Север троллит Эйлера

[Andrey_R]

Хорошо. Тогда как объясните это?
\( e^{-i\pi}=e^{i\pi} \)
\( (e^{-1})^{i\pi}=e^{i\pi} \)
\( (\frac{1}{e})^{i\pi}=e^{i\pi} \)
\( (\frac{e^{2\pi i}}{e})^{i\pi}=e^{i\pi} \)
\( \frac{e^{-2\pi^2}}{e^{i\pi}}=e^{i\pi} \)
\( e^{-2\pi^2}=e^{i\pi}\cdot e^{i\pi}=e^{2\pi i}=1 \)

\( e^{-2\pi^2}=1 \)

Проблема возникает при переходе между этими строчками:

\( (\frac{1}{e})^{i\pi}=e^{i\pi} \)

\( (\frac{e^{2\pi i}}{e})^{i\pi}=e^{i\pi} \)

Хотя значение \(e^{2\pi in}\) всегда равно 1, нужно осознавать, что \(e^{2\pi in}\) - это многозначное показательное представление комплексного числа, а 1 - его значение, т.е. у единицы существует множество представлений за счёт того, что показательная функция периодическая.
Кроме того, степенная функция с нецелым показателем ещё и многозначная, для случая рациональной степени мы это когда-то обсуждали, Поэтому не должно быть удивительно, что если вместо основания подставлять его разные представления в показательной или тригонометрической форме, могут получаться разные значения.

По аналогии с \(1^{1/m}=(e^{2\pi in})^{1/m}=e^{2\pi i n/m}\), где появляется m значений, в варианте  с иррациональным показателем, например, 

\((e^{2\pi in})^{i\pi}=e^{-2\pi^2n}\) , таких значений будет бесконечно много, и, очевидно, они все между собой равны не будут. 

[severe]

\((e^{2\pi in})^{i\pi}=e^{-2\pi^2n}\) , таких значений будет бесконечно много, и, очевидно, они все между собой равны не будут. 

А для n=1, как в моём случае, таких значений будет ровно одно
\((e^{2\pi i})^{i\pi}=e^{-2\pi^2}\)

значение \(e^{2\pi i}\) всегда равно 1

Значит единицу всегда можно заменять на \(e^{2\pi i}\), которое является однозначным представлением единицы, поскольку в нём \( n=1 \).

В этом смысле у \(1^{i\pi}\) , если под 1 здесь понимать основное представление числа 1, т.е. \(e^0\), будет единственное значение, равное -1, а если брать все представления, то значений будет много, как выше.

Вы доказали, что представление \( 1=e^{2\pi in} \) при n=0 не приводит к абсурду. Я доказал, что представление  \( 1=e^{2\pi in} \) при n=1 приводит к абсурду.

нужно осознавать, что \(e^{2\pi i}\) - это многозначное показательное представление комплексного числа, а 1 - его значение

\(e^{2\pi in}=1\) - вот многозначное показательное представление комплексного числа, а 1 - его значение. При n=1 получаем однозначное показательное представление комплексного числа, а 1 - его значение \(e^{2\pi i}=1\), при n=0 тоже получаем однозначное показательное представление комплексного числа \(e^{2\pi i\cdot 0}=1\).

[Andrey_R]

А для n=1, как в моём случае, таких значений будет ровно одно

Нет, в вашем случае будет n=0, а не 1

Вы доказали, что представление \( 1=e^{2\pi in} \) при n=0 не приводит к абсурду. Я доказал, что представление  \( 1=e^{2\pi in} \) при n=1 приводит к абсурду.

Нет, ничто к абсурду не приводит. Просто вы не привыкли к многозначности степенных функций комплексного аргумента.
Вы же не считаете абсурдом, что у \(1^{1/3}\) три значения - 1 и \(\pm e^{2\pi i/3} \)? Или по-прежнему считаете?
Так вот если вместо 1/3 взять иррациональное число, например \(\pi или i\pi , или e\), то этих значений будет бесконечно много (по числу представлений, если нет вырождения). 

