Решить уравнение (√(2+√3))^x+(√(2-√3))^x=2^x

[Иван Горин]

Решите уравнение

\((\sqrt{2+\sqrt{3}})^x+(\sqrt{2-\sqrt{3}})^x=2^x\)

[severe]

Решите уравнение

\((\sqrt{2+\sqrt{3}})^x+(\sqrt{2-\sqrt{3}})^x=2^x\)

Разделим на \( 2^x \).

\( (\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2})^x+(\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2})^x=1 \)
\( \sin \alpha = \frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2} \)
\( \cos^2 \alpha=1-\sin^2 \alpha=1-\frac{2-\sqrt{3}}{4}=\frac{2+\sqrt{3}}{4} \)
\( cos \alpha =  \frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2} \)

\( (\cos\alpha)^x+(\sin\alpha)^x=1 \)
\( x=2 \)

Кстати, как найти, чему равно \( \alpha \)?

[Иван Горин]

Разделим на \( 2^x \).

\( (\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2})^x+(\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2})^x=1 \)
\( \sin \alpha = \frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2} \)
\( \cos^2 \alpha=1-\sin^2 \alpha=1-\frac{2-\sqrt{3}}{4}=\frac{2+\sqrt{3}}{4} \)
\( cos \alpha =  \frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2} \)

\( (\cos\alpha)^x+(\sin\alpha)^x=1 \)
\( x=2 \)

Кстати, как найти, чему равно \( \alpha \)?

Север, у тебя отличное решение.
В сетях интернета некоторые математики доказали, что это решение возможно только методом подбора.
Ты доказал обратное, что существует строгое решение.
\( \alpha \) можно попытаться найти.
Если с помощью калькулятора, то точное значение равно 75° или 105°.
Или представить радикал суммы в виде суммы радикалов.
Затем арксинун суммы представить в виде суммы арксинусов по известным формулам.
И  получится.

\(\alpha =arcsin\left ( \frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2} \right )=arcsin\left ( \frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{\sqrt{2}}{4}\right )=arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2})+arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2})=60°+45°=105°\)

[severe]

Север, у тебя отличное решение.
В сетях интернета некоторые математики доказали, что это решение возможно только методом подбора.
Ты доказал обратное, что существует строгое решение.
\( \alpha \) можно попытаться найти.
Если с помощью калькулятора, то точное значение равно 75° или 105°.
Или представить радикал суммы в виде суммы радикалов.
Затем арксинун суммы представить в виде суммы арксинусов по известным формулам.
И  получится.

\(\alpha =arcsin\left ( \frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2} \right )=arcsin\left ( \frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{\sqrt{2}}{4}\right )=arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2})+arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2})=60°+45°=105°\)

\( \alpha =\arccos\left ( \frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}\right) \)
\( cos\alpha > sin\alpha \), следовательно \( \alpha<45° \).

[Иван Горин]

\( \alpha =\arccos\left ( \frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}\right) \)
\( cos\alpha > sin\alpha \), следовательно \( \alpha<45° \).

Я выбрал
\(sin \alpha =\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}\)
Тогда
\(cos \alpha =\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}\)
\( \alpha =\pm 75\)°

В твоём выборе \( \alpha =\pm 15\)°
То есть имеется 4 решения.

[severe]

Я выбрал
\(sin \alpha =\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}\)
Тогда
\(cos \alpha =\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}\)
\( \alpha =\pm 75\)°

В твоём выборе \( \alpha =\pm 15\)°
То есть имеется 4 решения.

\( \sin (-15°)<0 \), а \( \sin\alpha>0 \)

[Иван Горин]

\( \sin (-15°)<0 \), а \( \sin\alpha>0 \)

\( (\sin (-15°))^2>0 \)

[severe]

\( (\sin (-15°))^2>0 \)

\(\sin  (-15°)\neq \frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}\)
\( \sin  (-15°)<0 \), \( \frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}>0 \)

[Иван Горин]

\(\sin  (-15°)\neq \frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}\)
\( \sin  (-15°)<0 \), \( \frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}>0 \)

Всё правильно, Север.
Имеется только два положительных решения 15° или 75°.

[severe]

Затем арксинун суммы представить в виде суммы арксинусов по известным формулам.

В интернете не нашёл формул, представляющих арксинус суммы в виде суммы арксинусов.

[Иван Горин]

В интернете не нашёл формул, представляющих арксинус суммы в виде суммы арксинусов.

\(\arcsin\, A\pm \arcsin\, B=\arcsin(A\sqrt{1-B^2}\pm B\sqrt{1-A^2})\)

Эта формула есть в справочнике Корнов.

В этой формуле нам дана правая часть:

\(\displaystyle \alpha =\arcsin \left(\sqrt{2\pm \sqrt{3}} \right)=\arcsin \left(\frac{\sqrt{6}}{4}\pm \frac{\sqrt{2}}{4} \right)\)

Необходимо найти A и B, решив систему уравнений

\(\displaystyle A\sqrt{1-B^2}=\frac{\sqrt{6}}{4}\)

\(\displaystyle B\sqrt{1-A^2})=\frac{\sqrt{2}}{4}\)

Получится много вариантов решения, но надо выбрать только те варианты, в которых угол \(\alpha=\arcsin\, A\pm \arcsin\, B\) находится в первой четверти, так только в первой четверти синус и косинус одновременно положительны.