Относительность одновременности

[Ost]

Согласно ПЛ от Оста \( x'=0 \) для события \((t=0,~~\gamma~x'+x_0)\)   \((t'=0,~~x')\).

\(t-t_0=(t'+V~x'/c^2)~\gamma\)
\(x-x_0=(x'+V~t')~\gamma\).

[severe]

\(t-t_0=(t'+V~x'/c^2)~\gamma\)
\(x-x_0=(x'+V~t')~\gamma\).

Пока положим \( t_0=0 \).
Решите систему уравнений
\( x=\gamma x'+x_0 \)
\( x'=\gamma (x-x_0) \)

Получите ответ \( x=x_0 \), \( x'=0 \).

Конечно, если теперь принять нулевой момент времени за неравный нулю, то будет другая система уравнений и другой ответ.



.

[Ost]

Пока положим \( t_0=0 \).
Решите систему уравнений
\( x=\gamma x'+x_0 \)
\( x'=\gamma (x-x_0) \)

Получите ответ \( x=x_0 \), \( x'=0 \).

.

\(t_0<0\).

[severe]

\(t_0<0\).

Конечно, если теперь принять нулевой момент времени за неравный нулю, то будет другая система уравнений и другой ответ:
\( x'=-(t_0c^2)/(\gamma V), x=-(t_0c^2)/ V+x_0 \)

Как решать задачу, чему равно \( x' \) в момент \( t'=0 \), если \( x\neq -(t_0c^2)/ V+x_0 \) в момент \( t=0 \)?

[Ost]

Конечно, если теперь принять нулевой момент времени за неравный нулю, то будет другая система уравнений и другой ответ:
\( x'=-(t_0c^2)/(\gamma V), x=-(t_0c^2)/ V+x_0 \)

Как решать задачу, чему равно \( x' \) в момент \( t'=0 \), если \( x\neq -(t_0c^2)/ V+x_0 \) в момент \( t=0 \)?

По другому не решается.

Правильно надо интерпретировать так.
В классике \((t=0,~~x'+x_0)\)   \((t'=0,~~x')\), может выполнятся во всём пространстве.
В СТО \((t=0,~~\gamma~x'+x_0)\)   \((t'=0,~~x')\) только в плоскости. Такова реальность.

ПЛ имеют только один вариант.
Например, у инопланетян будет другая линейка и другие часы.
Это не значит, что там будут другие ПЛ.

[severe]

По другому не решается.

Правильно надо интерпретировать так.
В классике \((t=0,~~x'+x_0)\)   \((t'=0,~~x')\), может выполнятся во всём пространстве.
В СТО \((t=0,~~\gamma~x'+x_0)\)   \((t'=0,~~x')\) только в плоскости. Такова реальность.

ПЛ имеют только один вариант.
Например, у инопланетян будет другая линейка и другие часы.
Это не значит, что там будут другие ПЛ.

Правильно надо интерпретировать так: СТО не может решить задачу, чему равно \( x' \) в момент \( t'=0 \), если \( x\neq -(t_0c^2)/ V+x_0 \) в момент \( t=0 \), потому что она может решить только задачу, чему равно \( x' \) в момент \( t'=0 \), если \( x= -(t_0c^2)/ V+x_0 \) в момент \( t=0 \).
Перейдём теперь к стандартным ПЛ, в которых по умолчанию \( x_0=0, t_0=0 \).
СТО не может решить задачу, чему равно \( x' \) в момент \( t'=0 \), если \( x\neq 0 \) в момент \( t=0 \), потому что она может решить только задачу, чему равно \( x' \) в момент \( t'=0 \), если \( x=0 \) в момент \( t=0 \).

[Иван Горин]

\(t-t_0=(t'+V~x'/c^2)~\gamma\)
\(x-x_0=(x'+V~t')~\gamma\).

Михаил, откуда такие формулы и их вывод?
Например, синхронизацию можно сделать так.
К неподвижной системе К слева приближается система К'
В реперной точке системы К x_O'=-x₀ из начала координат К' посылается вспышка света в направлении движения, то есть к точке начала неподвижной системы координат
и одновременно часы в К' сбрасываются в ноль.
По приёму этой вспышки света в начале координат К устанавливается время x₀/c
Часы синхронизированы.
А какой у тебя метод синхронизации и связанные с ним формулы. И чему у тебя равно t₀?

[Ost]

Правильно надо интерпретировать так: СТО не может решить задачу, чему равно \( x' \) в момент \( t'=0 \), если \( x\neq -(t_0c^2)/ V+x_0 \) в момент \( t=0 \), потому что она может решить только задачу, чему равно \( x' \) в момент \( t'=0 \), если \( x= -(t_0c^2)/ V+x_0 \) в момент \( t=0 \).
Перейдём теперь к стандартным ПЛ, в которых по умолчанию \( x_0=0, t_0=0 \).
СТО не может решить задачу, чему равно \( x' \) в момент \( t'=0 \), если \( x\neq 0 \) в момент \( t=0 \), потому что она может решить только задачу, чему равно \( x' \) в момент \( t'=0 \), если \( x=0 \) в момент \( t=0 \).

