Решить уравнение

[Иван Горин]

Найти x и y
\(16^{x^2+y}+16^{x+y^2}=1\)

[Andrey_R]

Найти x и y
\(16^{x^2+y}+16^{x+y^2}=1\)

Тут решений можно разных наделать, но вот, мне кажется, простой и понятный вариант:
Пусть на время для упрощения \(x^2+y=u\), \(y^2+x=v\). Тогда

\(16^{x^2+y}+16^{x+y^2}=16^{u}+16^{v}=16^\frac{u+v}{2}(16^\frac{u-v}{2}+16^\frac{v-u}{2})=\)

\(=2^{2(u+v)}(2^{2(u-v)}+2^{2(v-u)})=2^{2(u+v)}2ch(2ln2(u-v))=\)

\(=2^{2(x^2+y^2+x+y)}2ch(2ln2(u-v))=\)

\(=2^{2((x+1/2)^2+(y+1/2)^2-1/2)}2ch(2ln2(u-v))\)

\(2^{2((x+1/2)^2+(y+1/2)^2-1/2)}\) принимает минимальное значение при x=y=-1/2 и равно 1/2

a 2ch(2ln2(u-v))  - при u=v, (т.е. x=y или x+y=1) и равно 2

Поэтому всё выражение  \(=2^{2((x+1/2)^2+(y+1/2)^2-1/2)}2ch(2ln2(u-v))\) принимает минимальное значение, равное как раз 1, при x=y=-1/2

Ответ: x=y=-1/2

[Иван Горин]

Тут решений можно разных наделать, но вот, мне кажется, простой и понятный вариант:
Пусть на время для упрощения \(x^2+y=u\), \(y^2+x=v\). Тогда

\(16^{x^2+y}+16^{x+y^2}=16^{u}+16^{v}=16^\frac{u+v}{2}(16^\frac{u-v}{2}+16^\frac{v-u}{2})=\)

\(=2^{2(u+v)}(2^{2(u-v)}+2^{2(v-u)})=2^{2(u+v)}2ch(2ln2(u-v))=\)

\(=2^{2(x^2+y^2+x+y)}2ch(2ln2(u-v))=\)

\(=2^{2((x+1/2)^2+(y+1/2)^2-1/2)}2ch(2ln2(u-v))\)

\(2^{2((x+1/2)^2+(y+1/2)^2-1/2)}\) принимает минимальное значение при x=y=-1/2 и равно 1/2

a 2ch(2ln2(u-v))  - при u=v, (т.е. x=y или x+y=1) и равно 2

Поэтому всё выражение  \(=2^{2((x+1/2)^2+(y+1/2)^2-1/2)}2ch(2ln2(u-v))\) принимает минимальное значение, равное как раз 1, при x=y=-1/2

Ответ: x=y=-1/2

Ответ правильный, но можно гораздо проще, в  три - четыре строчки.

[Иван Горин]

Это американская задача. Её смогли решить только 1 % людей во всём мире.
Приведу начало моего метода решения.
\(16^{x+y^2}+16^{x^2+y}=1\)
\(2^{4(x+y^2)}+2^{4(x^2+y)}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\)
\(u=4(x+y^2)\)
\(v=4(x^2+y)\)

\(2^u-\frac{1}{2} =-2^v+\frac{1}{2}\)
\(f_{1}(u)=2^u-\frac{1}{2}\)
\(f_{2}(v)=-2^v+\frac{1}{2}\)
Эти две показательные функции пересекаются только в одной точке
\(f_{1}(u)=f_{2}(v)=0\), \(u=v=-1\)

Для нахождения x и y необходимо решить систему уравнений
\(4(x+y^2)=-1\)
\(4(x^2+y)=-1\)

[Andrey_R]

Для нахождения x и y необходимо решить систему уравнений
\(4(x+y^2)=-1\)
\(4(x^2+y)=-1\)

По мне так кажется, что и простота там и здесь, и количество строчек примерно одинаковые. Или есть способ, где действительно совсем три строчки?

[Иван Горин]

По мне так кажется, что и простота там и здесь, и количество строчек примерно одинаковые. Или есть способ, где действительно совсем три строчки?

Есть в 5 строчек.
\(16^{x^2+y}+16^{x+y^2}=1\)
\(u-\frac{1}{2} =-(v-\frac{1}{2})=0\)
\(u=v=\frac{1}{2}\)
\(x^2+y= x+y^2=-\frac{1}{4}\)
\(x=y=-\frac{1}{2}\)

[Andrey_R]

Есть в 5 строчек.
\(16^{x^2+y}+16^{x+y^2}=1\)
\(u-\frac{1}{2} =-(v-\frac{1}{2})=0\)
\(u=v=\frac{1}{2}\)
\(x^2+y= x+y^2=-\frac{1}{4}\)
\(x=y=-\frac{1}{2}\)

Решения я здесь не вижу.
Как минимум, не сказано, чему равны u и v и откуда берутся равенства из второй строчки.
Если всё объяснять, то строчек получится примерно столько же. Да и решения на самом деле все одинаковые с точность. до мелочей.

