Север троллит Эйлера

[Ost]

\( i \cdot i=(0+1i)^2=-1+2\cdot0\cdot i=-1+0\cdot i \)
\( (e^{2\pi n (0+1i)})^{0+1i}=e^{2\pi n (0+1i)^2}=e^{2\pi n(-1+0\cdot i)}=e^{-2\pi n+2\pi n\cdot 0\cdot i}=e^{-2\pi n+0\cdot i}=e^{-2\pi n+0}=e^{-2\pi n} \)
В выражении \( e^{-2\pi n} \) есть \( 0\cdot i \), он там просто опущен, потому что равен нулю.

\(i \cdot i~-\) скалярное произведение. Возведение комплексного числа в квадрат не скалярное произведение.
\(i \cdot \overline i=i \cdot (-i)=-i \cdot i=1\).
\(i \cdot i=-1\).
Скалярное произведение по определению есть произведение модулей на косинус.
Модули по определению не содержат \(i \cdot 0\). Угол в косинусе скаляр.
Возведение выражения в степень \(i\), где в степени уже есть \(i\) преобразует вектор в скаляр.
Формальное приравнивание вектора и скаляра ошибка.
У них разная структура.
\(1^i=e^{ln(1)~i+2\pi~i~n}=e^{i \cdot (0+2\pi~n)}=e^{i~2\pi~n}=cos(0+2\pi~n)+i~sin(0+2\pi~n)=1+i~0\).
\(|1^i|=1\).

\(|(x+i~y)|^2=(x+i~y) \overline{(x+i~y)}=(x+i~y)(x-i~y)=x^2+y^2\).
\((x+i~y)^2=(x+i~y)(x+i~y)=x^2-y^2+i~2~x~y\).

Для скаляра \(a^2=|a|^2\). Для комплексных чисел это не выполняется.

[severe]

Проведённая же замена 1=(-1)(-1) делает подмену  \((\frac{1}{e})^{0i\pi}\) на \((\frac{1}{e})^{2i\pi}\), что, естественно, потом приводит к противоречию.
Поэтому такую замену здесь делать нельзя.

Нельзя делать замену 1=(-1)(-1), иначе будет доказана неверность тождества Эйлера?

Вместо этого надо применять \(1= e^{i\pi}e^{-i\pi}\). Ну или брать любые другие представления -1, произведение которых даёт бесфазовую единицу.

Приведите одно представление -1, квадрат которого даёт бесфазовую единицу.
\( -1=e^{i\pi} \)
\( (-1)^2=(e^{i\pi})^2 \)
\( 1=e^{2\pi i} \)

[Andrey_R]

Нельзя делать замену 1=(-1)(-1), иначе будет доказана неверность тождества Эйлера?.

Такую замену можно делать, если это значение. Нельзя потом для  этих -1 выбирать неправильные представления.
Вы в процессе преобразований заменяете 1 с нулевой фазой на 1 с фазой 2пи, а потом пытаетесь возводить это в нецелую степень, при этом хотите, чтобы результат сохранился. Так не бывает.   

Приведите одно представление -1, квадрат которого даёт бесфазовую единицу.

Зачем? Таких представлений нет, это всем известно.

[severe]

Такую замену можно делать, если это значение. Нельзя потом для  этих -1 выбирать неправильные представления.

Так и скажите. Тождество Эйлера не всегда правильное. Иногда нельзя заменять \( -1 \) на \( e^{i\pi} \).

[Andrey_R]

Так тождество Эйлера неправильное? В уравнении, полученном из тождества Эйлера?

Тождество Эйлера правильное. Но ещё нужно правильно обращаться с комплексными числами, в частности там, где это касается возведения в нецелые степени, так как при этом появляется многозначность, и из множества значений нужно уметь правильно выбирать нужные. Все значения многозначных функций не могут быть равными, попытки доказывать обратное бессмысленны.

[severe]

Тождество Эйлера правильное. Но ещё нужно правильно обращаться с комплексными числами, в частности там, где это касается возведения в нецелые степени, так как при этом появляется многозначность, и из множества значений нужно уметь правильно выбирать нужные. Все значения многозначных функций не могут быть равными, попытки доказывать обратное бессмысленны.

Так и скажите. Тождество Эйлера не всегда правильное. Иногда нельзя заменять \( -1 \) на \( e^{i\pi} \). В частности в уравнении, полученном из тождества Эйлера.

[Andrey_R]

Так и скажите. Тождество Эйлера не всегда правильное. Иногда нельзя заменять \( -1 \) на \( e^{i\pi} \). В частности в уравнении, полученном из тождества Эйлера.

Кроме тождества Эйлера существует ещё много.

