x^y=y^x

[Иван Горин]

Эта задача была на олимпиаде американских школьников.
\(x^y=y^x\)
Найти все возможные  значения  x и y.

[Andrey_R]

Эта задача была на олимпиаде американских школьников.
\(x^y=y^x\)
Найти все возможные  значения  x и y.

Здесь было бы не вредно понять, на множестве каких чисел требуется искать все возможные значения -  на множестве целых чисел, например, их будет совсем немного, а на множестве действительных, а тем более комплексных описать все возможные решения будет очень трудно. 

В целых числах - любая пара одинаковых: (n ; n), а также (2 ; 4), (4 ; 2), (-2 ; - 4), (-4 ; - 2).

[Иван Горин]

Здесь было бы не вредно понять, на множестве каких чисел требуется искать все возможные значения -  на множестве целых чисел, например, их будет совсем немного, а на множестве действительных, а тем более комплексных описать все возможные решения будет очень трудно. 

В целых числах - любая пара одинаковых: (n ; n), а также (2 ; 4), (4 ; 2), (-2 ; - 4), (-4 ; - 2).

Надо найти все решения на множестве комплексных чисел.
Множество комплексных чисел включает - целые, натуральные, рациональные, вещественные и комплексные.
Решение есть. И оно простое.
И проверка - простая.
Пример решения в области комплексных чисел:
\(x=-i,y=i\)
В области иррациональных чисел:
\(x=\sqrt{3},\,y=3\sqrt{3}\)

Подставь в исходное уравнение и проверь тождество.
В задаче требуется найти общую формулу для x и y.

[Andrey_R]

Пример решения в области комплексных чисел:
x=−i,y=i
В области иррациональных чисел:
x=3–√,y=33–√

Ну эти примеры понятны, там более, что похожие раньше уже приводились - см. ]http://bolshoyforum.com/forum/index.php?action=post;quote=10296873;topic=618750.0;last_msg=10297088]

Пример решения в области комплексных чисел:
x=−i,y=i
В области иррациональных чисел:
x=3–√,y=33–√

Ну эти примеры понятны, там более, что похожие раньше уже приводились - см. http://bolshoyforum.com/forum/index.php?action=post;quote=10296873;topic=618750.0;last_msg=10297088

В таком случае, если, нвпример, ввести параметр s, такой, что у=sx, и для заданного s  найти x и у, то получится:

\(\frac{\ln(x)}{x}=\frac{\ln(y)}{y}\)
\(\frac{\ln(x)}{x}=\frac{\ln(sx)}{sx}\)

\(s\ln(x)=\ln(s)+\ln(x)\)
\(\ln(x)=\frac{\ln(s)}{s-1}\)
\(x=s^\frac{1}{s-1}\), \(y=sx=s^\frac{s}{s-1}\)

И ваши примеры получаются при s=3 и s=-1:
s=3: \(x=3^\frac{1}{2}=\sqrt{3}, y=3\sqrt{3}\)
s=-1: \(x=(-1)^\frac{1}{-2}=\pm i, y=(-1)^\frac{1}{2}=-\pm i\)

[Дробышев]

\(y^x=x^y, \qquad \displaystyle \frac{\ln y}{y}=\frac{\ln x}{x}.\)

Подстановка \(y=e^{-z}\): \(\displaystyle z e^z=-\frac{\ln x}{x}\). Решений уравнения \(z e^z=a\) в комплексной области бесконечно много: \(z_k=W_k(a)\), где \(W_k(a)\) - \(k\)-я комплексная ветвь \(W\)-функции Ламберта, \(k=\ldots,\,-2,\,-1,\,0,\,1,\,2,\,\ldots\) Окончательно,

\(\displaystyle z_k=W_k\left(-\frac{\ln x}{x}\right), \qquad y_k=\exp\left[-W_k\left(-\frac{\ln x}{x}\right)\right]\).

