Север троллит Эйлера

[severe]

Ну да, конечно. Должно было быть не \(0i\pi\), а \(1+0i\pi\). Приношу извинения за описку, исправлю.

При проверке на истинность тождества Эйлера я вообще не использовал равенство \( \frac{1}{e}=(\frac{1}{e})^{1+0i\pi} \), не имеющее отношения к тождеству Эйлера. Я просто в одних местах заменял \( -1 \) на \( e^{i\pi} \), в других местах \( e^{i\pi} \) на \( -1 \) в полном соответствии с тождеством Эйлера.

[Andrey_R]

При проверке на истинность тождества Эйлера я вообще не использовал равенство \( \frac{1}{e}=(\frac{1}{e})^{1+0i\pi} \), не имеющее отношения к тождеству Эйлера. Я просто в одних местах заменял \( -1 \) на \( e^{i\pi} \), в других местах \( e^{i\pi} \) на \( -1 \) в полном соответствии с тождеством Эйлера.

Я помню, это неважно. Но у меня была описка, вы её заметили, я исправил.

[Иван Горин]

А \( i^2 \) - это, по-Вашему, скаляр. Поэтому, по-Вашему, \( i^2 \) не принадлежит комплексной плоскости

\(i^2=(e^{i\pi/2})^2=e^{i\pi}=\cos \pi+isin \pi=-1+0i\)   - комплексное число.
\((1+i)(2-i)=2-i+2i-i^2=2+i+1=3+i \)  - комплексное число в математике и ТОЭ (теоретические основы электротехники)
В механике:
\((1+i)(2-i)\)  - это скалярное произведение (результат - скаляр)
\((1+i)\times (2-i)\)  - это векторное произведение (результат - вектор)
Смотрите тему Оста.
http://bolshoyforum.com/forum/index.php?topic=599511.0

\(\frac{1+i}{2-i}=\frac{(1+i)(2+i)}{(2-i)(2+i)}=\frac{1+3i}{3}=\frac{1}{3}+i\)  - комплексное число в математике и ТОЭ
В механике деление векторов не определено.

[severe]

Я помню, это неважно. Но у меня была описка, вы её заметили, я исправил.

Ранее мы выяснили, что при возведении единицы в степень \( i\pi \) ошибка была вызвана использованием разных комплексных представлений единицы \( 1=e^{i0} \), \( 1=e^{2\pi i} \).
А при проверке на истинность тождества Эйлера мы выяснили, что при возведении минус единицы в степень \( i\pi \) ошибка была вызвана использованием одинаковых комплексных представлений минус единицы \( -1=e^{i\pi} \).

[Andrey_R]

Ранее мы выяснили, что при возведении единицы в степень \( i\pi \) ошибка была вызвана использованием разных комплексных представлений единицы \( 1=e^{i0} \), \( 1=e^{2\pi i} \).
А при проверке на истинность тождества Эйлера мы выяснили, что при возведении минус единицы в степень \( i\pi \) ошибка была вызвана использованием одинаковых комплексных представлений минус единицы \( -1=e^{i\pi} \).

Всё правильно. Это потому, что произведение двух одинаковых представлений -1 не может дать бесфазовую единицу. Поэтому нужно брать разные (комплексно сопряжённые).

[severe]

Всё правильно. Это потому, что произведение двух одинаковых представлений -1 не может дать бесфазовую единицу. Поэтому нужно брать разные (комплексно сопряжённые).

\( 1^{i\pi}=((-1)^2)^{i\pi}=(-1)^{2\pi i} \)
При проверке тождества Эйлера на истинность эти равенства недействительны?

[Andrey_R]

\( 1^{i\pi}=((-1)^2)^{i\pi}=(-1)^{2\pi i} \)
При проверке тождества Эйлера на истинность эти равенства недействительны?

