Автор Тема: Попробуйте решить уравнение 1/x^2-1/(x+1)^2=1  (Прочитано 211 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн Иван Горин

  • Модератор
  • Местный мудрец
  • *****
  • Сообщений: 4517
  • Страна: ru
  • Рейтинг: +2177/-934
  • Пол: Мужской
Уравнение
\(\displaystyle \frac{1}{x^2}-\frac{1}{(x+1)^2}=1\)
с виду простое.
Попробуйте найти все корни.

Большой Форум

Загрузка...

Оффлайн Andrey_R

  • Пламенный трибун
  • ****
  • Сообщений: 379
  • Страна: su
  • Рейтинг: +65/-5
Re: Попробуйте решить уравнение 1/x^2-1/(x+1)^2=1
« Ответ #1 : 17 Ноябрь 2023, 13:03:47 »
Уравнение
\(\displaystyle \frac{1}{x^2}-\frac{1}{(x+1)^2}=1\)
с виду простое.
Попробуйте найти все корни.

Попробую.

Для начала приведем к общему знаменателю и разносим числитель и знаменатель в разные стороны:
\( x^2(x+1)^2=2x+1\)
Вводим для симметрии \(z=x+\frac{1}{2}\):
\((z^2-\frac{1}{4})^2=2z\)
И, просто для удобства, чтобы не было дробей \(y=2z\):
\((y^2-1)^2=16y\)
Уравнение 4 степени - должно быть 4 корня. Действительных из них 2, оба положительные - это легко увидеть из примерного графика:

Пусть действительные корни - \(y_1 \space и \space y_2\), комплексные - \(y_3 \space и \space y_4\)
из  нашего уравнения: 
\(y^4-2y^2-16y+1=0\) видно, что произведение всех четырёх корней равно 1, а их сумма - 0 (теорема Виета).
тогда пусть \(y_1+y_2=-(y_3+y_4)=a\) и \(y_1y_2=\frac{1}{y_3y_4}=b\),
и наше уравнение 4 степени разлагается на два уравнения второй степени с действительными коэффициентами:
\(y^4-2y^2-16y+1=(y^2-ay+b)(y^2+ay+\frac{1}{b})\)
Приравнивая коэффициенты при степенях у, для 4, 3 и 0 степеней получаем тождества, а для \(y^2 \space и \space y^1\) -
\(b+\frac{1}{b}-a^2=-2\)
\(a(b-\frac{1}{b})=-16\)

\(b+\frac{1}{b}=a^2-2\)
\(b-\frac{1}{b}=-\frac{16}{a}\), или

\(2b=a^2-2-\frac{16}{a}\)
\(\frac{2}{b}=a^2-2+\frac{16}{a}\)

Перемножаем:
\((a^2-2)^2-\frac{256}{a^2}=4\)
И относительно \(a^2\) уравнение 3 степени:
\(a^6-4a^4-256=0\)
Его можно решать по-разному, но если попробовать поискать \(a^2\) целое, то оно может быть только степенью 2, и из них подходит
\(a^2=8\)
Тогда для \(a=2\sqrt{2} \space получаем \space b=3-2\sqrt{2}\), a для
\(a=-2\sqrt{2} \space получаем \space b=3+2\sqrt{2}\)

И наши квадратные уравнения становятся такими:
\(y^2-2\sqrt{2}y+3-2\sqrt{2}=0\)
\(y^2+2\sqrt{2}y+3+2\sqrt{2}=0\)
Они легко решаются:
\(y_{1,2}=\sqrt{2}\pm\sqrt{2\sqrt{2}-1}\)
\(y_{3,4}=-\sqrt{2}\pm\sqrt{-2\sqrt{2}-1}\)
 
И переходим к x:
\(x_{1,2}=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}\pm\sqrt{2\sqrt{2}-1}}{2}\)
\(x_{3,4}=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{2}\pm\sqrt{-2\sqrt{2}-1}}{2}\)


Оффлайн Иван Горин

  • Модератор
  • Местный мудрец
  • *****
  • Сообщений: 4517
  • Страна: ru
  • Рейтинг: +2177/-934
  • Пол: Мужской
Re: Попробуйте решить уравнение 1/x^2-1/(x+1)^2=1
« Ответ #2 : 17 Ноябрь 2023, 20:24:22 »
\((z^2-\frac{1}{4})^2=2z\)
Как такое получилось?