[Иван Горин]

Решения я здесь не вижу.
Как минимум, не сказано, чему равны u и v и откуда берутся равенства из второй строчки.
Если всё объяснять, то строчек получится примерно столько же. Да и решения на самом деле все одинаковые с точность. до мелочей.

Хорошо. Распишу подробнее. Строчек получится больше.
\(16^{x^2+y}+16^{x+y^2}=1\)
\(16^{x^2+y}=u\)
\(16^{x+y^2}=v\)

\(u-\frac{1}{2} =-(v-\frac{1}{2})\)
Эти две прямые линии пересекаюстя при ординате равной нулю.
\(u-\frac{1}{2} =0\)
\(-(v-\frac{1}{2})=0\)

\(u=v=\frac{1}{2}\)
\(16^{x^2+y}=\frac{1}{2}\)
\(16^{x+y^2}=\frac{1}{2}\)
\(2^{4(x^2+y)}=\frac{1}{2}\)
\(2^{4(x+y^2)}=\frac{1}{2}\)
После логарифмирования по основанию 2, получим
\(x^2+y=-\frac{1}{4}\) (1)
\( x+y^2=-\frac{1}{4}\) (2)
из (1) вычтем (2)
\(x^2-y^2=x-y\)
получим 2 уравнения
1) \(x=y\)
2) \(x=1-y\)
1) подставим в (2)
\( y+y^2+\frac{1}{4}=0\)
\( y^2+y+\frac{1}{4}=0\)
\(y=\frac{-1\pm \sqrt{1-\frac{4}{4}}}{2}=-\frac{1}{2} \)
\(x=-\frac{1}{2} \)

Второе решение
2) подставим в (2)
\( 1-y+y^2+\frac{1}{4}=0\)
\( y^2-y+1+\frac{1}{4}=0\)
\( y^2-y+\frac{5}{4}=0\)
\(y=\frac{1\pm \sqrt{1-\frac{20}{4}}}{2}=\frac{1\pm 2i}{2}=\frac{1}{2}\pm i\)
\(x=1-\frac{1\pm 2i}{2}=\frac{1\mp  2i}{2}=\frac{1}{2}\mp i\)
Это комплексное решение также удовлетворяет исходному уравнению.

Получилось много строчек. Зато подробно и без гиперболических функций.

[severe]

Хорошо. Распишу подробнее. Строчек получится больше.
\(16^{x^2+y}+16^{x+y^2}=1\)
\(16^{x^2+y}=u\)
\(16^{x+y^2}=v\)

\(u-\frac{1}{2} =-(v-\frac{1}{2})\)
Эти две прямые линии пересекаюстя при ординате равной нулю.
\(u-\frac{1}{2} =0\)
\(-(v-\frac{1}{2})=0\)

\(u=v=\frac{1}{2}\)
\(16^{x^2+y}=\frac{1}{2}\)
\(16^{x+y^2}=\frac{1}{2}\)
\(2^{4(x^2+y)}=\frac{1}{2}\)
\(2^{4(x+y^2)}=\frac{1}{2}\)
После логарифмирования по основанию 2, получим
\(x^2+y=-\frac{1}{4}\) (1)
\( x+y^2=-\frac{1}{4}\) (2)
из (1) вычтем (2)
\(x^2-y^2=x-y\)
получим 2 уравнения
1) \(x=y\)
2) \(x=1-y\)
1) подставим в (2)
\( y+y^2+\frac{1}{4}=0\)
\( y^2+y+\frac{1}{4}=0\)
\(y=\frac{-1\pm \sqrt{1-\frac{4}{4}}}{2}=-\frac{1}{2} \)
\(x=-\frac{1}{2} \)

Второе решение
2) подставим в (2)
\( 1-y+y^2+\frac{1}{4}=0\)
\( y^2-y+1+\frac{1}{4}=0\)
\( y^2-y+\frac{5}{4}=0\)
\(y=\frac{1\pm \sqrt{1-\frac{20}{4}}}{2}=\frac{1\pm 2i}{2}=\frac{1}{2}\pm i\)
\(x=1-\frac{1\pm 2i}{2}=\frac{1\mp  2i}{2}=\frac{1}{2}\mp i\)
Это комплексное решение также удовлетворяет исходному уравнению.

Получилось много строчек. Зато подробно и без гиперболических функций.

Не вижу причины, почему, например, не может быть \( 16^{x^2+y}=1/16 \), \( 16^{x+y^2}=15/16 \).

Система уравнений
\( x^2+y=-1 \)
\( x+y^2=ln15/ln16-1 \)
не имеет решения?