Ответ СТО - \( x=-(t_0c^2)/ V+x_0 \).
\( x\neq -(t_0c^2)/ V+x_0 \), такого решения в СТО не существует.
Не существует решения и не может решить - разное.

[severe]

Ответ СТО - \( x=-(t_0c^2)/ V+x_0 \).
\( x\neq -(t_0c^2)/ V+x_0 \), такого решения в СТО не существует.
Не существует решения и не может решить - разное.

В СТО не существует решения задачи, чему равно \( x' \) в момент \( t'=0 \), если \( x\neq -(t_0c^2)/ V+x_0 \) в момент \( t=0 \).
Ответ СТО - решения не существует.

[severe]

Михаил, откуда такие формулы и их вывод?

http://bolshoyforum.com/forum/index.php?topic=618182.msg10179866#msg10179866

[Ost]

Михаил, откуда такие формулы и их вывод?
Например, синхронизацию можно сделать так.
К неподвижной системе К слева приближается система К'
В реперной точке системы К x_O'=-x₀ из начала координат К' посылается вспышка света в направлении движения, то есть к точке начала неподвижной системы координат
и одновременно часы в К' сбрасываются в ноль.
По приёму этой вспышки света в начале координат К устанавливается время x₀/c
Часы синхронизированы.
А какой у тебя метод синхронизации и связанные с ним формулы. И чему у тебя равно t₀?

\((t_0,~x_0)~-\) точка синхронизации.
Преобразования Лоренца линейные. Любые действия которые не нарушают этой линейности допустимы.
Например, смещение показаний часов \(t-t_0\), перенос точки отсчёта координат \(x-x_0\).
Вывод не требуется в силу математической очевидности.
Доказательством правильности является сохранение интервала между событиями.
Синхронизация производится при совпадении начала координат \(K'\) с точкой \(x_0\).

[Иван Горин]

\((t_0,~x_0)~-\) точка синхронизации.
Преобразования Лоренца линейные. Любые действия которые не нарушают этой линейности допустимы.
Например, смещение показаний часов \(t-t_0\), перенос точки отсчёта координат \(x-x_0\).
Вывод не требуется в силу математической очевидности.
Доказательством правильности является сохранение интервала между событиями.
Синхронизация производится при совпадении начала координат \(K'\) с точкой \(x_0\).

Я так понимаю:
В системе К' время устанавливается в нуль при совпадении начала координат \(K'\) с точкой \(x_0\), а системе К время будет t₀
И исходя из твоих новых преобразований \(x_0=ct_0\)
Это так?

[Иван Горин]

Можно обобщить и по времени.
\(t=(t'+V~x'/c^2)~\gamma+t_0\)
\(x=(x'+V~t')~\gamma+x_0\).

Или
\(t=(t'+t_0'+V~x'/c^2)~\gamma\)
\(x=(x'+x_0'+V~t')~\gamma\).

При \(t'=0\); \(x'=0\),
\(t=t_0\); \(x=x_0\) или \(t=t_0'~\gamma\); \(x=x_0'~\gamma\) .

\(t_0=t_0'~\gamma\); \(x_0=x_0'~\gamma\).

Найдём прямые преобразования для полноты новых преобразований математика Оста.
\(t=(t'+V~x'/c^2)~\gamma+t_0\)
\(x=(x'+V~t')~\gamma+x_0\).

\(t-t_0=(t'+V~x'/c^2)~\gamma\)  (1)
\(x-x_0=(x'+V~t')~\gamma\)        (2)

Во вспомогательной неподвижной системы координат К₁
\(t_1=t-t_0\)
\(x_1=x-x_0\)

\(t_1=(t'+V~x'/c^2)~\gamma\)  (3)
\(x_1=(x'+V~t')~\gamma\)         (4)
Система К1 неподвижна, система К' движется вправо

Из (3) и (4) найдём прямые преобразования
\(t'=(t_1-V~x_1/c^2)~\gamma\) 
\(x'=(x_1-V~t_1)~\gamma\)         

\(t'=(t-t_0-V~(x-x_0)/c^2)~\gamma\)  (5)
\(x'=(x-x_0-V~(t-t_0))~\gamma\)         (6)

[Ost]

Я так понимаю:
В системе К' время устанавливается в нуль при совпадении начала координат \(K'\) с точкой \(x_0\), а системе К время будет t₀
И исходя из твоих новых преобразований \(x_0=ct_0\)
Это так?

В системе К' время устанавливается в нуль при совпадении начала координат \(K'\) с точкой \(x_0\), а системе К время будет t₀

Да.

И исходя из твоих новых преобразований \(x_0=ct_0\)
Это так?

Нет.
Такой функциональной связи между \(x_0\) и \(t_0\) нет. Их выбор произвольный.

[severe]

Такой функциональной связи между \(x_0\) и \(t_0\) нет. Их выбор произвольный.