Оффлайн Andrey_R

  • Пламенный трибун
  • ****
  • Сообщений: 379
  • Страна: su
  • Рейтинг: +65/-5
Re: Попробуйте решить уравнение 1/x^2-1/(x+1)^2=1
« Ответ #3 : 17 Ноябрь 2023, 21:02:36 »
Как такое получилось?

\(x^2(x+1)^2=(z-\frac{1}{2})^2(z+\frac{1}{2})^2=(z^2-\frac{1}{4})^2\)
\(2x+1=2(z+\frac{1}{2})=2z\)
« Последнее редактирование: 18 Ноябрь 2023, 08:58:56 от Andrey_R »

Оффлайн Иван Горин

  • Модератор
  • Местный мудрец
  • *****
  • Сообщений: 4517
  • Страна: ru
  • Рейтинг: +2177/-934
  • Пол: Мужской
Re: Попробуйте решить уравнение 1/x^2-1/(x+1)^2=1
« Ответ #4 : 19 Ноябрь 2023, 14:35:52 »
\(x_{1,2}=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}\pm\sqrt{2\sqrt{2}-1}}{2}\)
\(x_{3,4}=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{2}\pm\sqrt{-2\sqrt{2}-1}}{2}\)


Ответ верный.
Имеется более простое решение.

\(\frac{1}{x^2}-\frac{1}{(x+1)^2}=1\)
ОДЗ
\(x\neq 0\)
\(x+1\neq 0\)
Домножаем обе части уравнения на \((x+1)^2\)
\(\frac{(x+1)^2}{x^2}-1=(x+1)^2\)
\(\displaystyle \frac{(x+1)^2}{x^2}-1=x^2+2x+1\)
\(\displaystyle \frac{(x+1)^2}{x^2}-2(x+1)=x^2\)
В левой части выносим за скобку \((x+1)\)
\(\displaystyle (x+1)\left [ \frac{(x+1)}{x^2}-2 \right ]=x^2\)
Делим обе части уравнения на \((x+1)\)
\(\displaystyle \frac{(x+1)}{x^2}-2 =\frac{x^2}{x+1}\)
Делаем замену переменной
\(\displaystyle \frac{(x+1)}{x^2} =t\)
\(t^2-2t-1=0\)
Решая это квадратное уравнение и делая обратную замену, получим ответ, который привёл Andrey_R




Оффлайн Andrey_R

  • Пламенный трибун
  • ****
  • Сообщений: 379
  • Страна: su
  • Рейтинг: +65/-5
Re: Попробуйте решить уравнение 1/x^2-1/(x+1)^2=1
« Ответ #5 : 19 Ноябрь 2023, 22:06:47 »
Ответ верный.
Имеется более простое решение.

\(\frac{1}{x^2}-\frac{1}{(x+1)^2}=1\)
ОДЗ
\(x\neq 0\)
\(x+1\neq 0\)
Домножаем обе части уравнения на \((x+1)^2\)
\(\frac{(x+1)^2}{x^2}-1=(x+1)^2\)
\(\displaystyle \frac{(x+1)^2}{x^2}-1=x^2+2x+1\)
\(\displaystyle \frac{(x+1)^2}{x^2}-2(x+1)=x^2\)
В левой части выносим за скобку \((x+1)\)
\(\displaystyle (x+1)\left [ \frac{(x+1)}{x^2}-2 \right ]=x^2\)
Делим обе части уравнения на \((x+1)\)
\(\displaystyle \frac{(x+1)}{x^2}-2 =\frac{x^2}{x+1}\)
Делаем замену переменной
\(\displaystyle \frac{(x+1)}{x^2} =t\)
\(t^2-2t-1=0\)
Решая это квадратное уравнение и делая обратную замену, получим ответ, который привёл Andrey_R

В самом деле, решение более простое. И интересное. Но нужно было догадаться, что, наверно, непросто. У меня более "тупое", в смысле "в лоб".