Конечно. См. "Ответ #43 : 01 Апрель 2023, 16:52:48"
Возведение в нецелые степени - плохой способ проверять любые тождества на истинность, см. « Ответ #50 : 01 Апрель 2023, 23:54:40 »
 

[severe]

Конечно. См. "Ответ #43 : 01 Апрель 2023, 16:52:48"
Возведение в нецелые степени - плохой способ проверять любые тождества на истинность, см. « Ответ #50 : 01 Апрель 2023, 23:54:40 »

Но в равенствах \( 1^{i\pi}=((-1)^2)^{i\pi}=(-1)^{2\pi i} \) не используются комплексные представления оснований степеней. Почему же они не действительны?

[Andrey_R]

Но в равенствах \( 1^{i\pi}=((-1)^2)^{i\pi}=(-1)^{2\pi i} \) не используются комплексные представления оснований степеней. Почему же они не действительны?

Вот именно. См. мой предыдущий пост  - Возведение в нецелые степени - плохой способ проверять ЛЮБЫЕ тождества на истинность.

Здесь хотя вы и не используете комплексное представление, оно всё равно подразумевается (какое-нибудь), а так как потом оно возводится в квадрат, то подразумевается, что эти представления одинаковые, и при возведении в квадрат в результате не получится бесфазовая единица.

На самом деле мы обсуждаем это уже несколько дней, и всё, что я вам пытаюсь сказать - это то, что возведение в нецелую степень, а особенно в мнимую - очень опасная операция, и лучше не пытаться применять эту операцию в доказательстве или опровержении чего - нибудь. А если уже пытаетесь, то делать это очень внимательно и лучше сначала прочитать хороший учебник по ТФКП. 

[severe]

В уравнении \( (-1)^{2\pi i}=1 \) тождество Эйлера неприменимо.
Равенства следует добиваться так:
\( (-1)^{2\pi i}=((-1)^2)^{\pi i}=1^{\pi i}=(e^0)^{\pi i}=e^{0\pi i}=e^0=1 \).
Бывают уравнения, в которых тождество Эйлера неприменимо.
А в учебниках по ТФКП пишут, что \( -1 \) можно заменять на \( e^{i\pi} \) всегда. Об области применимости тождества Эйлера - молчок.
Как быть осторожным с применением тождества Эйлера, если нигде не прописана область его применимости?
"Нашему сокровищу" грош цена вне зоны его действия.

[severe]

Некорректное преобразование.
На входе вектор на выходе скаляр.

https://www.youtube.com/watch?v=OacG6N_7PFE

[severe]

При решении уравнения \( x^i=1 \) имеется корень
\( x=-1\neq e^{\pi i} \)

Проверяем корень \( x=-1\neq e^{\pi i} \)
\( (-1)^i=(-1)^{\frac{2i}{2}}=((-1)^2)^{\frac{i}{2}}=1^{\frac{i}{2}}=(e^0)^{\frac{i}{2}}=e^{0\frac{i}{2}}=e^0=1 \)

Обращаю внимание, что здесь тождество Эйлера неверно \( -1\neq e^{\pi i} \).
Может ли такое быть в серьёзной математике, что иногда \( a=b \), иногда \( a\neq b \)?

[Ost]

При решении уравнения \( x^i=1 \) имеется корень
\( x=-1\neq e^{\pi i} \)

Проверяем корень \( x=-1\neq e^{\pi i} \)
\( (-1)^i=(-1)^{\frac{2i}{2}}=((-1)^2)^{\frac{i}{2}}=1^{\frac{i}{2}}=(e^0)^{\frac{i}{2}}=e^{0\frac{i}{2}}=e^0=1 \)

Обращаю внимание, что здесь тождество Эйлера неверно \( -1\neq e^{\pi i} \).
Может ли такое быть в серьёзной математике, что иногда \( a=b \), иногда \( a\neq b \)?

— Предположим, что у вас в кармане два яблока.
Некто взял у вас одно яблоко (2/2). Сколько у вас осталось яблок?
— Два.
— Подумайте хорошенько.
Буратино сморщился, — так здорово подумал.
— Два…
— Почему?
— Я же не отдам некту яблоко, хоть он дерись!
– У вас нет никаких способностей к математике, – с огорчением сказала девочка.