Одно из значений \(y_k\) (при \(k=0\) или при \(k=-1\)) совпадает с \(x\).

[Дробышев]

Берем от балды какое-либо комплексное число, к примеру, \(x=i\). Тогда

\(\displaystyle a=-\frac{\ln i}{i}=i\ln e^{i\pi /2}=-\frac{\pi}{2}.\)

В Математике \(W_k(a)\) кодируется как ProductLog[k,a]. В итоге \(y_{-1}=y^*_0=i\), \(y_{-2}=y^*_1=1{,}02132+4{,}86835i\), \(y_{-3}=y^*_2=1{,}39951+8{,}90071i\) и т.д.

[Иван Горин]

Берем от балды какое-либо комплексное число, к примеру, \(x=i\). Тогда

\(\displaystyle a=-\frac{\ln i}{i}=i\ln e^{i\pi /2}=-\frac{\pi}{2}.\)

В Математике \(W_k(a)\) кодируется как ProductLog[k,a]. В итоге \(y_{-1}=y^*_0=i\), \(y_{-2}=y^*_1=1{,}02132+4{,}86835i\), \(y_{-3}=y^*_2=1{,}39951+8{,}90071i\) и т.д.

Проверка
x=i
\(y_{-2}=y^*_1=1{,}02132+4{,}86835i\)
\(x^y=y^x\)
\(x^y=i^{(1,02132+4,86835i)}=0.000477385e^{1,604286i}\) Главное значение

\(y^x=(1,02132+4,86835i)^i=0,2556343*4.97433^i=0,2556343e^{1,58398i}\)

Как видим не совпадают ни модули, ни направления векторов.

[Иван Горин]

Проверка
x=i
\(y_{-2}=y^*_1=1{,}02132+4{,}86835i\)
\(x^y=y^x\)
\(x^y=i^{(1,02132+4,86835i)}=0.000477385e^{1,604286i}\) Главное значение

\(y^x=(1,02132+4,86835i)^i=0,2556343*4.97433^i=0,2556343e^{1,58398i}\)

Как видим не совпадают ни модули, ни направления векторов.

Проверка для второго значения следует.

[Иван Горин]

Берем от балды какое-либо комплексное число, к примеру, \(x=i\). Тогда

\(\displaystyle a=-\frac{\ln i}{i}=i\ln e^{i\pi /2}=-\frac{\pi}{2}.\)

В Математике \(W_k(a)\) кодируется как ProductLog[k,a]. В итоге \(y_{-1}=y^*_0=i\), \(y_{-2}=y^*_1=1{,}02132+4{,}86835i\), \(y_{-3}=y^*_2=1{,}39951+8{,}90071i\) и т.д.

\(\displaystyle y_{2}^{*}\approx 1,4+8,9i\)
\(\displaystyle (1,4+8,9i)^{i}\approx 9e^{1,415i}\)
\(\displaystyle i^{(1,4+8,9i)}\approx 8,3*10^{-7}e^{2,2i}\)
\(\displaystyle (y_{2}^{*})^i\neq i^{y_{2}^{*}}\)
Для данного уравнения подходят только два значения функции Ламберта.
\(\displaystyle W_{-1}\left (- \frac{\pi }{2} \right )=\pm i\frac{\pi }{2}\)

[Иван Горин]

\(\displaystyle y_{2}^{*}\approx 1,4+8,9i\)
\(\displaystyle (1,4+8,9i)^{i}\approx 9e^{1,415i}\)
\(\displaystyle i^{(1,4+8,9i)}\approx 8,3*10^{-7}e^{2,2i}\)
\(\displaystyle (y_{2}^{*})^i\neq i^{y_{2}^{*}}\)
Для данного уравнения подходят только два значения функции Ламберта.
\(\displaystyle W_{-1}\left (- \frac{\pi }{2} \right )=\pm i\frac{\pi }{2}\)

