Что больше?

[Иван Горин]

Какое число больше?
\(2^{3^{100}}\) или \(3^{2^{150}} \)

Кто решит первым получает сладкий пряник.

[Иван Горин]

три умножить на три сто раз - это девять умножить на девять пятьдесят раз \(2^{3^{100}}= 2^{9^{50}}\)
два умножить на два cто пятьдесят раз - это восемь умножить на восемь пятьдесят раз
\(3^{2^{150}}=3^{8^{50}} \)
Если два умножить на два девять раз, то будет \( 2^9=512 \)
Если три умножить на три восемь раз, то будет \( 3^8=6561 \)
\( 2^9<3^8 \)

Очевидно, что, если два умножить на два \( 9^{50} \) раз, а три умножить на три \( 8^{50} \) раз, то будет \( 2^{9^{50}}<3^{8^{50}} \).

Ответ: \(2^{3^{100}}<3^{2^{150}}\)

Неверно.

[Ost]

Какое число больше?
\(2^{3^{100}}\) или \(3^{2^{150}} \)

Кто решит первым получает сладкий пряник.

Можно считать, что оценка \(1.51<ln(3)/ln(2)<2\) нам известна?

[severe]

Какое число больше?
\(2^{3^{100}}\) или \(3^{2^{150}} \)

Кто решит первым получает сладкий пряник.

\(2^{3^{100}}\)    \(3^{2^{150}} \)
\( 2^{9^{50}} \)    \( 3^{8^{50}} \)
\( 2^{(9^{50})\cdot \frac{1}{9^{50}}} \)    \( 3^{(8^{50})\cdot \frac{1}{9^{50}}} \)

\( 2 \)    \( 3^{{(8/9)}^{50}}<3^{{(8/9)}^{4}}<2 \) 
\( 3^{{(8/9)}^{4}}=1,9854751252659015462309690328447 \)

Ответ \(3^{2^{150}}<2^{3^{100}} \)

[Иван Горин]

Можно считать, что оценка \(1.51<ln(3)/ln(2)<2\) нам известна?

Что за оценка?
Можно подробнее.

[Иван Горин]

\(2^{3^{100}}\)    \(3^{2^{150}} \)
\( 2^{9^{50}} \)    \( 3^{8^{50}} \)
\( 2^{(9^{50})\cdot \frac{1}{9^{50}}} \)    \( 3^{(8^{50})\cdot \frac{1}{9^{50}}} \)

\( 2 \)    \( 3^{{(8/9)}^{50}}<3^{{(8/9)}^{4}}<2 \) 
\( 3^{{(8/9)}^{4}}=1,9854751252659015462309690328447 \)

Ответ \(3^{2^{150}}<2^{3^{100}} \)

Север, ты пропустил знак сравнения v.
\(2^{3^{100}}\)  v  \(3^{2^{150}} \)
И дальше надо описать подробнее преобразования левой и правой частей сравнения.

[severe]

Север, ты пропустил знак сравнения v.
\(2^{3^{100}}\)  v  \(3^{2^{150}} \)
И дальше надо описать подробнее преобразования левой и правой частей сравнения.

\(2^{3^{100}}\)  v  \(3^{2^{150}} \)
\( 2^{3^{100}}=2^{3^{2\cdot 50}}=2^{(3^2)^{50}}=2^{9^{50}} \)  v  \( 3^{2^{150}}=3^{2^{3\cdot 50}}=3^{(2^3)^{50}}=3^{8^{50}} \)

Возводим левую и правую часть сравнения в степень \( \frac{1}{9^{50}} \)
\( 2^{(9^{50})\cdot \frac{1}{9^{50}}} \)  v   \( 3^{(8^{50})\cdot \frac{1}{9^{50}}} \)

\( 2 \)  v  \( 3^{{(8/9)}^{50}}<3^{{(8/9)}^{4}}<2 \)
 
\( 3^{{(8/9)}^{4}}=1,9854751252659015462309690328447 \)

Ответ \(3^{2^{150}}<2^{3^{100}} \)

Как решить без калькулятора не знаю.

[Ost]

Что за оценка?
Можно подробнее.

Если число \(\displaystyle \frac{ln(3)}{ln(2)}\) принадлежит интервалу \(1.51 ... 2\), то это однозначно определяет решение задачи.
Или требуется доказательство, что \(\displaystyle 1.51<\frac{ln(3)}{ln(2)}<2\) ?

[Иван Горин]

\(2^{3^{100}}\)  v  \(3^{2^{150}} \)
\( 2^{3^{100}}=2^{3^{2\cdot 50}}=2^{(3^2)^{50}}=2^{9^{50}} \)  v  \( 3^{2^{150}}=3^{2^{3\cdot 50}}=3^{(2^3)^{50}}=3^{8^{50}} \)

Возводим левую и правую часть сравнения в степень \( \frac{1}{9^{50}} \)
\( 2^{(9^{50})\cdot \frac{1}{9^{50}}} \)  v   \( 3^{(8^{50})\cdot \frac{1}{9^{50}}} \)

\( 2 \)  v  \( 3^{{(8/9)}^{50}}<3^{{(8/9)}^{4}}<2 \)
 
\( 3^{{(8/9)}^{4}}=1,9854751252659015462309690328447 \)

Ответ \(3^{2^{150}}<2^{3^{100}} \)

Как решить без калькулятора не знаю.

