Решить уравнение (x-2)^6+(x-4)^6=64

[Иван Горин]

Найти корни уравнения шестой степени:
\((x-2)^6+(x-4)^6=64\)

[Ost]

Найти корни уравнения шестой степени:
\((x-2)^6+(x-4)^6=64\)

Делаем замену \(x=y+3\).
\((y+1)^6+(y-1)^6=64\).
Два корня определяем сразу \(y_1=1\) и \(y_2=-1\).
При суммировании нечётные члены выпадают.
Коэффициенты определяем по формуле
\(\displaystyle C_{n}^{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\).
 
\(y^6+15y^4+15y^2-31=0\). Делим на \(y-1\) и \(y+1\).

\(y^4+16y^2+31=0\). \(y^2=z\).

\(z^2+16z+31=0\). Корни \(\displaystyle \sqrt{33}-8\), \(\displaystyle -\sqrt{33}-8\).

По \(y\) четыре корня \(\displaystyle \sqrt{\sqrt{33}-8}\),  \(\displaystyle -\sqrt{\sqrt{33}-8}\), \(\displaystyle \sqrt{-\sqrt{33}-8}\),  \(\displaystyle -\sqrt{-\sqrt{33}-8}\).

Решением будут корни \(2\), \(4\), \(\displaystyle \sqrt{\sqrt{33}-8}+3\),  \(\displaystyle -\sqrt{\sqrt{33}-8}+3\), \(\displaystyle \sqrt{-\sqrt{33}-8}+3\),  \(\displaystyle -\sqrt{-\sqrt{33}-8}+3\).

[Иван Горин]

Делаем замену \(x=y+3\).
\((y+1)^6+(y-1)^6=64\).
Два корня определяем сразу \(y_1=1\) и \(y_2=-1\).
При суммировании нечётные члены выпадают.
Коэффициенты определяем по формуле
\(\displaystyle C_{n}^{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\).
 
\(y^6+15y^4+15y^2-31=0\). Делим на \(y-1\) и \(y+1\).

\(y^4+16y^2+31=0\). \(y^2=z\).

\(z^2+16z+31=0\). Корни \(\displaystyle \sqrt{33}-8\), \(\displaystyle -\sqrt{33}-8\).

По \(y\) четыре корня \(\displaystyle \sqrt{\sqrt{33}-8}\),  \(\displaystyle -\sqrt{\sqrt{33}-8}\), \(\displaystyle \sqrt{-\sqrt{33}-8}\),  \(\displaystyle -\sqrt{-\sqrt{33}-8}\).

Решением будут корни \(2\), \(4\), \(\displaystyle \sqrt{\sqrt{33}-8}+3\),  \(\displaystyle -\sqrt{\sqrt{33}-8}+3\), \(\displaystyle \sqrt{-\sqrt{33}-8}+3\),  \(\displaystyle -\sqrt{-\sqrt{33}-8}+3\).

Хорошее стандартное решение с применением  формулы бинома Ньютона.

И как всегда есть альтернативное решение.
Я его не привожу. У нас в разделе есть ещё два математика - Андрей и Север.
Даю им подсказку.
Применить формулу суммы кубов.
\(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\)