Север троллит Эйлера

[severe]

Доказательство неверности тождества Эйлера

Тождество Эйлера
\( -1=e^{i\pi} \)

\( -\frac{1}{e^{i\pi}}=1 \)

\( \frac{1}{e^{i\pi}}=-1 \)

\( e^{-i\pi}=-1 \)

\( (e^{-1})^{i\pi}=-1 \)

\( (\frac{1}{e})^{i\pi}=-1 \)

\( \frac{1^{i\pi}}{e^{i\pi}}=-1 \)

\( \frac{((-1)^2)^{i\pi}}{e^{i\pi}}=-1 \)

\( (-1)^{2i\pi}=(-1)\cdot e^{i\pi} \)

\( (-1)^{2i\pi}=(-1)\cdot (-1) \)

\( (-1)^{2i\pi}=1 \)

\( -1\neq e^{i\pi} \)

[severe]

Geller Вам завидует http://bolshoyforum.com/forum/index.php?topic=618941.msg10323960#msg10323960

\( 1=e^0=e^{0\frac{i}{2}}=(e^0)^{\frac{i}{2}}=1^{\frac{i}{2}}=((-1)^2)^{\frac{i}{2}}=(-1)^{\frac{2i}{2}}=(-1)^i \)
Какое ещё к чёрту нетождественное преобразование?!
\( x^i=x^{\frac{2i}{2}}=(x^2)^{\frac{i}{2}}=((-x)^2)^{\frac{i}{2}}=(-x)^i=1 \)
\( (-x)^i=1 \)
\( -x=1^{\frac{1}{i}} \)
\( -x=1^{-i} \)
\( -x=e^{0(-i)} \)
\( -x=1 \)
\( x=-1 \)

[Andrey_R]

Где вы увидели разные фазы в таком комплексном представлении \( (-1)^2=1=e^0 \)?

Здесь вообще нет фаз (вы не используете показательные представления) и все равенства выполняются. Но когда вы начнёте возводить это в степень \(i\pi\), вам придётся перейти к показательному представлению и ввести фазы, потому что по-другому это не делается.
Вам придётся заменить -1 или на \(e^{i\pi}\), или на  \(e^{-i\pi}\), или ещё на что-нибудь. Но в любом случае при возведении в квадрат они единицу без фазы не дадут.

[Иван Горин]

\( 1=e^0=e^{0\frac{i}{2}}=(e^0)^{\frac{i}{2}}=1^{\frac{i}{2}}=((-1)^2)^{\frac{i}{2}}=(-1)^{\frac{2i}{2}}=(-1)^i \)
Какое ещё к чёрту нетождественное преобразование?!
\( x^i=x^{\frac{2i}{2}}=(x^2)^{\frac{i}{2}}=((-x)^2)^{\frac{i}{2}}=(-x)^i=1 \)
\( (-x)^i=1 \)
\( -x=1^{\frac{1}{i}} \)
\( -x=1^{-i} \)
\( -x=e^{0(-i)} \)
\( -x=1 \)
\( x=-1 \)

Полная безграмотность в комплексном исчислении.

Должны быть такие преобразования.
\(1=e^{i0}\)
\(e^{0\frac{i}{2}}=e^{2\pi \frac{i}{2}}=e^{i\pi }=-1\)

\( x^i=x^{\frac{2i}{2}}=(x^2)^{\frac{i}{2}}=((-x)^2)^{\frac{i}{2}}=(x)^i=1 \)
\((-x)^2=x^2\)
Порядок выполнения операций. Сначала возведение в степень и только затем деление или умножение.

[severe]

Здесь вообще нет фаз (вы не используете показательные представления) и все равенства выполняются.

Безфазовая единица \( e^0 \) - это уже не показательное представление единицы?

[severe]

Полная безграмотность в комплексном исчислении.