[Andrey_R]

Хорошо. Распишу подробнее. Строчек получится больше.
\(16^{x^2+y}+16^{x+y^2}=1\)
\(16^{x^2+y}=u\)
\(16^{x+y^2}=v\)

\(u-\frac{1}{2} =-(v-\frac{1}{2})\)
Эти две прямые линии пересекаюстя при ординате равной нулю.
\(u-\frac{1}{2} =0\)
\(-(v-\frac{1}{2})=0\)

\(u=v=\frac{1}{2}\)
\(16^{x^2+y}=\frac{1}{2}\)
\(16^{x+y^2}=\frac{1}{2}\)
\(2^{4(x^2+y)}=\frac{1}{2}\)
\(2^{4(x+y^2)}=\frac{1}{2}\)
После логарифмирования по основанию 2, получим
\(x^2+y=-\frac{1}{4}\) (1)
\( x+y^2=-\frac{1}{4}\) (2)
из (1) вычтем (2)
\(x^2-y^2=x-y\)
получим 2 уравнения
1) \(x=y\)
2) \(x=1-y\)
1) подставим в (2)
\( y+y^2+\frac{1}{4}=0\)
\( y^2+y+\frac{1}{4}=0\)
\(y=\frac{-1\pm \sqrt{1-\frac{4}{4}}}{2}=-\frac{1}{2} \)
\(x=-\frac{1}{2} \)

Второе решение
2) подставим в (2)
\( 1-y+y^2+\frac{1}{4}=0\)
\( y^2-y+1+\frac{1}{4}=0\)
\( y^2-y+\frac{5}{4}=0\)
\(y=\frac{1\pm \sqrt{1-\frac{20}{4}}}{2}=\frac{1\pm 2i}{2}=\frac{1}{2}\pm i\)
\(x=1-\frac{1\pm 2i}{2}=\frac{1\mp  2i}{2}=\frac{1}{2}\mp i\)
Это комплексное решение также удовлетворяет исходному уравнению.

Получилось много строчек. Зато подробно и без гиперболических функций.

Ну я своё решение тоже, кажется, очень подробно описал, и строчек получилось меньше. И гиперболический косинус там не нужен, вместо этого можно просто знать или показать, что \( a^x+a^{-x}\) при любом a даёт минимум 2 при x=0. Просто 2*ch(x) - уже известная функция с таким свойством, a \( a^x+a^{-x}=2ch(xln(a))\) 
Мне моё кажется проще. В любом случае это дела вкуса.   

[Иван Горин]

Не вижу причины, почему, например, не может быть \( 16^{x^2+y}=1/16 \), \( 16^{x+y^2}=15/16 \).

Система уравнений
\( x^2+y=-1 \)
\( x+y^2=ln15/ln16-1 \)
не имеет решения?

Резонный вопрос.
В этой системе я нашёл два действительных решения
x1=-0,175, y1=-0,47
x2=-1,286, y2=1,15378
То есть исходное уравнение имеет бесконечное множество решений для вещественных чисел.
А для рациональных чисел?
В задании было указание \(x,y\in \Re \)
Я это понимаю как множество действительных чисел (вещественных), а не рациональных  (Q)

Если u=1/4, v=3/4
имеется также приблизительные решения
x1=-0,458, y1=-0,29
x2=-1,183, y2=0,9

Странные задачи у американцев!
Может быть у них R - множество рациональных чисел. Тогда имеется только одно действительное решение x=y=-1/2.
В отдельном посте приведу ещё одну американскую задачу.

Север, проверь мои решения, подставив их в исходное уравнение.
При решении уравнений четвёртой степени, немудрено сделать ошибку.

[severe]

Север, проверь мои решения, подставив их в исходное уравнение.
При решении уравнений четвёртой степени, немудрено сделать ошибку.

Проверил, не подходят.
Как доказать, что \( 16^{x^2+y}+16^{x+y^2}=1=>x=y\in \Re \)?

[Иван Горин]

Проверил, не подходят.
Как доказать, что \( 16^{x^2+y}+16^{x+y^2}=1=>x=y\in \Re \)?

Да, я тоже проверил на калькуляторе. Мои решения не подходят.
Где-то я сделал ошибку при решении уравнений четвёртой степени.
Но в задании было чётко сказано , что решения принадлежат к множеству вещественных чисел - R.
Завтра проверю свои решения уравнений четвёртой степени.

[severe]

Да, я тоже проверил на калькуляторе. Мои решения не подходят.
Где-то я сделал ошибку при решении уравнений четвёртой степени.
Но в задании было чётко сказано , что решения принадлежат к множеству вещественных чисел - R.
Завтра проверю свои решения уравнений четвёртой степени.

