Задача по геометрии у американских восьмиклассников

[Иван Горин]

Дан треугольник с одной из сторон равной 10.
Из противоположного угла, который равен 90°, опущен перпендикуляр на эту сторону равный 6.
Найти площадь треугольника.
Все американские школьники решили эту задачу на отлично. А трое русских школьников-эмигрантов отказались решать эту задачу и получили по колу.

[severe]

Дан треугольник с одной из сторон равной 10.
Из противоположного угла опущен перпендикуляр на эту сторону равный 6.
Найти площадь треугольника.
Все американские школьники решили эту задачу на отлично. А трое русских школьников-эмигрантов отказались решать эту задачу и получили по колу.

Обозначим перпендикуляр АD=6, а сторону, на которую он опущен BC=10.
Тогда \( S=\frac{1}{2}AD\cdot BD+\frac{1}{2}AD\cdot DC=\frac{1}{2}AD(BD+DC)=\frac{1}{2}AD\cdot BC=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 10=30 \)

[Иван Горин]

Обозначим перпендикуляр АD=6, а сторону, на которую он опущен BC=10.
Тогда \( S=\frac{1}{2}AD\cdot BD+\frac{1}{2}AD\cdot DC=\frac{1}{2}AD(BD+DC)=\frac{1}{2}AD\cdot BC=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 10=30 \)

Именно так и решили американские школьники эту задачу. А русские школьники над ними смеялись.
Почему русские школьники над ними смеялись?

[Иван Горин]

Я забыл сказать, что угол из которого опущен перпендикуляр - прямой.
В исходном посте исправил.

[severe]

Я забыл сказать, что угол из которого опущен перпендикуляр - прямой.
В исходном посте исправил.

Не существует прямоугольного треугольника с гипотенузой 10 и высотой 6. Максимальная высота 5 при гипотенузе 10.

[Иван Горемыкин]

Дан треугольник с одной из сторон равной 10.
Из противоположного угла, который равен 90°, опущен перпендикуляр на эту сторону равный 6.
Найти площадь треугольника.
Все американские школьники решили эту задачу на отлично. А трое русских школьников-эмигрантов отказались решать эту задачу и получили по колу.

Перечитывал несколько раз и не понял.
"Дан треугольник с одной из сторон равной 10." - это понятно, а вот это - "Из противоположного угла, который равен 90°," КАК?
Если угол в 90 гр. лежит напротив линии со стороной в 10, то эта сторона может быть ТОЛЬКО гипотенузой

[Иван Горин]

Перечитывал несколько раз и не понял.
"Дан треугольник с одной из сторон равной 10." - это понятно, а вот это - "Из противоположного угла, который равен 90°," КАК?
Если угол в 90 гр. лежит напротив линии со стороной в 10, то эта сторона может быть ТОЛЬКО гипотенузой

А гипотенуза это не сторона?

[Иван Горин]

Не существует прямоугольного треугольника с гипотенузой 10 и высотой 6. Максимальная высота 5 при гипотенузе 10.

Верно. Вот почему русские школьники смеялись над американцами.
Американцы нашли площадь несуществующего треугольника.
Но надо доказать, что максимальная высота такого треугольника равна 5.
Способов доказательства два.

[severe]

Верно. Вот почему русские школьники смеялись над американцами.
Американцы нашли площадь несуществующего треугольника.
Но надо доказать, что максимальная высота такого треугольника равна 5.
Способов доказательства два.

Первый способ - вписать прямоугольный треугольник в окружность.
Второй способ - для прямоугольного треугольника \( h=(\sin\alpha\cos\alpha)\cdot c \), которая имеет максимум при \( \alpha=\pi/4 \)

[Иван Горин]

Первый способ - вписать прямоугольный треугольник в окружность.
Второй способ - для прямоугольного треугольника \( h=(\sin\alpha\cos\alpha)\cdot c \), которая имеет максимум при \( \alpha=\pi/4 \)

1 способ. Вписали и что дальше?
2 способ. Откуда такая формула и что за угол альфа?

[severe]

1 способ. Вписали и что дальше?

И увидели, что максимальная высота совпадает с радиусом, а гипотенуза с диаметром.

2 способ. Откуда такая формула и что за угол альфа?

Для прямоугольного треугольника \( S=\frac {1}{2}hc=\frac {1}{2}ab \), где \( h \) - высота, \( c \) - гипотенуза.
\( hc=ab \)
\( a=h/\sin\alpha \)
\( b=h/\sin\beta=h/\sin(\pi/2-\alpha)=h/\cos \alpha \)
\( hc=\frac{h^2}{\sin \alpha\cos \alpha} \)
\( h=(\sin \alpha\cos \alpha)\cdot c \)

\( \alpha \) - угол между катетом \( a \) и гипотенузой \( c \).

[Иван Горин]

И увидели, что максимальная высота совпадает с радиусом, а гипотенуза с диаметром.Для прямоугольного треугольника \( S=\frac {1}{2}hc=\frac {1}{2}ab \), где \( h \) - высота, \( c \) - гипотенуза.
\( hc=ab \)
\( a=h/\sin\alpha \)
\( b=h/\sin\beta=h/\sin(\pi/2-\alpha)=h/\cos \alpha \)
\( hc=\frac{h^2}{\sin \alpha\cos \alpha} \)
\( h=(\sin \alpha\cos \alpha)\cdot c \)

\( \alpha \) - угол между катетом \( a \) и гипотенузой \( c \).

Всё верно.
Во втором способе можно использовать один катет.
\(a=c\cos \alpha\)
\(h=a \sin \alpha=c\cos \alpha \sin \alpha=\frac{c}{2}\sin2\alpha \)
\(\frac{dh}{d\alpha } =c \cos 2 \alpha =0\)
\(\alpha =\frac{\pi }{4} \)
\(h{max} =\frac{c}{2}\)