Лёгкая задача по математике

[Иван Горин]

Найти функцию f(x)

\(\displaystyle f(x)+f\left(\frac{1}{1-x}\right)=x\)

[severe]

Найти функцию f(x)

\(\displaystyle f(x)+f\left(\frac{1}{1-x}\right)=x\) (1)

\( f(\frac{1}{1-x})+f(\frac{1}{1-\frac{1}{1-x}})=\frac{1}{1-x} \)
\( \frac{1}{1-\frac{1}{1-x}}=\frac{x-1}{x} \)
\( f(\frac{1}{1-x})+f(\frac{x-1}{x})=\frac{1}{1-x} (2) \)

\( f(\frac{x-1}{x})+f(\frac{1}{1-\frac{x-1}{x}})=\frac{x-1}{x} \)
\( \frac{1}{1-\frac{x-1}{x}}=x \)
\( f(\frac{x-1}{x})+f(x)=\frac{x-1}{x} \) (3)

Складываем (1), (2), (3)

\( f(x)+f(\frac{1}{1-x})+f(\frac{1}{1-x})+f(\frac{x-1}{x})+f(\frac{x-1}{x})+f(x)=x+\frac{1}{1-x}+\frac{x-1}{x} \)
\( 2f(x)+2(f(\frac{1}{1-x})+f(\frac{x-1}{x}))=x+\frac{1}{1-x}+\frac{x-1}{x} \)
\( 2f(x)+2\frac{1}{1-x}=x+\frac{1}{1-x}+\frac{x-1}{x} \)
\( f(x)=\frac{1}{2}(x+\frac{1}{1-x}+\frac{x-1}{x})-\frac{1}{1-x} \)
\( f(x)=\frac{x^3-x+1}{2x^2-2x} \)

[Иван Горин]

\( f(\frac{1}{1-x})+f(\frac{1}{1-\frac{1}{1-x}})=\frac{1}{1-x} \)
\( \frac{1}{1-\frac{1}{1-x}}=\frac{x-1}{x} \)
\( f(\frac{1}{1-x})+f(\frac{x-1}{x})=\frac{1}{1-x} (2) \)

\( f(\frac{x-1}{x})+f(\frac{1}{1-\frac{x-1}{x}})=\frac{x-1}{x} \)
\( \frac{1}{1-\frac{x-1}{x}}=x \)
\( f(\frac{x-1}{x})+f(x)=\frac{x-1}{x} \) (3)

Складываем (1), (2), (3)

\( f(x)+f(\frac{1}{1-x})+f(\frac{1}{1-x})+f(\frac{x-1}{x})+f(\frac{x-1}{x})+f(x)=x+\frac{1}{1-x}+\frac{x-1}{x} \)
\( 2f(x)+2(f(\frac{1}{1-x})+f(\frac{x-1}{x}))=x+\frac{1}{1-x}+\frac{x-1}{x} \)
\( 2f(x)+2\frac{1}{1-x}=x+\frac{1}{1-x}+\frac{x-1}{x} \)
\( f(x)=\frac{1}{2}(x+\frac{1}{1-x}+\frac{x-1}{x})-\frac{1}{1-x} \)
\( f(x)=\frac{x^3-x+1}{2x^2-2x} \)

Верно, но надо сделать проверку.
Где ты нашёл такой метод решения?

[severe]

Верно, но надо сделать проверку.
Где ты нашёл такой метод решения?

А существует другой метод решения?
В общем виде доказывать
\( \frac{x^3-x+1}{2x^2-2x}+\frac{(\frac{1}{1-x})^3-\frac{1}{1-x}+1}{2(\frac{1}{1-x})^2-\frac{2}{1-x}}=x \)
я не буду, много писанины.

Докажу для простейшего случая \( x=-1 \).

\( \frac{(-1)^3-(-1)+1}{2(-1)^2-2(-1)}=\frac{-1+1+1}{2+2}=\frac{1}{4} \)

\( \frac{(\frac{1}{1-(-1)})^3-\frac{1}{1-(-1)}+1}{2(\frac{1}{1-(-1)})^2-\frac{2}{1-(-1)}}=\frac{1/8-1/2+1}{2/4-2/2}=\frac{-3/8+8/8}{1/2-2/2}=\frac{5/8}{-1/2}=-\frac{5\cdot 2}{8}=-\frac{5}{4} \)

\( \frac{(-1)^3-(-1)+1}{2(-1)^2-2(-1)}+\frac{(\frac{1}{1-(-1)})^3-\frac{1}{1-(-1)}+1}{2(\frac{1}{1-(-1)})^2-\frac{2}{1-(-1)}}=\frac{1}{4}-\frac{5}{4}=-\frac{4}{4}=-1 \)