\(\displaystyle \frac{\pi}{180}\cdot 18^\circ=\frac{\pi}{10}\).
\(\displaystyle cos\left(5 \cdot \frac{\pi}{10} \right)=0\).
\(cos(2~\alpha+3~\alpha)=cos(2~\alpha)~cos(3~\alpha)-sin(2~\alpha)~sin(3~\alpha)\).
...
Получается уравнение \(16~sin(\alpha)^4-12~sin(\alpha)^2+1=0\).
\(16~x^4-12~x^2+1=0\).
Из четырёх корней два не подходят, так как меньше нуля.
Выбираем из \(\displaystyle \frac{\sqrt{5}-1}{4},\frac{\sqrt{5}+1}{4}\).
\(sin(\pi/6)=1/2\) и \(\displaystyle \frac{\sqrt{5}+1}{4}> 1/2\).
Тогда \(\displaystyle sin(\pi/10)=\frac{\sqrt{5}-1}{4}\).
Всё верно.
Имеется ещё один из вариантов решения.
Найти \(sin \alpha\)
\(\alpha =18°\)
\(5\alpha =90°\)
\(sin 2\alpha=cos 3\alpha\)
\(2sin \alpha \, cos \alpha=cos^3 \alpha-3 cos \alpha \,sin^2 \alpha \)
Разделим обе части на \(cos \alpha\)
\(2sin \alpha =cos^2 \alpha-3 \,sin^2 \alpha \)
\(2sin \alpha =1-sin^2 \alpha-3 \,sin^2 \alpha \)
\(sin \alpha =x \)
\(4x^2+2x-1=0\)
\(\displaystyle x=\frac{-2\pm \sqrt{4+16}}{8}=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{4}\)
\(\displaystyle x_{1} =\frac{\sqrt{5}-1}{4}\)
\(\displaystyle x_{2} =\frac{-1- \sqrt{5}}{4}\) корень отбрасываем так как \(sin\,18°>0\)
Ответ: \(\displaystyle sin\,18°=\frac{\sqrt{5}-1}{4}\)