Оффлайн Иван Горин

  • Модератор
  • Местный мудрец
  • *****
  • Сообщений: 4517
  • Страна: ru
  • Рейтинг: +2177/-934
  • Пол: Мужской
Re: Попробуйте решить уравнение 1/x^2-1/(x+1)^2=1
« Ответ #6 : 20 Ноябрь 2023, 12:42:26 »
В самом деле, решение более простое. И интересное. Но нужно было догадаться, что, наверно, непросто. У меня более "тупое", в смысле "в лоб".
Имеется ещё одно решение в лоб.
Такая замена
\(\displaystyle \frac{1}{(x+1)^2} =t\)
приводит к возвратному уравнению.
И в конечном итоге к уравнению второй степени.

Оффлайн Иван Горин

  • Модератор
  • Местный мудрец
  • *****
  • Сообщений: 4517
  • Страна: ru
  • Рейтинг: +2177/-934
  • Пол: Мужской
Re: Попробуйте решить уравнение 1/x^2-1/(x+1)^2=1
« Ответ #7 : 20 Ноябрь 2023, 17:11:11 »
Имеется ещё одно решение в лоб.
Такая замена
\(\displaystyle \frac{1}{(x+1)^2} =t\)
приводит к возвратному уравнению.
И в конечном итоге к уравнению второй степени.
Имеется ещё одна замена.
\(t=x+1\)
Подставим в наше исходное уравнение и получим возвратное уравнение
\(t^4-2t^3+t^2-2t+1=0\)
Разделим на t^2
\(\displaystyle t^2-2t+1-\frac{2}{t}+\frac{1}{t^2}=0\)
\(\displaystyle t^2+\frac{1}{t^2}+1+1-2t-\frac{2}{t}-1=0\)
\(\displaystyle \left ( t+\frac{1}{t} \right )^2-2\left ( t+\frac{1}{t} \right )-1=0\)
\(\displaystyle \left ( t+\frac{1}{t} \right )=y\)
\(\displaystyle t^2-yt+1=0\)
\(y^2-2y-1=0\)
\(y_1=1+\sqrt{2}\)
\(y_2=1-\sqrt{2}\)

\(\displaystyle t^2-y_1t+1=0\)
\(\displaystyle t^2-(1+\sqrt{2})t+1=0\)
\(\displaystyle t_{1,2}=\frac{1+\sqrt{2}\pm \sqrt{(1+\sqrt{2})^2-4}}{2}=\frac{1+\sqrt{2}\pm \sqrt{2\sqrt{2}-1}}{2}\)
\(\displaystyle x_{1,2} =t_{1,2}-1=\frac{\sqrt{2}-1\pm \sqrt{2\sqrt{2}-1}}{2}\)

\(\displaystyle t^2-y_2t+1=0\)
\(\displaystyle t^2-(1-\sqrt{2})t+1=0\)
\(\displaystyle t_{3,4}=\frac{1-\sqrt{2}\pm \sqrt{(1-\sqrt{2})^2-4}}{2}=\frac{1-\sqrt{2}\pm i\sqrt{2\sqrt{2}+1}}{2}\)
\(\displaystyle x_{3,4} =t_{3,4}-1=\frac{-\sqrt{2}-1\pm i\sqrt{2\sqrt{2}+1}}{2}\)

Эта замена взята не наугад. А взята чтобы получить возвратное уравнение. Об этом методе дальше.

Оффлайн Иван Горин

  • Модератор
  • Местный мудрец
  • *****
  • Сообщений: 4517
  • Страна: ru
  • Рейтинг: +2177/-934
  • Пол: Мужской
Re: Попробуйте решить уравнение 1/x^2-1/(x+1)^2=1
« Ответ #8 : 21 Ноябрь 2023, 11:13:51 »
\(\displaystyle x_{1,2} =t_{1,2}-1=\frac{\sqrt{2}-1\pm \sqrt{2\sqrt{2}-1}}{2}\)