Должны быть такие преобразования.
\(1=e^{i0}\)
\(e^{0\frac{i}{2}}=e^{2\pi \frac{i}{2}}=e^{i\pi }=-1\)

\( 1=e^0=e^{0\frac{i}{2}}=e^{2\pi \frac{i}{2}}=e^{i\pi }=-1 \)
У Вас ошибка. \( 1\neq -1 \)

[Andrey_R]

Безфазовая единица \( e^0 \) - это уже не показательное представление единицы?

В спросили про равенство  \( (-1)^2=1=e^0 \).
Слева здесь  \( (-1)^2 \). Это не показательное и не тригонометрическое представление, и, соответственно, фазы здесь нет и быть не может.
И когда вы это соберётесь возвести в степень \(i\pi\) - это ведь ваша цель?, - то вам придётся выбрать какое-нибудь из показательных представлений с какой-нибудь фазой -  возведение чисел в непоказательном представлении для нецелых степеней не определено (или многозначно - как хотите...).

На самом деле, зачем писать десятки постов про одно и то же? Пересмотрите хотя бы найденный вами вчера ролик, там же есть все ответы. 

[severe]

В спросили про равенство  \( (-1)^2=1=e^0 \).
Слева здесь  \( (-1)^2 \). Это не показательное и не тригонометрическое представление, и, соответственно, фазы здесь нет и быть не может.

\( (-1)^2=e^0 \)
\( ((-1)^2)^{\frac{i}{2}}=(e^0)^{\frac{i}{2}} \)
\( ((-1)^2)^{\frac{i}{2}}\neq (-1)^i \)?

[Andrey_R]

\( (-1)^2=e^0 \)
\( ((-1)^2)^{\frac{i}{2}}=(e^0)^{\frac{i}{2}} \)
\( ((-1)^2)^{\frac{i}{2}}\neq (-1)^i \)?

Ок, скажу ещё раз.  Единиц много, все они отличаются фазами: (\(1)_n=e^{2\pi ni}\) - согласно предложенным вами обозначениям.
Но не все такие единицы получаются возведением -1 в квадрат, а только половина их:  (\((-1)^2)_k=(e^{\pi i +2\pi ki})^2=e^{2\pi i(1+2k)}\)
Вторая половина представлений получается возведением в квадрат единицы: (\((1^2)_k=(e^{2\pi ki})^2=e^{4\pi ik}\)
Очевидно, что представление \( e^0 \) находится среди квадратов единицы, а среди квадратов -1 его нет. А это важно при последующем возведении в нецелую степень. Соответственно, у вас ошибка во второй строчке:

\( ((-1)^2)^{\frac{i}{2}}\neq (e^0)^{\frac{i}{2}} \)

Хотя, в принципе, если вы вообще не читаете ответов, то больше отвечать я и не буду.  Если вы в детстве ТФКП не проходили, то сейчас, наверно, знания лучше набирать не из форумов.

[Иван Горин]

\( 1=e^0=e^{0\frac{i}{2}}=e^{2\pi \frac{i}{2}}=e^{i\pi }=-1 \)
У Вас ошибка. \( 1\neq -1 \)

Это у тебя здесь сразу две ошибки.

Первая ошибка:
\(1=e^0\)
С таким же успехом можно записать:
\(1=\pi ^0\)
И такие записи не имеют никакого отношения к комплексному исчислению.
Правильная запись для комплексного исчисления:
\(1=e^{i2k\pi}\)
\(-1=e^{i(\pi+2k\pi})\)
при k=0
\(1=e^{i0}\)
\(-1=e^{i(\pi+0})\)

Вторая ошибка:
\(e^0=e^{0\frac{i}{2}}\)
Здесь нет равенства.
С таким же успехом можно записать:
\(5^0=(5^{0})^{\frac{i}{2}}\)
Или
\(1=(1)^{\frac{i}{2}}\)
Какое же это равенство?
Поздно тебе , Север, изучать теорию функций комплексного переменного.

