Север троллит Эйлера

[severe]

\( -1=e^{i\pi} \)
Разделим на \( e^{i\pi} \)
\( -\frac{1}{e^{i\pi}}=1 \)
\( -e^{-i\pi}=1 \)
\( e^{-i\pi}=-1 \)
\( e^{-i\pi}=e^{i\pi} \)
\( {-i\pi}={i\pi} \)
\( -i=i \)

[Иван Горин]

\( -1=e^{i\pi} \)
Разделим на \( e^{i\pi} \)
\( -\frac{1}{e^{i\pi}}=1 \)
\( -e^{-i\pi}=1 \)
\( e^{-i\pi}=-1 \)
\( e^{-i\pi}=e^{i\pi} \)
\( {-i\pi}={i\pi} \)
\( -i=i \)

\(-\pi=-\pi+2\pi=\pi\)

[severe]

\(-\pi=-\pi+2\pi=\pi\)

Касательно Вашего аргумента:
\( -\pi=\pi \)
Разделим на \( \pi \)
\( -1=1 \)

Можно доказать и через тригонометрию
\( e^{i\pi}=\cos \pi+i\sin \pi=-1+i\cdot 0=-1 \)
\( e^{-i\pi}=e^{i(-\pi)}=\cos (-\pi)+i\sin (-\pi)=-1+i\cdot 0=-1 \)

\( e^{-i\pi}=e^{i\pi} \)
\( -i\pi=i\pi \)
\( -i=i \)

[Ost]

Касательно Вашего аргумента:
\( -\pi=\pi \)
Разделим на \( \pi \)
\( -1=1 \)

Можно доказать и через тригонометрию
\( e^{i\pi}=\cos \pi+i\sin \pi=-1+i\cdot 0=-1 \)
\( e^{-i\pi}=e^{i(-\pi)}=\cos (-\pi)+i\sin (-\pi)=-1+i\cdot 0=-1 \)

\( e^{-i\pi}=e^{i\pi} \)
\( -i\pi=i\pi \)
\( -i=i \)

Для углов знак равенства указывает на совпадение направлений заданных углом.

[severe]

Для углов знак равенства указывает на совпадение направлений заданных углом.

То есть \( -\pi=\pi \), \( -3,14..=3,14.. \)
Правильно так \( -\pi\neq \pi \), \( \cos(-\pi)=\cos\pi=-1 \), \( \sin(-\pi)=\sin \pi=0 \).

[Ost]

То есть \( -\pi=\pi \), \( -3,14..=3,14.. \)

В числовом смысле нет. В смысле угловой ориентации (поворота) - да.

[severe]

В числовом смысле нет. В смысле угловой ориентации (поворота) - да.

На синусоиде и косинусоиде по оси x отложены углы.
Мне приходится доказывать математикам, что \( -\pi\neq \pi \)

[Andrey_R]

На синусоиде и косинусоиде по оси x отложены углы.
Мне приходится доказывать математикам, что \( -\pi\neq \pi \)

Вас же не смущает, что, например, из sin(x)=sin(y) не следует, что x=y.
Почему с экспонентой должно быть по-другому?

Просто надо принять, что мнимые числа в показателе показательной функции приводят к её периодичности, это одно из основных свойств функций комплексного переменного.

[severe]

Вас же не смущает, что, например, из sin(x)=sin(y) не следует, что x=y.
Почему с экспонентой должно быть по-другому?

Просто надо принять, что мнимые числа в показателе показательной функции приводят к её периодичности, это одно из основных свойств функций комплексного переменного.

\( e^x=e^y => x=y \). Это не так, если x и y мнимые числа?

[Andrey_R]

\( e^x=e^y => x=y \). Это не так, если x и y мнимые числа?

Конечно, не так (и не обязательно чисто мнимые), особенно если вспомнить, что, например, \(\sin{x}=\frac{1}{2}(e^{ix}-e^{-ix})\).
Или что \(e^{2\pi ni}=1\), тогда из этого сразу следует, что если \(x-y=2\pi ni, то   e^{x}=e^{y+2\pi ni}=e^{y}e^{2\pi ni}=e^{y}\)

[severe]

Конечно, не так (и не обязательно чисто мнимые), особенно если вспомнить, что, например, \(\sin{x}=\frac{1}{2}(e^{ix}-e^{-ix})\).
Или что \(e^{2\pi ni}=1\), тогда из этого сразу следует, что если \(x-y=2\pi ni, то   e^{x}=e^{y+2\pi ni}=e^{y}e^{2\pi ni}=e^{y}\)

Хорошо. Тогда как объясните это?
\( e^{-i\pi}=e^{i\pi} \)
\( (e^{-1})^{i\pi}=e^{i\pi} \)
\( (\frac{1}{e})^{i\pi}=e^{i\pi} \)
\( (\frac{e^{2\pi i}}{e})^{i\pi}=e^{i\pi} \)
\( \frac{e^{-2\pi^2}}{e^{i\pi}}=e^{i\pi} \)
\( e^{-2\pi^2}=e^{i\pi}\cdot e^{i\pi}=e^{2\pi i}=1 \)

\( e^{-2\pi^2}=1 \)

[severe]

\( 1^i=(e^{2\pi ni})^i=e^{-2\pi n} \), \( n \in \mathbb{Z} \)

[Ost]

\( 1^i=(e^{2\pi ni})^i=e^{-2\pi n} \), \( n \in \mathbb{N} \)

\(1^i=e^{ln(1)~i}=e^{i \cdot 0}=cos(0)+i~sin(0)=1.\)
Вектор в комплексной форме \(e^{i \cdot 0}\) сонаправлен с осью \(x\), т.е. имеет нулевой угол с осью \(x\).
Его модуль равен единице.

[severe]

\(1^i=e^{ln(1)~i}=e^{i \cdot 0}=cos(0)+i~sin(0)=1.\)
Вектор в комплексной форме \(e^{i \cdot 0}\) сонаправлен с осью \(x\), т.е. имеет нулевой угол с осью \(x\).
Его модуль равен единице.

Так это частный случай моей формулы при n=0. В чём ошибка моей формулы? \( e^{2\pi ni}\neq 1 \)?

[Ost]

Так это частный случай моей формулы при n=0. В чём ошибка моей формулы? \( e^{2\pi ni}\neq 1 \)?

\(1^i=e^{ln(1)~i+2\pi~i~n}=e^{i \cdot (0+2\pi~n)}=cos(0+2\pi~n)+i~sin(0+2\pi~n)=1.\)

[severe]

\(1^i=e^{ln(1)~i+2\pi~i~n}=e^{i \cdot (0+2\pi~n)}=cos(0+2\pi~n)+i~sin(0+2\pi~n)=1.\)

\( e^{2\pi ni}\neq 1 \)?
Ошибку найдите в стартовом посте.

[Ost]

\( e^{2\pi ni}\neq 1 \)?

\(e^{2\pi~n~i}=e^{i \cdot (2\pi~n)}=cos(2\pi~n)+i~sin(2\pi~n)=1.\)

[severe]

\(e^{2\pi~n~i}=e^{i \cdot (2\pi~n)}=cos(2\pi~n)+i~sin(2\pi~n)=1.\)

Ну так ошибку найдите в стартовом посте.

[Ost]

Ну так ошибку найдите в стартовом посте.

Некорректное преобразование.
На входе вектор на выходе скаляр.

[severe]

Некорректное преобразование.
На входе вектор на выходе скаляр.

Вот это некорректное преобразование \( 1=e^{2\pi ni} \)? Теперь возведём левую и правую часть в степень i. В чём некорректность?