе функции монотонные. При 0≤а≤1 \( 3^a\ \) изменятся в пределах 1→3. При этом вторая функция изменяется в пределах 1→2. То есть всегда проходит ниже первой, а значит, поскольку а больше ноля и меньше единицы
\[
3^\pi   > \pi ^3
 \]
Финита.
Эту теорему можно обобщить.
Теорема: При любом x>1 и положительном у
x^y  > y^x

[Иван Горемыкин]

Финита.
Эту теорему можно обобщить.
Теорема: При любом x>1 и положительном у
x^y  > y^x

 
Написал малюсенькую программку
С её помощью можно определить правдивость выводов Сергея.
Кому потребуется - вышлю

[sergey_B_K]

С её помощью можно определить правдивость выводов Сергея.
Кому потребуется - вышлю

Для исходной задачи это подходит. Для общего случая, скорее всего, нужно учитывать отброшенные при приближении слагаемые. При этом вторая функция становится степенной и неравенство может нарушаться. Но эта задача сама по себе пустая и не стоит рассчитывать на какие-то приложения. Чисто абстрагированный интерес даже в рамках математики.

[Иван Горин]

\[
\pi ^3  = \left( {3 + a} \right)^3  = 27\left( {1 + a} \right) + 9a^2  + a^3  \approx 27\left( {1 + a} \right)
\]

Эту приближенную формулу можно использовать при a<<1.

[Иван Горемыкин]

При любом x>1 и положительном у
x^y  > y^x

При проверке в точности НАОБОРОТ.
Ты даже этого не увидел.

[sergey_B_K]

Эту приближенную формулу можно использовать при a<<1.

Где-то так, хотя для определения малости а формируется своё трансцендентное уравнение.

[Иван Горин]

Где-то так, хотя для определения малости а формируется своё трансцендентное уравнение.

Но идея у тебя хорошая. До этого метода я не догадался.
Можно немного упростить и придём также к твоему результату.
Имеем две функции
\(y_1=3^x\)
\(y_2=x^3\)
при 3<x<4
27<y1<81
27<y2<64
То есть степенная функция для всех х>3 лежит выше кубической.
При \(x=\pi\)
\(3^\pi>\pi^3\)

[sergey_B_K]

Но идея у тебя хорошая. До этого метода я не догадался.
Можно немного упростить и придём также к твоему результату.
Имеем две функции
\(y_1=3^x\)
\(y_2=x^3\)
при 3<x<4
27<y1<81
27<y2<64
То есть степенная функция для всех х>3 лежит выше кубической.
При \(x=\pi\)
\(3^\pi>\pi^3\)

Возможно, и так, в границы попадает, но границы в общем случае желательно определять тем вторым трансцендентным уравнением, которое будет ещё и степенным.

[Иван Горемыкин]

Даже на твоей игралке в одном случае так, а в другом иначе.

А давай поспорим....
2^3 = 8 , а 3^2 = 9 
Что больше?
Ты же утверждаешь -

При любом x>1 и положительном у
x^y  > y^x

Далее, возмем 3^4 = 81 , а 4^3 = 64 или
4^5 = 1024 , а 5^4 = 625
Так что НЕ При любом x>1.....счетовод Вотруба

[Ost]

В случае логарифмов решение сводится к ряду
\(\displaystyle \delta~ln(3)-\delta~+\frac{1}{6} \delta^2 - \frac{1}{27} \delta^3~+...>0\)
\(0<\delta \leq \pi-3<1\).

[Иван Горин]

Возможно, и так, в границы попадает, но границы в общем случае желательно определять тем вторым трансцендентным уравнением, которое будет ещё и степенным.

Что за второе уравнение?

[sergey_B_K]

Что за второе уравнение?

Оно получается если не пренебрегать слагаемыми.

[Иван Горин]

Оно получается если не пренебрегать слагаемыми.

А такое сравнение можно решить без калькулятора:
\(3^{(2,5)}\) v \((2,5)^3\)
v это знак сравнения.

[sergey_B_K]

А такое сравнение можно решить без калькулятора:
\(3^{(2,5)}\) v \((2,5)^3\)
v это знак сравнения.

Так с тройкой всё решается аналитически, поскольку приводит к кубическому (фактически - к квадратному) уравнению с одним действительным корнем при а=1. И для четвёрки/пятёрки можно аналитически, а далее нужно уже решать уравнения более высоких степеней. В принципе, можно было бы, если бы учёные толпой не отмахивались от моей методики точных аналитических решений для дискретных динамических систем, сводящихся к степенным уравнениям. Ну, а поскольку толпой и так продолжительно тупят, пытаясь выискать у меня какие-то недостатки, то и хай им хрець. Пусть тупят дальше. 
Ну, а то, что находится между, понятно, будет подчиняться тому же неравенству.

[Иван Горин]

Так с тройкой всё решается аналитически, поскольку приводит к кубическому (фактически - к квадратному) уравнению с одним действительным корнем при а=1. И для четвёрки/пятёрки можно аналитически, а далее нужно уже решать уравнения более высоких степеней. В принципе, можно было бы, если бы учёные толпой не отмахивались от моей методики точных аналитических решений для дискретных динамических систем, сводящихся к степенным уравнениям. Ну, а поскольку толпой и так продолжительно тупят, пытаясь выискать у меня какие-то недостатки, то и хай им хрець. Пусть тупят дальше. 
Ну, а то, что находится между, понятно, будет подчиняться тому же неравенству.

Можешь записать ответ одной строчкой.
А на троллей не обращай внимание.
В математике троллинг бесполезен, так как математика это точная наука.

[Иван Горин]

Что именно?

РЕШЕНИЕ ПОСЛЕДНЕГО СРАВНЕНИЯ, которое я привёл.
Повторяю.
\(3^{(2,5)}\) v \((2,5)^3\)
v это знак сравнения.
 Что больше по твоей теории без калькулятора.
Мнение толпы приводить не надо. Ты у меня на форуме.