Ещё поясню: если 1 - это одновременно и само комплексное число, и одно из его представлений, основное (e⁰ или cos0+i sin0), то  \(e^{2\pi i} \) - это только одно из представлений числа 1.  Поэтому, чтобы избежать "абсурда", нужно помнить, что разные представления при возведении в нецелую степень в общем случае дают разные значения, и для сохранения равенства нужно брать одно представление.
например, 1, e⁰ и  cos0+i sin0 - это в этом смысле одно представление, записанное по-разному, а  \(e^{2\pi i} \) - другое (с другим аргументом).

e2πin=1 - вот многозначное показательное представление комплексного числа, а 1 - его значение. При n=1 получаем однозначное показательное представление комплексного числа, а 1 - его значение e2πi=1, при n=0 тоже получаем однозначное показательное представление комплексного числа e2πi⋅0=1.

Эту описку я исправил.

[severe]

Нет, в вашем случае будет n=0, а не 1

Нет, ничто к абсурду не приводит. Просто вы не привыкли к многозначности степенных функций комплексного аргумента.
Вы же не считаете абсурдом, что у \(1^{1/3}\) три значения - 1 и \(\pm e^{2\pi i/3} \)? Или по-прежнему считаете?
Так вот если вместо 1/3 взять иррациональное число, например \(\pi или i\pi , или e\), то этих значений будет бесконечно много (по числу представлений, если нет вырождения).

При доказательстве неверности тождества Эйлера, Вы запретили мне пользоваться тождеством Эйлера \( 1=e^{2\pi i} \), а приказали пользоваться тождеством \( 1=e^0 \).
Тождество Эйлера:
\( -1=e^{\pi i} \)
\( (-1)^2=(e^{\pi i})^2 \)
\( 1=e^{2\pi i} \).
Почему нельзя пользоваться тождеством Эйлера при доказательстве его неверности?

[severe]

Доказательство неверности тождества Эйлера.

Тождество Эйлера
\( -1=e^{i\pi} \)
Разделим на \( e^{i\pi} \)
\( -\frac{1}{e^{i\pi}}=1 \)
\( \frac{1}{e^{i\pi}}=-1 \)
\( \frac{1}{e^{i\pi}}=e^{i\pi} \)
\( e^{-i\pi}=e^{i\pi} \)
\( (e^{-1})^{i\pi}=e^{i\pi} \)
\( (\frac{1}{e})^{i\pi}=e^{i\pi} \)
\( (\frac{(-1)\cdot(-1)}{e})^{i\pi}=e^{i\pi} \)
\( \frac{((-1)\cdot(-1))^{i\pi}}{e^{i\pi}}=e^{i\pi} \)
\( \frac{(-1)^{i\pi}(-1)^{i\pi}}{e^{i\pi}}=e^{i\pi} \)
\( \frac{(e^{ i\pi})^{ i\pi}(e^{i\pi})^{ i\pi}}{e^{i\pi}}=e^{i\pi} \)
\( \frac{e^{ -\pi^2}e^{-\pi^2}}{e^{i\pi}}=e^{i\pi} \)
\( \frac{e^{-2\pi^2}}{e^{i\pi}}=e^{i\pi} \)
\( e^{-2\pi^2}=e^{i\pi}\cdot e^{i\pi}=(-1)\cdot(-1)=1 \)

\( e^{-2\pi^2}=1 \)

https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%BE%D0%B6%D0%B4%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE_%D0%AD%D0%B9%D0%BB%D0%B5%D1%80%D0%B0_(%D0%BA%D0%BE%D0%BC%D0%BF%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7)

[severe]

Вы же не считаете абсурдом, что у \(1^{1/3}\) три значения - 1 и \(\pm e^{2\pi i/3} \)? Или по-прежнему считаете?
Так вот если вместо 1/3 взять иррациональное число, например \(\pi или i\pi , или e\), то этих значений будет бесконечно много.

Приведите хоть одно отличное от единицы значение выражения \( e^{2\pi i} \).

Ещё поясню: если 1 - это одновременно и само комплексное число, и одно из его представлений, основное (e⁰ или cos0+i sin0), то  \(e^{2\pi i} \) - это только одно из представлений числа 1.  Поэтому, чтобы избежать "абсурда", нужно помнить, что разные представления при возведении в нецелую степень в общем случае дают разные значения, и для сохранения равенства нужно брать одно представление.
например, 1, e⁰ и  cos0+i sin0 - это в этом смысле одно представление, записанное по-разному, а  \(e^{2\pi i} \) - другое (с другим аргументом).