\(\displaystyle x_{3,4} =t_{3,4}-1=\frac{-\sqrt{2}-1\pm i\sqrt{2\sqrt{2}+1}}{2}\)
Найден ещё один метод решения.
Дополнение до полного квадрата.
\(\displaystyle \frac{1}{x^2}-\frac{1}{(x+1)^2}=1\)
\(\displaystyle (x+1)^2-x^2=x^2(x+1)^2\)
\(\displaystyle (x+1)^2-x^2=x^4+2x^3+x^2\)
\(\displaystyle (x+1)^2=x^4+2x^3+2x^2\)
\(\displaystyle (x+1)^2=x^4+2x^2(x+1)\)
В правой части до полного квадрата не хватает слагаемого \((x+1)^2\)
Добавим это слагаемое в обе части уравнения
\(\displaystyle (x+1)^2+(x+1)^2=x^4+2x^2(x+1)+(x+1)^2\)
\(\displaystyle 2(x+1)^2=(x^2+x+1)^2\)
\(\displaystyle [(x^2+x+1-\sqrt{2}(x+1)][(x^2+x+1+\sqrt{2}(x+1)]=0\)
\(\displaystyle (x^2+x+1-\sqrt{2}(x+1)=0\)
\(\displaystyle (x^2+x(1-\sqrt{2})+1-\sqrt{2}=0\)
\(\displaystyle x_{1,2} =\frac{\sqrt{2}-1\pm \sqrt{2\sqrt{2}-1}}{2}\)

\(\displaystyle (x^2+x+1+\sqrt{2}(x+1)=0\)
\(\displaystyle (x^2+x(1+\sqrt{2})+1+\sqrt{2}=0\)
\(\displaystyle x_{3,4}=\frac{-\sqrt{2}-1\pm i\sqrt{2\sqrt{2}+1}}{2}\)
« Последнее редактирование: 21 Ноябрь 2023, 13:29:25 от Иван Горин »

Оффлайн Andrey_R

  • Пламенный трибун
  • ****
  • Сообщений: 379
  • Страна: su
  • Рейтинг: +65/-5
Re: Попробуйте решить уравнение 1/x^2-1/(x+1)^2=1
« Ответ #9 : 21 Ноябрь 2023, 13:18:49 »
Найден ещё один метод решения.
Дополнение до полного квадрата.
\(\displaystyle \frac{1}{x^2}-\frac{1}{(x+1)^2}=1\)
\(\displaystyle (x+1)^2-x^2=x^2(x+1)^2\)
\(\displaystyle (x+1)^2-x^2=x^4+2x^3+x^2\)
\(\displaystyle (x+1)^2=x^4+2x^3+2x^2\)
\(\displaystyle (x+1)^2=x^4+2x^2(x+1)\)
В правой части до полного квадрата не хватает сомножителя \((x+1)^2\)
Добавим этот сомножитель в обе части уравнения
\(\displaystyle (x+1)^2+(x+1)^2=x^4+2x^2(x+1)+(x+1)^2\)
\(\displaystyle 2(x+1)^2=(x^2+x+1)^2\)
\(\displaystyle [(x^2+x+1-\sqrt{2}(x+1)][(x^2+x+1+\sqrt{2}(x+1)]=0\)
\(\displaystyle (x^2+x+1-\sqrt{2}(x+1)=0\)
\(\displaystyle (x^2+x(1-\sqrt{2})+1-\sqrt{2}=0\)
\(\displaystyle x_{1,2} =\frac{\sqrt{2}-1\pm \sqrt{2\sqrt{2}-1}}{2}\)

\(\displaystyle (x^2+x+1+\sqrt{2}(x+1)=0\)
\(\displaystyle (x^2+x(1+\sqrt{2})+1+\sqrt{2}=0\)
\(\displaystyle x_{3,4}=\frac{-\sqrt{2}-1\pm i\sqrt{2\sqrt{2}+1}}{2}\)

Вот, этот метод мне кажется самым интересным. И довольно общим, много к чему можно пытаться применить. 

Большой Форум

Re: Попробуйте решить уравнение 1/x^2-1/(x+1)^2=1
« Ответ #9 : 21 Ноябрь 2023, 13:18:49 »
Loading...