У Вас не тождественное преобразование.
Вы изменили исходное выражение и выбрали не правильную последовательность операций.
Не всегда ставят скобки, которые определяют последовательность операций.
Надо видеть по умолчанию, но это для посвященных.

[severe]

Север троллит Эйлера.

Решение уравнения:
\(x^i=1\)
\(i\ln x=0\)
\(\ln x=\frac{0}{i}\)
\(x=e^{\frac{0}{i}}=e^{\frac{i2k \pi}{i}}=e^{2k \pi}\neq -1\)

Это не все корни, есть ещё корень \( x=-1 \).
\( (-1)^i=(-1)^{\frac{2i}{2}}=((-1)^2)^{\frac{i}{2}}=1^{\frac{i}{2}}=(e^0)^{\frac{i}{2}}=e^{0\frac{i}{2}}=e^0=1 \)
Ошибку в проверке корня \( x=-1 \) так и не нашли?
Докажите, что корень \( x=-1 \) не является решением уравнения \(x^i=1\)

[severe]

Вы изменили исходное выражение и выбрали не правильную последовательность операций.
Не всегда ставят скобки, которые определяют последовательность операций.

Я преобразовал исходное выражение без ошибок. И выбрал правильную последовательность операций для получения в итоге единицы. Скобки, без которых нельзя обойтись, всегда определяют последовательность операций.
У \( (-1)^i \) бесконечное множество значений, я доказал, что среди них есть и единица.

[Andrey_R]

Это не все корни, есть ещё корень \( x=-1 \).
\( (-1)^i=(-1)^{\frac{2i}{2}}=((-1)^2)^{\frac{i}{2}}=1^{\frac{i}{2}}=(e^0)^{\frac{i}{2}}=e^{0\frac{i}{2}}=e^0=1 \)
Ошибку в проверке корня \( x=-1 \) так и не нашли?
Докажите, что корень \( x=-1 \) не является решением уравнения \(x^i=1\)

Ошибку найти легко, мы её уже раньше обсуждали. Она вот здесь:
\( ((-1)^2)^{\frac{i}{2}}\neq 1^{\frac{i}{2}} \)
На самом деле в комплексных числах
\( ((-1)^2) = (e^{\pi i+2\pi ni})^2=e^{2\pi i+4\pi ni} \),
и среди этого набора нет бесфазовой единицы, т.е. \( e^0 \)

Не нужно в процессе комплексных преобразований заменять комплексные числа действительными и наоборот,

[severe]

На самом деле в комплексных числах
\( ((-1)^2) = (e^{\pi i+2\pi ni})^2=e^{2\pi i+4\pi ni} \),
и среди этого набора нет бесфазовой единицы, т.е. \( e^0 \)

То есть, в комплексных числах \( (-1)^2\neq 1 \)? Вещественные числа - это комплексные числа с нулевой мнимой частью.

[Andrey_R]

То есть, в комплексных числах \( (-1)^2\neq 1 \)? Вещественные числа - это комплексные числа с нулевой мнимой частью.

Значения у них равны, поэтому равенство есть. Но у них разные фазы, поэтому это разные представления 1, и при возведении в нецелую степень они могут давать (а в нашем случае обязательно дают) разные результаты.

[severe]

Значения у них равны, поэтому равенство есть. Но у них разные фазы, поэтому это разные представления 1, и при возведении в нецелую степень они могут давать (а в нашем случае обязательно дают) разные результаты.

Где вы увидели разные фазы в таком комплексном представлении \( (-1)^2=1=e^0 \)?

[Ost]

Я преобразовал исходное выражение без ошибок. И выбрал правильную последовательность операций для получения в итоге единицы. Скобки, без которых нельзя обойтись, всегда определяют последовательность операций.
У \( (-1)^i \) бесконечное множество значений, я доказал, что среди них есть и единица.

Geller Вам завидует http://bolshoyforum.com/forum/index.php?topic=618941.msg10323960#msg10323960