Я брал для числа 1 одно представление \(1=e^{2\pi i} \).
Я переписал доказательство неверности тождества Эйлера. В нём я вообще теперь не трогаю единицу, трогаю только минус единицу с помощью тождества Эйлера \( -1=e^{i\pi} \).

[Andrey_R]

При доказательстве неверности тождества Эйлера, Вы запретили мне пользоваться тождеством Эйлера \( 1=e^{2\pi i} \), а приказали пользоваться тождеством \( 1=e^0 \).
Тождество Эйлера:
\( -1=e^{\pi i} \)
\( (-1)^2=(e^{\pi i})^2 \)
\( 1=e^{2\pi i} \).
Почему нельзя пользоваться тождеством Эйлера при доказательстве его неверности?

Всё правильно. Степенные функции целых степеней однозначные, тождества пр возведении в целые степени сохраняются.
А степенные функции нецелых степеней неоднозначные, при возведении в нецелую степень тождества могут нарушаться, поэтому и использовать их для доказательства верности или неверности нельзя.

[Andrey_R]

Приведите хоть одно отличное от единицы значение выражения e2πi.

Выражение \(e^{2\pi i}\), пока оно рассматривается как одно из показательных представлений числа 1, имеет, конечно, единственное значение, равное 1. Но это только до тех пор, пока вы не начали представлять е в этом выражении как  \(e^{1+2\pi i}\) , \(e^{1+4\pi i}\) и т.д.
Тогда вы получите ваш любимый "абсурд", т.к. ваше выражение будет иметь значение соответственно \(e^{-4\pi^2}\), \(e^{-8\pi^2}\) и т.д.
Вывод - с нецелыми степенями надо обращаться осторожно, разные представления одного числа при возведении в нецелую степень дают разные значения.

[severe]

Выражение \(e^{2\pi i}\), пока оно рассматривается как одно из показательных представлений числа 1, имеет, конечно, единственное значение, равное 1. Но это только до тех пор, пока вы не начали представлять е в этом выражении как  \(e^{1+2\pi i}\) , \(e^{1+4\pi i}\) и т.д.
Тогда вы получите ваш любимый "абсурд", т.к. ваше выражение будет иметь значение соответственно \(e^{-4\pi^2}\), \(e^{-8\pi^2}\) и т.д.
Вывод - с нецелыми степенями надо обращаться осторожно, разные представления одного числа при возведении в нецелую степень дают разные значения.

Если тождество Эйлера верно, то во всех уравнениях, полученных из тождества Эйлера можно заменить \( -1 \) на \( e^{i\pi} \), и всё должно быть ОК.
См. доказательство неверности тождества Эйлера. Теперь в нём все уравнения получены из тождества Эйлера.
Если я при доказательстве неверности тождества Эйлера не буду пользоваться тождеством Эйлера, как Вы меня об этом просите, то я не докажу неверность тождества Эйлера.
Не допустить доказательство неверности тождества Эйлера путём запрета использования тождества Эйлера во время доказательства его неверности

[Andrey_R]

то во всех уравнениях

Про "во всех уравнениях" - ошибочное утверждение.
Вы же не будете отрицать, что  \(1= e^{\pm 2\pi i} \) - тоже тождество?
А теперь возведите это тождество в степень 1/2 или 1/3, например. 
Надеюсь, вы не будете утверждать что результат докажет, что  \(1\neq  e^{\pm2\pi i} \)
В использовании любых тождеств "есть нюансы", как говорит Ост. 

[severe]

Про "во всех уравнениях" - ошибочное утверждение.
Вы же не будете отрицать, что  \(1=\pm e^{2\pi i} \) - тоже тождество?
А теперь возведите это тождество в степень 1/2 или 1/3, например. 
Надеюсь, вы не будете утверждать что результат докажет, что  \(1\neq \pm e^{2\pi i} \)
В использовании любых тождеств "есть нюансы", как говорит Ост.

Я знаю тождество \(1=e^{2\pi i} \), тождества \(1=-e^{2\pi i} \) я не знаю, докажите.
\( 1^{i\pi}\neq (e^{2\pi i})^{i\pi} \), если для \( 1 \) используется представление \( e^{2\pi i\cdot 0} \), если для \( 1 \) используется представление \( e^{2\pi i} \), то \( 1^{i\pi}= (e^{2\pi i})^{i\pi} \). Я для \( 1 \) использовал представление \( e^{2\pi i} \).
Почему для \( 1 \) нельзя использовать представление \( e^{2\pi i} \)? Потому что тогда можно будет доказать неверность тождества Эйлера?