Решение не привожу. Может быть кто-нибудь решит без калькулятора.

[Иван Горин]

Если число \(\displaystyle \frac{ln(3)}{ln(2)}\) принадлежит интервалу \(1.51 ... 2\), то это однозначно определяет решение задачи.

ТРЕБУЕТСЯ ПРИВЕСТИ ПОЛНОЕ ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ БЕЗ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ КАЛЬКУЛЯТОРА.

[Ost]

ТРЕБУЕТСЯ ПРИВЕСТИ ПОЛНОЕ ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ БЕЗ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ КАЛЬКУЛЯТОРА.

Такие вычисления можно делать

\(\displaystyle 50~(1/8-1/64~+...)-\frac{13}{2 \cdot 2}+\frac{45}{2 \cdot 3 \cdot 3}-\frac{133}{6 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}\)

\(\displaystyle 50~(1/8-1/64~+...)-\frac{169}{48}\)

\(\displaystyle 50~(1-1/8~+...)-\frac{169}{6}\)

\(\displaystyle 300~(1-1/8~+...)-169\)

\(\displaystyle 2100-1352>0\)

?
И считать, что \(2<e<3\).

[Andrey_R]

Какое число больше?
\(2^{3^{100}}\) или \(3^{2^{150}} \)

Кто решит первым получает сладкий пряник.

Никто не хочет решать задачу, я смотрю.

\(2^{3^{100}}\)  v  \(3^{2^{150}} \)

логарифмируем:

\({3^{100}ln(2)}\)  v  \(2^{150}ln(3) \)

 \(3^{100}/2^{150} \)  v \(ln(3)/ln(2)\) 

\((3^{2}/2^{3})^{50} \)  v  \(ln(3)/ln(2)\)

   \((9/8)^{50} \) v   \(ln(3)/ln(2)\) 
т. к.
 \((9/8)^{50} \) = \((1+1/8)^{50} \) = (бином) >1+50/8>7, a
\(ln(3)/ln(2)\) < \(ln(4)/ln(2)\) < 2, то

 \((9/8)^{50} \) > 7 > 2 > \(ln(3)/ln(2)\)  , а, значит,

\(2^{3^{100}}\)  >  \(3^{2^{150}} \)

[Иван Горин]

Никто не хочет решать задачу, я смотрю.

\(2^{3^{100}}\)  v  \(3^{2^{150}} \)

логарифмируем:

\({3^{100}ln(2)}\)  v  \(2^{150}ln(3) \)

 \(3^{100}/2^{150} \)  v \(ln(3)/ln(2)\) 

\((3^{2}/2^{3})^{50} \)  v  \(ln(3)/ln(2)\)

   \((9/8)^{50} \) v   \(ln(3)/ln(2)\) 
т. к.
 \((9/8)^{50} \) = \((1+1/8)^{50} \) = (бином) >1+50/8>7, a
\(ln(3)/ln(2)\) < \(ln(4)/ln(2)\) < 2, то

 \((9/8)^{50} \) > 7 > 2 > \(ln(3)/ln(2)\)  , а, значит,

\(2^{3^{100}}\)  >  \(3^{2^{150}} \)

Всё верно.
За исключением небольшой описки \(\frac{Ln4}{Ln2}=\frac{2Ln2}{Ln2}= 2\)
Значит \(\frac{Ln3}{Ln2} \) < 2

Описку не учитываю и Андрей получает сладкий пряник, то есть плюс в карму.

Есть ещё один способ, проще.
Его начал Север.

[Andrey_R]

Есть ещё один способ, проще.
Его начал Север.

Ну можно вот так продолжить:

\(2^{9^{50}}\)  v  \(3^{8^{50}} \)

\(2^{(9/8)^{50}8^{50}}\)  v  \(3^{8^{50}} \)

\(2^{(9/8)^{50}}\)  v  \(3 \)

\(2^{(9/8)^{50}}\) >  \(2^{(1+1/8)^{50}}\) = \(2^{бином}\)  > \(2^{(1+50/8)}\) >  \(2^{7}\) = 128 >  \(3 \), отсюда

\(2^{9^{50}}\)  >  \(3^{8^{50}} \)

в самом деле, логарифмы не пригодились

[Иван Горин]

Ну можно вот так продолжить:

\(2^{9^{50}}\)  v  \(3^{8^{50}} \)

\(2^{(9/8)^{50}8^{50}}\)  v  \(3^{8^{50}} \)

\(2^{(9/8)^{50}}\)  v  \(3 \)

\(2^{(9/8)^{50}}\) >  \(2^{(1+1/8)^{50}}\) = \(2^{бином}\)  > \(2^{(1+50/8)}\) >  \(2^{7}\) = 128 >  \(3 \), отсюда

\(2^{9^{50}}\)  >  \(3^{8^{50}} \)

в самом деле, логарифмы не пригодились

Всё верно.

Север немного не догадался.
Надо было извлечь корень \(8^{50} \)из обеих частей сравнения и знать неравенство Бернули или бином Ньютона.
\(2^{9^{50}}\)  v  \(3^{8^{50}} \)
\((2^{9^{50}})^{1/8^{50}}\)  v  \(3 \)
\(2^{\frac{9^{50}}{8^{50}}}\)  v  \(3 \)