Задача по математике для студентов первого курса

[sergey_B_K]

РЕШЕНИЕ ПОСЛЕДНЕГО СРАВНЕНИЯ, которое я привёл.
Повторяю.
\(3^{(2,5)}\) v \((2,5)^3\)
v это знак сравнения.
 Что больше по твоей теории без калькулятора.
Мнение толпы приводить не надо. Ты у меня на форуме.

Но и Илья, Метафизик, Горемыкин и т.д. - тоже на форуме.
Для \( 3^{(2,5)} \) всё ясно и просто  \( 3^{(x)} \) приводит к уравнению (при степени у = 3 - а)
\[ 3^3 3^{ - a}  = 3^3 \left( {1 - a + {1 \over 3}a^2  + a^3 } \right) \]
или
\[ 3^{ - a}  = \left( {1 - a + {1 \over 3}a^2  + a^3 } \right)
 \]
В принципе, это трансцендентное уравнение, одним из решений которого является а = 0. Остальные решения нужно находить подбором параметра.
Для тройки подбором параметра находим, что  второй корень а = 0,529084, а значит, 
\[ 3^{2,5}  < 2,5^3 \]
поскольку при этом а = 0,5, но уже
\[ 3^{2,4}  > 2,4^3 \]

[Иван Горин]

Но и Илья, Метафизик, Горемыкин и т.д. - тоже на форуме.
Для \( 3^{(2,5)} \) всё ясно и просто  \( 3^{(x)} \) приводит к уравнению (при степени у = 3 - а)
\[ 3^3 3^{ - a}  = 3^3 \left( {1 - a + {1 \over 3}a^2  + a^3 } \right) \]
или
\[ 3^{ - a}  = \left( {1 - a + {1 \over 3}a^2  + a^3 } \right)
 \]
В принципе, это трансцендентное уравнение, одним из решений которого является а = 0. Остальные решения нужно находить подбором параметра.
Для тройки подбором параметра находим, что  второй корень а = 0,529084, а значит, 
\[ 3^{2,5}  < 2,5^3 \]
поскольку при этом а = 0,5, но уже
\[ 3^{2,4}  > 2,4^3 \]

Молодец, Каравашкин!

Действительно для двух функций \(3^x\) и \(x^3\)
при \(2,478<x<3\) ; \(3^x\) < \(x^3\)

при \(0<x<2,478\)  и   \(3<x<\infty\) ; \(3^x\) > \(x^3\)

В точках 0,478 и 3 функции пересекаются. Правую границу можно найти без калькулятора, а левую только с калькулятором.

[sergey_B_K]

Молодец, Каравашкин!

Действительно для двух функций \(3^x\) и \(x^3\)
при \(2,478<x<3\) ; \(3^x\) < \(x^3\)

при \(0<x<2,478\)  и   \(3<x<\infty\) ; \(3^x\) > \(x^3\)

В точках 0,478 и 3 функции пересекаются. Правую границу можно найти без калькулятора, а левую только с калькулятором.

В принципе, несложная задачка, учитывая, что я бесконечную систему диф. уравнений одолел... 

[Andrey_R]

Ну и зачем лепить второсортные вариации на уже полученное решение? 

Не знаю, чужие вариации не читал, просто залез и увидел задачку.  Хорошо, если там были первосортные. 

Да, увидел. После ответа от 23 Октябрь 2022, 20:56:24  моя запись - более частная вариация. Убираю.

[Andrey_R]

А может лучше было бы сначала почитать, чем Америку открывать? Тем более, что ветка короткая... 

Ну я сам решу, что читать, а что нет.
Вот, прочитал. И решил вставить свой вариант обратно.

Тем более, что условие было - без калькуляторов.
А требуется только знать, что pi>3>e, для чего калькулятора точно не надо.

------
 Решение здесь м.б. вот такое

3^pi   v   pi^3
pi*ln(3)   v   3*ln(pi)
pi/3   v  ln(pi)/ln(3)

пусть x=pi-3, тогда

(3+x)/3   v   ln[3*(1+x/3)]/ln(3)
1+x/3   v    1+ ln(1+x/3)/ln(3)
и т.к. ln(1+a)=a-a^2/2+...<a для любых а, а ln(3)>1, то

1+x/3   >    1+ ln(1+x/3)/ln(3) и, значит,

3^pi   >   pi^3

и вообще отсюда следует, что если оба числа (вместо 3 и pi) больше e, то всё аналогично и проблем нет.