[severe]

В использовании любых тождеств "есть нюансы", как говорит Ост. 

В использовании тождества \( 0\cdot i=0 \) нюансов нет. Если Ост увидел в нём какие-то нюансы, то он философ.
Ост не согласен с тем, что все вещественные числа лежат на реальной оси комплексной плоскости, что у любого вещественного числа мнимая часть - ноль, что любое вещественное число - комплексное.

Вы похоже несогласны с тем, что комплексное число с нулевой мнимой частью - это вещественное число.

Согласен, но не всегда.

То есть, у Оста есть вещественные числа, не являющиеся комплексными с нулевой мнимой частью.

[severe]

В выражении \(e^{-2\pi~n}~-\) нет \(i~0\).
Вы преобразовали степень в скаляр \(i \cdot i = - 1\).

Нельзя забывать о математическом, физическом смысле выражений при решении задачи.

\( i \cdot i=(0+1i)^2=-1+2\cdot0\cdot i=-1+0\cdot i \)
\( (e^{2\pi n (0+1i)})^{0+1i}=e^{2\pi n (0+1i)^2}=e^{2\pi n(-1+0\cdot i)}=e^{-2\pi n+2\pi n\cdot 0\cdot i}=e^{-2\pi n+0\cdot i}=e^{-2\pi n+0}=e^{-2\pi n} \)
В выражении \( e^{-2\pi n} \) есть \( 0\cdot i \), он там просто опущен, потому что равен нулю.

[severe]

В выражении \(e^{-2\pi~n}~-\) нет \(i~0\).
Вы преобразовали степень в скаляр \(i \cdot i = - 1\).

Нельзя забывать о математическом, физическом смысле выражений при решении задачи.

\( i \cdot i=(0+1i)^2=-1+2\cdot0\cdot i=-1+0\cdot i \)
\( (e^{2\pi n (0+1i)})^{0+1i}=e^{2\pi n (0+1i)^2}=e^{2\pi n(-1+0\cdot i)}=e^{-2\pi n+2\pi n\cdot 0\cdot i}=e^{-2\pi n+0\cdot i}=e^{-2\pi n+0}=e^{-2\pi n} \)
В выражении \( e^{-2\pi n} \) есть \( 0\cdot i \), он там просто опущен, потому что равен нулю.

[Andrey_R]

Я знаю тождество \(1=e^{2\pi i} \), тождества \(1=-e^{2\pi i} \) я не знаю, докажите.
\( 1^{i\pi}\neq (e^{2\pi i})^{i\pi} \), если для \( 1 \) используется представление \( e^{2\pi i\cdot 0} \), если для \( 1 \) используется представление \( e^{2\pi i} \), то \( 1^{i\pi}= (e^{2\pi i})^{i\pi} \). Я для \( 1 \) использовал представление \( e^{2\pi i} \).
Почему для \( 1 \) нельзя использовать представление \( e^{2\pi i} \)? Потому что тогда можно будет доказать неверность тождества Эйлера?

Спасибо за замеченные опечатки.

Для 1 можно использовать любые представления, но только там, где это уместно, Возведение в нецелую степень - не тот случай. ТФКП - отдельный раздел математики. Не все правила вещественных чисел автоматически переносятся на комплексные, они доказываются, и у некоторых из них, как оказывается, появляются особенности и ограничения. 

[Andrey_R]

В использовании тождества \( 0\cdot i=0 \) нюансов нет. Если Ост увидел в нём какие-то нюансы, то он философ.
Ост не согласен с тем, что все вещественные числа лежат на реальной оси комплексной плоскости, что у любого вещественного числа мнимая часть - ноль, что любое вещественное число - комплексное.То есть, у Оста есть вещественные числа, не являющиеся комплексными с нулевой мнимой частью.

Я не про эти конкретные нюансы, а про нюансы вообще. Они есть.

[severe]

Спасибо за замеченные опечатки.

Для 1 можно использовать любые представления, но только там, где это уместно, Возведение в нецелую степень - не тот случай. ТФКП - отдельный раздел математики. Не все правила вещественных чисел автоматически переносятся на комплексные, они доказываются, и у некоторых из них, как оказывается, появляются особенности и ограничения.

