Сложная задача по математике

[Иван Горин]

Найти действительные корни уравнения

\(2\sqrt[3]{2x+1}=x^3-1\)

[Andrey_R]

Найти действительные корни уравнения

\(2\sqrt[3]{2x+1}=x^3-1\)

Можно, конечно, сразу построить график и кое-что заметить (например, x=-1), но это можно сделать потом, а пока начать решать так (больше теоретизирования).
Ну и исходим из концепции комплексных чисел, когда радикалы целых степеней из отрицательных чисел брать можно. 

При х<=-2 левая часть точно больше правой, при х>=2 наоборот. При х=0 слева 2, справа -1.
Значит, на  (0; 2) точно есть корень (знак на отрезке меняется). 
Функции слева и справа не настолько кривые, чтобы корней уравнения было больше 3, просто стоячую и лежачую кубические параболы нельзя построить с большим количеством пересечений.
Значит, на  (-2; 0) может быть ещё пара корней или один кратный.   

Возведём стороны уравнения в куб:
\(8(2x+1)=(x^3-1)^3\)
Получилось уравнение 9 степени с коэффициентом 1 перед \(x^9\) и коэффициентом -9 при \(x^0\).
Будем надеяться, что многочлен можно факторизовать, т.е. разложить на множители, среди которых будут многочлены степени 1 или 2 с целыми коэффициентами, корни которых легко находятся.

Начнем с многочлена первой степени, т.е. поиска рационального корня. Т.к. коэффициент при \(x^9\)  равен 1, то этот корень должен быть целым, и на него должен делиться свободный член -9.
Таких чисел всего 6, из них на отрезке (-2; 2) - только -1 и 1.
1 нам не подходит, т.к. в исходном уравнении \(2\sqrt[3]{3}=0\),что неверно. Значит, тот корень, который на (0;2), на самом деле на (1;2) - именно здесь меняется знак.

A x=-1 подходит. Значит, наш многочлен 9 степени делится на x+1. Получается многочлен 8 степени с тем же коэффициентом 1 перед \(x^9\) и коэффициентом -9 при \(x^0\).
У нас нашлось уже 2 корня (-1 и неизвестный на (1;2). И так как на -1 уравнение реально меняет знак, то это не кратный корень. Значит, есть ещё один на (-2;0), а заметив, как уравнение меняет знак в x=-1,понимаем, что на самом деле этот корень лежит на (-1;0).

Оба оставшихся корня, очевидно, не целые. Пытаемся найти многочлен второй степени. По теореме Виета
x₁x₂=Z₁
x₁+x₂=-Z₂, где Z₁ и Z₂ - целые свободный член и член перед \(x^1\)

-9 должно делиться на Z₁. С другой стороны, мы уже поняли, что -2<x₁x₂<0. Поэтому Z₁=-1.
Точно так же 0<x₁+x₂<2. Поэтому и Z₂=-1.

Получаем многочлен второй степени \(x^2-x-1\), корни которого - \({\frac{1-\sqrt{5}}{2}; \frac{1+\sqrt{5}}{2}}\).
Проверить, что они подходят, можно прямой подстановкой. Или прямым делением многочлена 9 степени сначала на x+1, потом на  \(x^2-x-1\), остатка не получается.

Ответ: \({-1; \frac{1-\sqrt{5}}{2}; \frac{1+\sqrt{5}}{2}}\)

[Иван Горин]

Можно, конечно, сразу построить график и кое-что заметить (например, x=-1), но это можно сделать потом, а пока начать решать так (больше теоретизирования).
Ну и исходим из концепции комплексных чисел, когда радикалы целых степеней из отрицательных чисел брать можно. 

При х<=-2 левая часть точно больше правой, при х>=2 наоборот. При х=0 слева 2, справа -1.
Значит, на  (0; 2) точно есть корень (знак на отрезке меняется). 
Функции слева и справа не настолько кривые, чтобы корней уравнения было больше 3, просто стоячую и лежачую кубические параболы нельзя построить с большим количеством пересечений.
Значит, на  (-2; 0) может быть ещё пара корней или один кратный.   