Положим \( x_0=0 \), \( t_0=0 \).
Тогда не существует \( x' \) в момент совпадения начал координат, если \( x\neq 0 \) в момент совпадения начал координат.
Не существует события \( (x\neq 0, t=0) (x', t'=0) \).

[Ost]

Положим \( x_0=0 \), \( t_0=0 \).
Тогда не существует \( x' \) в момент совпадения начал координат, если \( x\neq 0 \) в момент совпадения начал координат.
Не существует события \( (x\neq 0, t=0) (x', t'=0) \).

Событие совпадает с точкой синхронизации.
 

[severe]

Событие совпадает с точкой синхронизации.
 

Неправда. Если \( x_0=0 \), \( t_0=0 \), то события \( (x\neq 0, t=0) (x', t'=0) \) не существует, а точка синхронизации \( (x=0, t=0) (x'=0, t'=0) \).

[Иван Горин]

Такой функциональной связи между \(x_0\) и \(t_0\) нет. Их выбор произвольный.

Да, я согласен. Выбор \(t_0\) произвольный.
Это следует из формул разности координат в произвольный момент времени. Например в момент времени t.
Разности координат подвижной и неподвижной системах  связаны условием при x'=0:
\(x_{A}^{'}=-\frac{x_B}{\gamma }\)  (1)
Точка A - начало координат неподвижной системы К
Точка B - начало координат подвижной системы К'
Найдём после несложных преобразований
\(x_{O'O} \equiv x_{O'}\equiv x_B=(x_0-vt_0)+vt\) (2)
\(x'_{OO'} \equiv x'_{O}\equiv x'_A=-\frac{(x_0-vt_0)+vt}{\gamma } \) (3)
Как видим условие (1) выполняется при любых t₀ и t

Я выбираю \(x_0=vt_0\)
И тогда из (2) и (3) получим
\(x_{O'O} \equiv x_{O'}\equiv x_B=vt\)
\(x'_{OO'} \equiv x'_{O}\equiv x'_A=-\frac{vt}{\gamma  }\)

При t=0 координаты совпали. Можно было бы произвести синхронизацию и в этот момент времени, а не позже.
В момент синхронизации координаты при t=t₀ не совпадают.
Более того была введена ещё одна неподвижная система отсчёта К₁, время в которой не совпадает со временем первой неподвижной системы К.

[Ost]

Неправда. Если \( x_0=0 \), \( t_0=0 \), то события \( (x\neq 0, t=0) (x', t'=0) \) не существует, а точка синхронизации \( (x=0, t=0) (x'=0, t'=0) \).

Если \(x_0=0\), \(t_0=0~-\) условие по синхронизации.
При \(t=0\) и \(t'=0~-\) условие по событию, то из
\(t'=(t-t_0-V~(x-x_0)/c^2)~\gamma\) 
\(x'=(x-x_0-V~(t-t_0))~\gamma\)         
следует
\(0=(-V~x/c^2)~\gamma=t'\) 
\(x'=x~\gamma\).
Тогда
\((x=x_0=0,~t=t_0=0)\)   \((x'=0,~t'=0)~-\) синхронизация при совпадении начал координат.
\((x=0,~t=0)\)   \((x'=0,~t'=0)~-\) событие в начале координат в момент синхронизации.
         

[Ost]

Да, я согласен. Выбор \(t_0\) произвольный.
Это следует из формул разности координат в произвольный момент времени. Например в момент времени t.
Разности координат подвижной и неподвижной системах связаны условием при x'=0:
\(x_{A}^{'}=-\frac{x_B}{\gamma }\)  (1)
Точка A - начало координат неподвижной системы К
Точка B - начало координат подвижной системы К'
Найдём после несложных преобразований
\(x_{O'O} \equiv x_{O'}\equiv x_B=(x_0-vt_0)+vt\) (2)
\(x'_{OO'} \equiv x'_{O}\equiv x'_A=-\frac{(x_0-vt_0)+vt}{\gamma } \) (3)
Как видим условие (1) выполняется при любых t₀ и t

Я выбираю \(x_0=vt_0\)
И тогда из (2) и (3) получим
\(x_{O'O} \equiv x_{O'}\equiv x_B=vt\)
\(x'_{OO'} \equiv x'_{O}\equiv x'_A=-\frac{vt}{\gamma  }\)

При t=0 координаты совпали. Можно было бы произвести синхронизацию и в этот момент времени, а не позже.
В момент синхронизации координаты при t=t₀ не совпадают.
Более того была введена ещё одна неподвижная система отсчёта К₁, время в которой не совпадает со временем первой неподвижной системы К.

Я выбираю \(x_0=vt_0\)

Да, мы можем рассматривать расстояние между системами отсчёта как следствие их относительного движения.
Однако в общем случае нет функциональной связи между \(t_0\) и \(x_0\).
Мы можем выбрать \(t_0\) так, что интервал между системами будет пространственноподобным (мнимым), т.е.
не может соответствовать системам, которые встречались по уравнению \(x=v~(t-t_0)+x_0\). 

Так как \(K_1\) покоится относительно \(K\), время в них синхронное.