Сложный метод проверки сделал и поэтому ошибся.
Упрощаю.
\(\displaystyle y^{i}=i^{y} \)
\(\displaystyle  i\ln y=y\ln i\)
\(\displaystyle  i\ln y=\frac{\pi }{2}y i\)
\(\displaystyle  \ln y=\frac{\pi }{2}y \)
\(\displaystyle \frac{\ln y}{y}=\frac{\pi }{2}\)
Проверка \(\displaystyle y_{1}^{*}=1,02132+4,86835i\)
\(\displaystyle \frac{\ln (1,02132+4,86835i)}{1,02132+4,86835i}=1.570796327\)
Проверим точность выполнения этого равенства.
Использую калькулятор комплексных чисел.
\(\displaystyle \frac{\ln (1,02132+4,86835i)}{1,02132+4,86835i}=\frac{1.60429+1.364007i}{1,02132+4,86835i}=0,334586-0,259343i\)
Опять не сошлость.
А должно сходится.
Возможно в моём калькуляторе ошибка.
Или ошибки в моих выводах.

[Иван Горин]

Проверка \(\displaystyle y_{1}^{*}=1,02132+4,86835i\)
\(\displaystyle \frac{\ln (1,02132+4,86835i)}{1,02132+4,86835i}=1.570796327\)
Проверим точность выполнения этого равенства.
Использую калькулятор комплексных чисел.
\(\displaystyle \frac{\ln (1,02132+4,86835i)}{1,02132+4,86835i}=\frac{1.60429+1.364007i}{1,02132+4,86835i}=0,334586-0,259343i\)
Опять не сошлость.
А должно сходится.
Возможно в моём калькуляторе ошибка.
Или ошибки в моих выводах.

Причина найдена.
Логарифм комплексного числа - периодическая функция.
\(\displaystyle \frac{\ln (1,02132+4,86835i)}{1,02132+4,86835i}=\frac{1,60429+(1,364007+2k \pi)i}{1,02132+4,86835i}=0,334586-0,259343i\) при k=0
проверим при k=1
\(\displaystyle \frac{\ln (1,02132+4,86835i)}{1,02132+4,86835i}=\frac{1,60429+7,64719i}{1,02132+4,86835i}=\frac{1,60429+(1,364007+2 \pi)i}{1,02132+4,86835i}=1,5708-6,965*10^{-7}i\)
Всё сошлось.
Проверим второе решение Дробышева
\(\displaystyle y_{2}^{*}=1,39951+8,90071i\)
\(\displaystyle \ln(y_{2}^{*})=2,19834+(1,414837+2k \pi)i\)
k=2 по нижнему индексу в y
\(\displaystyle \ln(y_{2}^{*})=2,19834+13,98121i\)
\(\displaystyle \frac{\ln(y_{2}^{*})}{y_{2}^{*}}=\frac{2,19834+13,98121i}{1,39951+8,90071i}=1,570797+6,986*10^{-7}i\approx \frac{\pi }{2}\)
Далее сделаем проверку для сопряжённых корней y.

[Иван Горин]

Берем от балды какое-либо комплексное число, к примеру, \(x=i\). Тогда

\(\displaystyle a=-\frac{\ln i}{i}=i\ln e^{i\pi /2}=-\frac{\pi}{2}.\)

В Математике \(W_k(a)\) кодируется как ProductLog[k,a]. В итоге \(y_{-1}=y^*_0=i\), \(y_{-2}=y^*_1=1{,}02132+4{,}86835i\), \(y_{-3}=y^*_2=1{,}39951+8{,}90071i\) и т.д.

Для данного уравнения при x=i имеются также вещественные решения для y
От максимального значения и  по убыванию
0.27441  0.16270   0.121832   0.020735  ...
Для нахождения этих решений был использован также комплексный калькулятор функции Ламберта.
С помощью моего калькулятора также можно найти множество комплексных решений для x=a+ib,
где a и b любые вещественные числа.