Простое показательное уравнение

[Иван Горин]

Решить показательное уравнение

\(5^{x}-7^{x}=\sqrt{35^{x}-49^{x}}\)

[severe]

Решить показательное уравнение

\(5^{x}-7^{x}=\sqrt{35^{x}-49^{x}}\)

Ответ: \( x=0 \)

[Иван Горин]

Ответ: \( x=0 \)

Есть и другие корни!

[severe]

Решить показательное уравнение

\(5^{x}-7^{x}=\sqrt{35^{x}-49^{x}}\)

\( 5^{2x}-2\cdot 35^x+7^{2x}=35^{x}-49^{x} \)

Разделим обе части уравнения на \( 49^{x} \)

\( (\frac{5}{7})^{2x}-2\cdot(\frac{5}{7})^x+1=(\frac{5}{7})^x-1 \)

\( (\frac{5}{7})^{2x}-3\cdot (\frac{5}{7})^x+2=0 \)

\( y=(\frac{5}{7})^x \)

\( y^2-3y+2=0 \)

\( (y-1)(y-2)=0 \)

\( (\frac{5}{7})^x=1=>x_1=0 \)
\( (\frac{5}{7})^x=2=>x_2=log_{\frac{5}{7}}2=ln(2)/ln(5/7) \)

[Иван Горин]

\( 5^{2x}-2\cdot 35^x+7^{2x}=35^{x}-49^{x} \)

Разделим обе части уравнения на \( 49^{x} \)

\( (\frac{5}{7})^{2x}-2\cdot(\frac{5}{7})^x+1=(\frac{5}{7})^x-1 \)

\( (\frac{5}{7})^{2x}-3\cdot (\frac{5}{7})^x+2=0 \)

\( y=(\frac{5}{7})^x \)

\( y^2-3y+2=0 \)

\( (y-1)(y-2)=0 \)

\( (\frac{5}{7})^x=1=>x_1=0 \)
\( (\frac{5}{7})^x=2=>x_2=log_{\frac{5}{7}}2=ln(2)/ln(5/7) \)

И чему приблизительно равен второй корень?

[severe]

И чему приблизительно равен второй корень?

\( x_2=\frac{ln2}{ln5-ln7}\approx\frac{0,693}{1,609-1,946}=-2,056 \)

[Иван Горин]

\( x_2=\frac{ln2}{ln5-ln7}\approx\frac{0,693}{1,609-1,946}=-2,056 \)

Верно. Молодец, Север! +