Решить уравнение 9^x+15^x=25^x

[Иван Горин]

Решить уравнение
\(9^x+15^x=25^x\)
и проверить решение.

[Andrey_R]

Решить уравнение
\(9^x+15^x=25^x\)
и проверить решение.

Пусть остаётся, но у Севера короче

\(9^x+15^x=25^x\)
\(5^{2x}-3^{2x}=15^x\)
Замена
\(5^{x}=u, 3^{x}=v\)
\(u^2-uv-v^2=0\)
\((u-v/2)^2-(5/4)v^2=0\)
\((u-v(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}))(u-v(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}))=0\)

Т.к. u и v не могут иметь разные знаки, берём только первую скобку.

\(5^{x}=(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2})3^{x}\)
\(x\ln{5}=\ln{(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2})}+x\ln{3}\)

\(x=\frac{\ln{(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2})}}{\ln{5}-\ln{3}}\)

[severe]

Решить уравнение
\(9^x+15^x=25^x\)
и проверить решение.

Разделим левую и правую часть на \( 15^x \).
\( {(\frac{9}{15})}^x+1={(\frac{25}{15})}^x \)
\( {(\frac{3}{5})}^x+1={(\frac{5}{3})}^x \)
\( {(\frac{3}{5})}^x+1=\frac{1}{{(\frac{3}{5}})^x} \)

\( y={(\frac{3}{5})}^x>0 \)

\( y+1=\frac{1}{y} \)
\( y^2+y=1 \)
\( y^2+y-1=0 \)
\( y_1=\frac{\sqrt 5 -1}{2}>0 \)
\( y_2=\frac{-\sqrt 5 -1}{2}<0 \) отброшен

\( {(\frac{3}{5})}^x=\frac{\sqrt 5 -1}{2} \)
\( {(\frac{3}{5})}^x\approx 0,618 \)
\( x\approx \frac{ln 0,618}{ln 3 - ln5}\approx\frac{-0,481}{1,099-1,609}=\frac{-0,481}{-0,510}=0,943 \)

\( 9^{0,943}=7,941 \)
\( 15^{0,943}=12,854 \)
\( 25^{0,943}=20,809 \)
\( 7,941+12,854=20,795 \)

[Andrey_R]

Разделим левую и правую часть на \( 15^x \).
\( {(\frac{9}{15})}^x+1={(\frac{25}{15})}^x \)
\( {(\frac{3}{5})}^x+1={(\frac{5}{3})}^x \)
\( {(\frac{3}{5})}^x+1=\frac{1}{{(\frac{3}{5}})^x} \)

\( y={(\frac{3}{5})}^x>0 \)

\( y+1=\frac{1}{y} \)
\( y^2+y=1 \)
\( y^2+y-1=0 \)
\( y_1=\frac{\sqrt 5 -1}{2}>0 \)
\( y_2=\frac{-\sqrt 5 -1}{2}<0 \) отброшен

\( {(\frac{3}{5})}^x=\frac{\sqrt 5 -1}{2} \)
\( {(\frac{3}{5})}^x\approx 0,618 \)
\( x\approx \frac{ln 0,618}{ln 3 - ln5}\approx\frac{-0,481}{1,099-1,609}=\frac{-0,481}{-0,510}=0,943 \)

\( 9^{0,943}=7,941 \)
\( 15^{0,943}=12,854 \)
\( 25^{0,943}=20,809 \)
\( 7,941+12,854=20,795 \)

Хорошее решение. И простое.

[severe]

\(x=\frac{\ln{(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2})}}{\ln{5}-\ln{3}}\)

Не могу понять, почему \( \frac{\ln{(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2})}}{\ln{5}-\ln{3}}=\frac{\ln{(\frac{\sqrt{5}}{2}-\frac{1}{2})}}{\ln{3}-\ln{5}} \).
Из какого свойства логарифмов это следует?
Я проверил, 0,943 и слева, и справа.

А, понял.
\( \frac{\sqrt 5+1}{2}=\frac{2}{\sqrt 5-1} \)
\( (\sqrt 5+1)(\sqrt 5-1)=2\cdot 2 \)
\( 5-1=4 \)

[Иван Горин]

\((u-v/2)^2-(5/2)v^2=0\)

Андрей, здесь у тебя описка. Должно быть 5/4.

Решение правильное.
Осталось сделать проверку в общем виде, не в цифрах.

[Andrey_R]

Андрей, здесь у тебя описка. Должно быть 5/4.

Решение правильное.
Осталось сделать проверку в общем виде, не в цифрах.

Это не сложно.
для укорочения можно обозначить

\(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}=\psi\), тогда \(x=\frac{\ln{\psi}}{\ln{5}-\ln{3}}\)

имеем:
\(e^{2x\ln{3}}+e^{x(\ln{3}+\ln{5})}=e^{2x\ln{5}}\)

делим на \(e^{x(\ln{3}+\ln{5})}\):

\(e^{x(\ln{3}-\ln{5})}+1=e^{x(\ln{5}-\ln{3})}\)
\(e^{-\ln{\psi}}+1=e^{\ln{\psi}}\)
\(1/\psi+1=\psi\)

\(\frac{2}{\sqrt 5+1}+1=\frac{\sqrt 5+1}{2}\)
\(\frac{2(\sqrt 5-1)}{(\sqrt 5+1)(\sqrt 5-1)}+1=\frac{\sqrt 5+1}{2}\)
\(\frac{\sqrt 5-1}{2}+1=\frac{\sqrt 5+1}{2}\)
\(\frac{\sqrt 5+1}{2}=\frac{\sqrt 5+1}{2}\)

[Иван Горин]

Это не сложно.
для укорочения можно обозначить

\(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}=\psi\), тогда \(x=\frac{\ln{\psi}}{\ln{5}-\ln{3}}\)

имеем:
\(e^{2x\ln{3}}+e^{x(\ln{3}+\ln{5})}=e^{2x\ln{5}}\)

делим на \(e^{x(\ln{3}+\ln{5})}\):

\(e^{x(\ln{3}-\ln{5})}+1=e^{x(\ln{5}-\ln{3})}\)
\(e^{-\ln{\psi}}+1=e^{\ln{\psi}}\)
\(1/\psi+1=\psi\)

\(\frac{2}{\sqrt 5+1}+1=\frac{\sqrt 5+1}{2}\)
\(\frac{2(\sqrt 5-1)}{(\sqrt 5+1)(\sqrt 5-1)}+1=\frac{\sqrt 5+1}{2}\)
\(\frac{\sqrt 5-1}{2}+1=\frac{\sqrt 5+1}{2}\)
\(\frac{\sqrt 5+1}{2}=\frac{\sqrt 5+1}{2}\)

Отлично!