Какое представление для \( -1 \) надо использовать, если надо найти \( (-1)^{i\pi} \), как в последней редакции доказательства неверности тождества Эйлера? \( -1 \) не представить как \( e^0 \).
\( (-1)^{i\pi}=(e^{i\pi})^{i\pi}=e^{-\pi^2} \)

[Иван Горин]

\( 1^i=(e^{2\pi ni})^i=e^{-2\pi n} \), \( n \in \mathbb{N} \)

\(1^i=(1+0i)^{(0+i)}=z=x+iy\)
\((0+i)\ln(1+0i)=\ln z\)
\(\displaystyle (i\ln (\sqrt{1^2+0^2}e^{i(arctg\frac{0}{1}+2k\pi )})=\ln (x+iy)\)

\(\displaystyle (i\ln (\sqrt{1^2+0^2}+ii(arctg\frac{0}{1}+2k\pi ))=\ln (\sqrt{x^2+y^2})+i(arctg\frac{y}{x}+2k\pi )\)

\(\displaystyle (0+(0+2k\pi ))=\ln (\sqrt{x^2+y^2})+i(arctg\frac{y}{x}+2k\pi )\)

\(arctg\frac{y}{x}+2k\pi=0\)

\(y=0\)

\(\ln (\sqrt{x^2+y^2}=2k\pi\)

\(\ln x=2k\pi\)

\( x=e^{2k\pi}\)

\( 1^i=e^{2k\pi}\)


\(k=0;\pm1;\pm2...\)

[severe]

\(1^i=(1+0i)^{(0+i)}=z=x+iy\)
\((0+i)\ln(1+0i)=\ln z\)
\(\displaystyle (i\ln (\sqrt{1^2+0^2}e^{i(arctg\frac{0}{1}+2k\pi )})=\ln (x+iy)\)

\(\displaystyle (i\ln (\sqrt{1^2+0^2}-(arctg\frac{0}{1}+2k\pi ))=\ln (\sqrt{x^2+y^2})+i(arctg\frac{y}{x}+2k\pi )\)

\(\displaystyle (0-(0+2k\pi ))=\ln (\sqrt{x^2+y^2})+i(arctg\frac{y}{x}+2k\pi )\)

\(arctg\frac{y}{x}+2k\pi=0\)

\(y=0\)

\(\ln (\sqrt{x^2+y^2}=-2k\ pi\)

\(\ln x=-2k\ pi\)

\( x=e^{-2k\pi}\)

\( 1^i=e^{-2k\pi}\)


\(k=0;\pm1;\pm2...\)

Исправляюсь
\( 1^i=(e^{2\pi ni})^i=e^{-2\pi n} \), \( n \in \mathbb{Z} \)
\( e^{-2\pi ni}=e^{2\pi ni}=1 \)

[Andrey_R]

Какое представление для \( -1 \) надо использовать, если надо найти \( (-1)^{i\pi} \), как в последней редакции доказательства неверности тождества Эйлера? \( -1 \) не представить как \( e^0 \).
\( (-1)^{i\pi}=(e^{i\pi})^{i\pi}=e^{-\pi^2} \)

До тех пор, пока \(i\pi\) - это фаза в представлении числа, а 1 и е - это представления этих чисел с нулевой фазой, всё нормально:
...
\( (e^{-1})^{i\pi}=e^{i\pi} \)
\( (\frac{1}{e})^{i\pi}=e^{i\pi} \)

А дальше фактически декларируется, что \(i\pi\) - это уже не фаза в представлении числа, а степень. Так тоже можно, но с этого момента нужно следить за тем, чтобы преобразования основания давали результат в этом же представлении, т.е. давали в основании  \((\frac{1}{e})^{1+0i\pi}\)

Проведённая же замена 1=(-1)(-1) делает подмену  \((\frac{1}{e})^{1+0i\pi}\) на \((\frac{1}{e})^{1+2i\pi}\), что, естественно, потом приводит к противоречию.
Поэтому такую замену здесь делать нельзя.
Вместо этого надо применять \(1= e^{i\pi}e^{-i\pi}\). Ну или брать любые другие представления -1, произведение которых даёт бесфазовую единицу.