\( 16^{x^2+y}+16^{x+y^2}=1 \)
\( u=x^2+y \)
\( v=x+y^2 \)
\( 16^u+16^v=1 \)

Умножим правую и левую части уравнения на \( 16^u-16^v \)
\( (16^u+16^v)(16^u-16^v)=16^u-16^v \)
\( 16^{2u}-16^{2v}=16^u-16^v \)
\( 16^{2u}-16^u=16^{2v}-16^v \)
\( 16^u(16^u-1)=16^v(16^v-1) \)
\( u=v \)
\( x^2+y=x+y^2 \)
\( x^2-x=y^2-y \)
\( x=y \)

\( 16^{x^2+x}+16^{x+x^2}=1 \)
\( 16^{x^2+x}=1/2 \)
\( x^2+x=log_{16}(1/2)=-1/4 \)
\( x^2+x+1/4=0 \)

\( x=-1/2, y=-1/2 \)

[Иван Горин]

\( 16^{x^2+y}+16^{x+y^2}=1 \)
\( u=x^2+y \)
\( v=x+y^2 \)
\( 16^u+16^v=1 \)

Умножим правую и левую части уравнения на \( 16^u-16^v \)
\( (16^u+16^v)(16^u-16^v)=16^u-16^v \)
\( 16^{2u}-16^{2v}=16^u-16^v \)
\( 16^{2u}-16^u=16^{2v}-16^v \)
\( 16^u(16^u-1)=16^v(16^v-1) \)
\( u=v \)
\( x^2+y=x+y^2 \)
\( x^2-x=y^2-y \)
\( x=y \)

\( 16^{x^2+x}+16^{x+x^2}=1 \)
\( 16^{x^2+x}=1/2 \)
\( x^2+x=log_{16}(1/2)=-1/4 \)
\( x^2+x+1/4=0 \)

\( x=-1/2, y=-1/2 \)

Отлично, Север.
Здесь отчётливо видно, что u=v и x=y.

[Иван Горин]

Да, я тоже проверил на калькуляторе. Мои решения не подходят.
Где-то я сделал ошибку при решении уравнений четвёртой степени.
Но в задании было чётко сказано , что решения принадлежат к множеству вещественных чисел - R.
Завтра проверю свои решения уравнений четвёртой степени.

Нашёл ошибку.
Действительных корней нет.

[Иван Горин]

\( 16^{x^2+y}+16^{x+y^2}=1 \)
\( u=x^2+y \)
\( v=x+y^2 \)
\( 16^u+16^v=1 \)

Умножим правую и левую части уравнения на \( 16^u-16^v \)
\( (16^u+16^v)(16^u-16^v)=16^u-16^v \)
\( 16^{2u}-16^{2v}=16^u-16^v \)
\( 16^{2u}-16^u=16^{2v}-16^v \)
\( 16^u(16^u-1)=16^v(16^v-1) \)
\( u=v \)

НАДО ДОКАЗАТЬ, что это единственное действительное решение.
\( 16^u=-16^v+1 \) то есть доказать, что этот вариант не приводит к действительным решениям при  u не равном v.
Я проверил для двух примеров. Корней действительных нет. Но надо доказать математически.

[severe]

НАДО ДОКАЗАТЬ, что это единственное действительное решение.
\( 16^u=-16^v+1 \) то есть доказать, что этот вариант не приводит к действительным решениям при  u не равном v.

Чтобы доказать, что \( u \) может быть не равно \( v \), надо доказать, что уравнение
\( 16^u(16^u-1)=16^v(16^v-1) \) выполняется не только при \( u=v \), но и при \( u \) не равном \( v \).

Вы же доказали, что уравнение \( x(x-1)=y(y-1) \) выполняется не только при \( x=y \), но и при \( x=1-y \).

\(x^2-y^2=x-y\)
получим 2 уравнения
1) \(x=y\)
2) \(x=1-y\)

[Иван Горин]

Чтобы доказать, что \( u \) может быть не равно \( v \), надо доказать, что уравнение
\( 16^u(16^u-1)=16^v(16^v-1) \) выполняется не только при \( u=v \), но и при \( u \) не равном \( v \).

Имеется множество примеров.
\(u=-\frac{1}{2}\)
\(v=-\frac{1}{2} +\frac{log_{2}3}{4}\)
\(16^u=\frac{1}{4} \)
\(16^v=\frac{3}{4}\)
 
\(16^u(16^u-1)=\frac{1}{4}(\frac{1}{4}-1)=-\frac{1}{4}* \frac{3}{4}\)
\(16^v(16^v-1)=\frac{3}{4}(\frac{3}{4}-1)=-\frac{3}{4}* \frac{1}{4}\)

[Andrey_R]

Проверил, не подходят.
Как доказать, что \( 16^{x^2+y}+16^{x+y^2}=1=>x=y\in \Re \)?

Посмотрите в мой вариант решения. Там есть доказательство этого и его единственности.