\(-1=e^{i\pi}=e^{-i\pi}=e^{3i\pi}=e^{-3i\pi}=...\)

И они все в равной степени правильные. Но не во всех преобразованиях любое из них можно использовать произвольно, потому что не все операции с комплексными числами можно использовать так же свободно, как и с действительными. К счастью, таких операций немного, и если не умеете их применять, то лучше и не надо. Сначала полезно прочитать какой-нибудь учебник по ТФКП. 

[Иван Горин]

\(1^i=(1+0i)^{(0+i)}=z=x+iy\)
\((0+i)\ln(1+0i)=\ln z\)
\(\displaystyle (i\ln (\sqrt{1^2+0^2}e^{i(arctg\frac{0}{1}+2k\pi )})=\ln (x+iy)\)

\(\displaystyle (i\ln (\sqrt{1^2+0^2}+ii(arctg\frac{0}{1}+2k\pi ))=\ln (\sqrt{x^2+y^2})+i(arctg\frac{y}{x}+2k\pi )\)

\(\displaystyle (0+(0+2k\pi ))=\ln (\sqrt{x^2+y^2})+i(arctg\frac{y}{x}+2k\pi )\)

\(arctg\frac{y}{x}+2k\pi=0\)

\(y=0\)

\(\ln (\sqrt{x^2+y^2}=2k\pi\)

\(\ln x=2k\pi\)

\( x=e^{2k\pi}\)

\( 1^i=e^{2k\pi}\)


\(k=0;\pm1;\pm2...\)

Всё у меня неправильно. Функции комплексного переменного - сложный раздел математики.

Формулы из справочника по математике Корнов.

1. \(a^{ix}=e^{ix \ln a}=\cos(x\ln a)+i\sin(x\ln a)\)
При a=1, x=1
\(1^{i}=e^{i \ln 1}=\cos(1\ln 1)+i\sin(1\ln 1)=\cos0+i\sin0=1\)

2. \(i^x=e^{x\ln i}=\cos\left ( \frac{\pi x}{2} \right )+ i\sin\left ( \frac{\pi x}{2} \right )\) - главное значение

3. \(e^{2\pi ni}=1\); \(e^{(2n+1)\pi i}=-1\),  \(n=0; \pm1; \pm2...\)

4. \(i^i=e^{i\ln i}=e^{-\pi/2}\) - главное значение.

[severe]

Кроме тождества Эйлера существует ещё много.

\(-1=e^{i\pi}=e^{-i\pi}=e^{3i\pi}=e^{-3i\pi}=...\)

И они все в равной степени правильные. Но не во всех преобразованиях любое из них можно использовать произвольно, потому что не все операции с комплексными числами можно использовать так же свободно, как и с действительными. К счастью, таких операций немного, и если не умеете их применять, то лучше и не надо. Сначала полезно прочитать какой-нибудь учебник по ТФКП.

Если в каком-нибудь уравнении \( -1\neq e^{i\pi} \), то тождество Эйлера неверно.

Вы доказали, что \( -1\neq e^{i\pi} \) в уравнении \( \frac{(-1)^{i\pi}(-1)^{i\pi}}{e^{i\pi}}=e^{i\pi} \), полученном из тождества Эйлера.
Вы доказали неверность тождества Эйлера.

[severe]

\(i \cdot i~-\) скалярное произведение.
\(i \cdot i=-1\).

\((x+i~y)^2=(x+i~y)(x+i~y)=x^2-y^2+i~2~x~y\).

\( i=0+i~1 \)
\( i\cdot i=i^2=(0+i~1)^2=0^2-1^2+i~2\cdot 0\cdot1=-1+i~0 \)

[Иван Горин]

Сначала полезно прочитать какой-нибудь учебник по ТФКП. 

ВЕРНО. И особое внимание уделить разделу о вычетах.
Нам читали это на третьем курсе.

[Ost]

\( i=0+i~1 \)
\( i\cdot i=i^2=(0+i~1)^2=0^2-1^2+i~2\cdot 0\cdot1=-1+i~0 \)

Это частное совпадение со скалярным произведением.
В более общем случае этого не так
\((1-i)^2=-2i\).
\((1-i)\overline{(1-i)}=(1-i)(1+i)=2\).

\(i\cdot i~-\) скалярный объект.
Он выполняет функцию коммутатора, т.е. переносит информацию с мнимой оси на действительную.
Поэтому по строгой математической логике не должен содержать признаков вектора.
Признаки другой оси исключаются.

[Andrey_R]

ВЕРНО. И особое внимание уделить разделу о вычетах.
Нам читали это на третьем курсе.

Нам тоже на третьем. Только почему именно разделу о вычетах? Там много интересного, а по теме этого обсуждения лучше начинать с самого начала.

[severe]

Это частное совпадение со скалярным произведением.
В более общем случае этого не так
\((1-i)^2=-2i\).
\((1-i)\overline{(1-i)}=(1-i)(1+i)=2\).