Возведём стороны уравнения в куб:
\(8(2x+1)=(x^3-1)^3\)
Получилось уравнение 9 степени с коэффициентом 1 перед \(x^9\) и коэффициентом -9 при \(x^0\).
Будем надеяться, что многочлен можно факторизовать, т.е. разложить на множители, среди которых будут многочлены степени 1 или 2 с целыми коэффициентами, корни которых легко находятся.

Начнем с многочлена первой степени, т.е. поиска рационального корня. Т.к. коэффициент при \(x^9\)  равен 1, то этот корень должен быть целым, и на него должен делиться свободный член -9.
Таких чисел всего 6, из них на отрезке (-2; 2) - только -1 и 1.
1 нам не подходит, т.к. в исходном уравнении \(2\sqrt[3]{3}=0\),что неверно. Значит, тот корень, который на (0;2), на самом деле на (1;2) - именно здесь меняется знак.

A x=-1 подходит. Значит, наш многочлен 9 степени делится на x+1. Получается многочлен 8 степени с тем же коэффициентом 1 перед \(x^9\) и коэффициентом -9 при \(x^0\).
У нас нашлось уже 2 корня (-1 и неизвестный на (1;2). И так как на -1 уравнение реально меняет знак, то это не кратный корень. Значит, есть ещё один на (-2;0), а заметив, как уравнение меняет знак в x=-1,понимаем, что на самом деле этот корень лежит на (-1;0).

Оба оставшихся корня, очевидно, не целые. Пытаемся найти многочлен второй степени. По теореме Виета
x₁x₂=Z₁
x₁+x₂=-Z₂, где Z₁ и Z₂ - целые свободный член и член перед \(x^1\)

-9 должно делиться на Z₁. С другой стороны, мы уже поняли, что -2<x₁x₂<0. Поэтому Z₁=-1.
Точно так же 0<x₁+x₂<2. Поэтому и Z₂=-1.

Получаем многочлен второй степени \(x^2-x-1\), корни которого - \({\frac{1-\sqrt{5}}{2}; \frac{1+\sqrt{5}}{2}}\).
Проверить, что они подходят, можно прямой подстановкой. Или прямым делением многочлена 9 степени сначала на x+1, потом на  \(x^2-x-1\), остатка не получается.

Ответ: \({-1; \frac{1-\sqrt{5}}{2}; \frac{1+\sqrt{5}}{2}}\)

Имеется метод решения гораздо проще.
\(2\sqrt[3]{2x+1}=x^3-1\)
\(2\sqrt[3]{2x+1}+1=x^3\)

Извлекаем кубический корень из обеих частей:
\(\sqrt[3]{2\sqrt[3]{2x+1}+1}=x\)

Обозначим
\(\sqrt[3]{2x+1}=f(x)\)
Получим
\(f(f(x))=x\)
Если f(x) возрастает, то \(f(x)=x\)
Найдём производную \(f(x)\)
\(f'(x)=\frac{2}{3\sqrt[3]{(2x+1)^2}}>0\)
Фукция возрастает, значит
\(\sqrt[3]{2x+1}=x\)
\(2x+1=x^3\)
\(x^3-2x-1=0\)
\(x_1=-1\)

\(\displaystyle \frac{x^3-2x-1}{x+1}=x^2-x-1\)

\(x^2-x-1=0\)

\(\displaystyle x_{2,3}=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}\)

Ответ такой же, как у Андрея.

[Andrey_R]

Имеется метод решения гораздо проще.
\(2\sqrt[3]{2x+1}=x^3-1\)
\(2\sqrt[3]{2x+1}+1=x^3\)

Извлекаем кубический корень из обеих частей:
\(\sqrt[3]{2\sqrt[3]{2x+1}+1}=x\)

Обозначим
\(\sqrt[3]{2x+1}=f(x)\)
Получим
\(f(f(x))=x\)
Если f(x) возрастает, то \(f(x)=x\)
Найдём производную \(f(x)\)
\(f'(x)=\frac{2}{3\sqrt[3]{(2x+1)^2}}>0\)
Фукция возрастает, значит
\(\sqrt[3]{2x+1}=x\)
\(2x+1=x^3\)
\(x^3-2x-1=0\)
\(x_1=-1\)

\(\displaystyle \frac{x^3-2x-1}{x+1}=x^2-x-1\)

\(x^2-x-1=0\)

\(\displaystyle x_{2,3}=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}\)

Ответ такой же, как у Андрея.