[severe]

\( ((-1)^2)^{\frac{i}{2}}\neq (e^0)^{\frac{i}{2}} \)

\( ((-1)^2)^{\frac{i}{2}}=1^{\frac{i}{2}}=(e^0)^{\frac{i}{2}} \)

Но не все такие единицы получаются возведением -1 в квадрат

Ну скажите, что такая 1 не получается возведением -1 в квадрат, что в данном случае \( (-1)^2\neq 1 \)

[severe]

Это у тебя здесь сразу две ошибки.

Первая ошибка:
\(1=e^0\)
С таким же успехом можно записать:
\(1=\pi ^0\)
И такие записи не имеют никакого отношения к комплексному исчислению.
Правильная запись для комплексного исчисления:
\(1=e^{i2k\pi}\)
\(-1=e^{i(\pi+2k\pi})\)
при k=0
\(1=e^{i0}\)
\(-1=e^{i(\pi+0})\)

Вторая ошибка:
\(e^0=e^{0\frac{i}{2}}\)
Здесь нет равенства.
С таким же успехом можно записать:
\(5^0=(5^{0})^{\frac{i}{2}}\)
Или
\(1=(1)^{\frac{i}{2}}\)
Какое же это равенство?
Поздно тебе , Север, изучать теорию функций комплексного переменного.

\( i0=i(1-1)=i-i=0 \)
\( 0\frac{i}{2}=(1-1)\frac{i}{2}=\frac{i}{2}-\frac{i}{2}=0 \)
Как же нет равенства?

Или
\(1=(1)^{\frac{i}{2}}\)
Какое же это равенство?
Поздно тебе , Север, изучать теорию функций комплексного переменного.

\( (1)^{\frac{i}{2}}=(e^{0i})^{\frac{i}{2}}=e^{\frac{0i^2}{2}}=e^0=1 \)

[severe]

Ок, скажу ещё раз.  Единиц много, все они отличаются фазами: (\(1)_n=e^{2\pi ni}\) - согласно предложенным вами обозначениям.

Я предложил обозначения, чтобы не путать одинаковые написания, имеющие разные значения. Поскольку в данном случае одинаковые написания 1 имеют одинаковое значение 1, то нет смысла в обозначениях.

[Andrey_R]

Я предложил обозначения, чтобы не путать одинаковые написания, имеющие разные значения. Поскольку в данном случае одинаковые написания 1 имеют одинаковое значение 1, то нет смысла в обозначениях.

ВСЕ написания 1 имеют одинаковые ЗНАЧЕНИЯ, равные 1. ОБОЗНАЧЕНИЯ вводились (кстати, вами), чтобы различать ПРЕДСТАВЛЕНИЯ, отличающиеся фазами на 2пи. При этом все эти представления имеют одинаковые значения, равные 1. Если вы это до сих пор не поняли, то печально. 

[severe]

Формулы из справочника по математике Корнов.

1. \(a^{ix}=e^{ix \ln a}=\cos(x\ln a)+i\sin(x\ln a)\)
При a=1, x=1
\(1^{i}=e^{i \ln 1}=\cos(1\ln 1)+i\sin(1\ln 1)=\cos0+i\sin0=1\)

\( 1^{i}=1 \)
\( (-1)^{2i}=1 \)
\( -1\neq e^{i\pi} \)

Три строчки 

[severe]

ОБОЗНАЧЕНИЯ вводились (кстати, вами), чтобы различать ПРЕДСТАВЛЕНИЯ, отличающиеся фазами на 2пи.

Нет, чтобы различать \( 1^{i\pi} \). n есть уже как множитель в показателе самого представления. Стал бы я помечать представления ещё дополнительно, если все они равны единице.

[Иван Горин]

Тема закрывается в связи с бесконечным троллингом Севера.
Эйлера можно троллить. Он не может ответить безграмотному ученику.
Но у Эйлера есть и грамотные последователи, которых Север также троллит.