\(i\cdot i~-\) скалярный объект.
Он выполняет функцию коммутатора, т.е. переносит информацию с мнимой оси на действительную.
Поэтому по строгой математической логике не должен содержать признаков вектора.
Признаки другой оси исключаются.

По строгой математической логике \( i\neq 0+1i \)?
Если всё-таки равно, то \( i\cdot i=i^2=(0+i~1)^2=0^2-1^2+i~2\cdot 0\cdot1=-1+i~0 \).
\( i^2 \) - это, по-Вашему, вещественное число, не принадлежащее комплексной плоскости?

[Иван Горин]

Нам тоже на третьем. Только почему именно разделу о вычетах? Там много интересного, а по теме этого обсуждения лучше начинать с самого начала.

Вычеты для меня самый сложный раздел.
А по теме, действительно, лучше с самого начала теории комплексного переменного.

[severe]

Нам тоже на третьем. Только почему именно разделу о вычетах? Там много интересного, а по теме этого обсуждения лучше начинать с самого начала.

Вы доказали, что \( -1\neq e^{i\pi} \) в уравнении \( \frac{(-1)^{i\pi}(-1)^{i\pi}}{e^{i\pi}}=e^{i\pi} \)

[severe]

\( (e^{i\pi}\cdot e^{i\pi})^{i\pi}=(e^{2\pi i})^{i\pi}=e^{-2\pi^2} \)
\( (e^{i\pi}\cdot e^{i\pi})^{i\pi}=(e^{i\pi}\cdot e^{-i\pi})^{i\pi}=e^{0i\pi}=e^0=1 \)
\( (e^{i\pi}\cdot e^{i\pi})^{i\pi}\neq(e^{i\pi}\cdot e^{i\pi})^{i\pi} \)

[Andrey_R]

\( (e^{i\pi}\cdot e^{i\pi})^{i\pi}\neq(e^{i\pi}\cdot e^{i\pi})^{i\pi} \)

\( (1=e^0=e^{0i\pi}=(e^{i\pi}\cdot e^{-i\pi})^{i\pi}\neq (e^{i\pi}\cdot e^{i\pi})^{i\pi}=(e^{2\pi i})^{i\pi}=e^{-2\pi^2} \)

[severe]

\( (1=e^0=e^{0i\pi}=(e^{i\pi}\cdot e^{-i\pi})^{i\pi}\neq (e^{i\pi}\cdot e^{i\pi})^{i\pi}=(e^{2\pi i})^{i\pi}=e^{-2\pi^2} \)

\( e^{-i\pi}=e^{i\pi} \)
\( 1=e^0=e^{0i\pi}=(e^{i\pi}\cdot e^{-i\pi})^{i\pi}=(e^{i\pi}\cdot e^{i\pi})^{i\pi}=(e^{2\pi i})^{i\pi}=e^{-2\pi^2} \)

[Иван Горин]

Формулы из справочника по математике Корнов.

1. \(a^{ix}=e^{ix \ln a}=\cos(x\ln a)+i\sin(x\ln a)\)
При a=1, x=1
\(1^{i}=e^{i \ln 1}=\cos(1\ln 1)+i\sin(1\ln 1)=\cos0+i\sin0=1\)

2. \(i^x=e^{x\ln i}=\cos\left ( \frac{\pi x}{2} \right )+ i\sin\left ( \frac{\pi x}{2} \right )\) - главное значение

3. \(e^{2\pi ni}=1\); \(e^{(2n+1)\pi i}=-1\),  \(n=0; \pm1; \pm2...\)

4. \(i^i=e^{i\ln i}=e^{-\pi/2}\) - главное значение.

Общая формула
\(\displaystyle z_1^{z_2}\)
\(z_1=x_1+iy_1\)
\(z_2=x_2+iy_2\)

\(\displaystyle z_1^{z_2}=e^{\left [ x_2\ln \left| z_1\right| -y_2\left ( arctg \frac{y_1}{x_1} +2k\pi \right ) \right ] }\left ( \cos\alpha +i\sin\alpha  \right )\)

\(\displaystyle \alpha=y_2\ln \left| z_1\right| +x_2\left ( arctg \frac{y_1}{x_1} +2k\pi \right ) \)

Пример: \(i^i\)
\(z_1=0+i\)
\(z_2=0+i\)
\(x_1=x_2=0\), \(y_1=y_2=1\), \(\left| z_1\right|=1\)
\(arctg \frac{y_1}{x_1}=\pi/2,\,\alpha=0\)

\(i^i=e^{\left [ -\left ( \pi/2 +2k\pi \right ) \right ] }\left ( \cos 0 +i\sin 0  \right )\)
Главное значение:
\(i^i=e^{-\pi/2 }\)