Интересный метод. Но редкий - задачи надо специально подстраивать.

Можно, кстати, сделать наоборот - возвести в куб:
\(\sqrt[3]{2x+1}=\frac{x^3-1}{2}\)
\(2x+1={(\frac{x^3-1}{2})}^3\)
\(x=\frac{{(\frac{x^3-1}{2})}^3-1}{2}\)

Получим
\(f(f(x))=x\)
 f(x) тоже возрастает и т. д.

Но было бы интереснее, если бы  f(x) где-нибудь менял знак, для разнообразия.

[Иван Горин]

Интересный метод. Но редкий - задачи надо специально подстраивать.

Можно, кстати, сделать наоборот - возвести в куб:
\(\sqrt[3]{2x+1}=\frac{x^3-1}{2}\)
\(2x+1={(\frac{x^3-1}{2})}^3\)
\(x=\frac{{(\frac{x^3-1}{2})}^3-1}{2}\)

Получим
\(f(f(x))=x\)
 f(x) тоже возрастает и т. д.

Но было бы интереснее, если бы  f(x) где-нибудь менял знак, для разнообразия.

Если в правой части исходного уравнения вместо x в кубе взять x в квадрате, то также получим
\(f(f(x))=x\)
\(f(x)=\frac{x^2-1}{2}\)

но  f(x) в точке x=0 имеет минимум и данный метод применять нельзя.

[Andrey_R]

Если в правой части исходного уравнения вместо x в кубе взять x в квадрате, то также получим
\(f(f(x))=x\)
\(f(x)=\frac{x^2-1}{2}\)

но  f(x) в точке x=0 имеет минимум и данный метод применять нельзя.

А если делать моим методом, то после возведения в квадрат получим, что у нас в уравнении 4 степени свободный член -3 и два корня - один лежит на (-1;0), а второй - на (2;3).
Получается только один подходящий многочлен  \(x^2-2x-1\),
его корни    \(1-\sqrt{2} ;  1+\sqrt{2}\)
Оба подходят.
Кстати, если применять ваш метод с \(f(f(x))=x\), то получится тот же ответ. Поэтому надо ещё подумать, когда этот метод применять нельзя, а когда можно.

[Иван Горин]

А если делать моим методом, то после возведения в квадрат получим, что у нас в уравнении 4 степени свободный член -3 и два корня - один лежит на (-1;0), а второй - на (2;3).
Получается только один подходящий многочлен  \(x^2-2x-1\),
его корни    \(1-\sqrt{2} ;  1+\sqrt{2}\)
Оба подходят.
Кстати, если применять ваш метод с \(f(f(x))=x\), то получится тот же ответ. Поэтому надо ещё подумать, когда этот метод применять нельзя, а когда можно.

Эти корни для нового исходного уравнения \(\displaystyle 2\sqrt{2x+1}=x^2-1\)  подходят.

\(\displaystyle \frac{f^2(x)-1}{2}=x\)

\(\displaystyle f(x)=\frac{x^2-1}{2}\)

\(\displaystyle f'(x)=x\) функция не возрастает, и тем не менее

\(\displaystyle f(x) = x\)
Когда нельзя применять этот метод - непонятно.

[Andrey_R]

Эти корни для нового исходного уравнения \(\displaystyle 2\sqrt{2x+1}=x^2-1\)  подходят.

\(\displaystyle \frac{f^2(x)-1}{2}=x\)

\(\displaystyle f(x)=\frac{x^2-1}{2}\)

\(\displaystyle f'(x)=x\) функция не возрастает, и тем не менее

\(\displaystyle f(x) = x\)
Когда нельзя применять этот метод - непонятно.

Если записать исходное уравнение, поделив его на 2, в виде
\( \sqrt[3]{2x+1}=\frac{x^3-1}{2}\), то видно, что слева и справа стоят обратные функции. Графики таких функций симметричны относительно прямой у=х. Соответственно, и пересекаться между собой они могут только в тех точках, где каждая их них пересекается с у=х.
График для наглядности.


То же самое и для второго уравнения:
\(\sqrt{2x+1}=\frac{x^2-1}{2}\)
Вот график:

Здесь тоже обратные функции, и пересекаются между собой они в тех же точках, где и с у=х, независимо от того, возрастает функция или нет.