[Иван Горин]

Ну я сам решу, что читать, а что нет.
Вот, прочитал. И решил вставить свой вариант обратно.

Тем более, что условие было - без калькуляторов.
А требуется только знать, что pi>3>e, для чего калькулятора точно не надо.

3^pi   v   pi^3
pi*ln(3)   v   3*ln(pi)

Хорошо, Андрей, что вернул решение.
Каравашкин решил эту задачу не только с помощью калькулятора, но и с помощью программы, которая решает трансцендентные уравнения.
А ты пытаешься найти решение без калькулятора, как стоит в задании.

А может быть обе части последнего сравнения разделить на 3pi.
Посмотри, что получится.

[Andrey_R]

А может быть обе части последнего сравнения разделить на 3pi.
Посмотри, что получится.

Да, всё правильно, так ещё проще, хотя результат тот же. Здесь надо будет взять производную ln(x)/x, увидеть, что функция максимальна при ln(x)=1, т.е. x=e.
И результат очевиден, если оба числа больше e или оба меньше.
а если a<e<b, то без калькулятора в общем случае не обойтись.

[Иван Горин]

Да, всё правильно, так ещё проще, хотя результат тот же. Здесь надо будет взять производную ln(x)/x, увидеть, что функция максимальна при ln(x)=1, т.е. x=e.
И результат очевиден, если оба числа больше e или оба меньше.
а если a<e<b, то без калькулятора в общем случае не обойтись.

Всё правильно. Задача решена!

[Иван Горин]

И результат очевиден, если оба числа больше e или оба меньше.
а если a<e<b, то без калькулятора в общем случае не обойтись.

В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ ДЛЯ ФУНКЦИЙ
\(a^x\) v \(x^a\)
При \(а=2^N\) ,где N=1, 2, 3 ...
Можно без калькулятора найти точки пересечения этих функций.
x1=2 и x2=4
Они лежат слева и справа от e.
В интервале 2<x<4 \(2^x<x^2\)
Вне этого интервала  \(2^x>x^2\)

Такой контрпример при x=3 привёл Иван Горемыкин в этой теме, тем самым опроверг теорему Каравашкина.

Без калькулятора сложно, поскольку числа близкие.
Если принять π = 3+а, то
\[
3^\pi   = 27 \cdot 3^a
\]
\[
\pi ^3  = \left( {3 + a} \right)^3  = 27\left( {1 + a} \right) + 9a^2  + a^3  \approx 27\left( {1 + a} \right)
\]
Что больше \( 3^a\ \) или (1+а)? Калькулятор говорит, что разница между результатами всего лишь в 0,54 в пользу \( 3^\pi\ \).
Закончу доказательство. Итак, мы остановились на вопросе, что больше \( 3^a\ \) или (1+а)?
Проварьируем а. Мы видим, что обе функции монотонные. При 0≤а≤1 \( 3^a\ \) изменятся в пределах 1→3. При этом вторая функция изменяется в пределах 1→2. То есть всегда проходит ниже первой, а значит, поскольку а больше ноля и меньше единицы
\[
3^\pi   > \pi ^3
 \]
Финита.
Эту теорему можно обобщить.
Теорема: При любом x>1 и положительном у
x^y  > y^x

[Andrey_R]

В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ ДЛЯ ФУНКЦИЙ
ax v xa
При а=2N ,где N=1, 2, 3 ...

Ну это не общий случай:при a<e<b он работает только при а=2

Относительно общий случай это:
при e<a<b   a^b>b^a
при a<b<e   a^b<b^a
при a<e<b (кроме a=2)   нужен калькулятор (или приближённые прикидки для каждого конкретного случая, где получится)

Эту теорему можно обобщить.
Теорема: При любом x>1 и положительном у
x^y  > y^x

Это странное утверждение. Описка?

[Иван Горин]

Это странное утверждение. Описка?

Андрей, ты не копируй мои сообщения, а нажимай кнопку цитировать, иначе исчезает форматирование формул.
А утверждение не моё, а Каравашкина. Посмотри еще мой пост, я исправил ошибку цитирования. И убедись, что эта теорема Каравашкина.

[Andrey_R]

Посмотри еще мой пост, я исправил ошибку цитирования. И убедись, что эта теорема Каравашкина.

Хорошо, а то я сначала не понял.