Уравнение
\(\displaystyle \frac{1}{x^2}-\frac{1}{(x+1)^2}=1\)
с виду простое.
Попробуйте найти все корни.
Попробую.
Для начала приведем к общему знаменателю и разносим числитель и знаменатель в разные стороны:
\( x^2(x+1)^2=2x+1\)
Вводим для симметрии \(z=x+\frac{1}{2}\):
\((z^2-\frac{1}{4})^2=2z\)
И, просто для удобства, чтобы не было дробей \(y=2z\):
\((y^2-1)^2=16y\)
Уравнение 4 степени - должно быть 4 корня. Действительных из них 2, оба положительные - это легко увидеть из примерного графика:
Пусть действительные корни - \(y_1 \space и \space y_2\), комплексные - \(y_3 \space и \space y_4\)
из нашего уравнения:
\(y^4-2y^2-16y+1=0\) видно, что произведение всех четырёх корней равно 1, а их сумма - 0 (теорема Виета).
тогда пусть \(y_1+y_2=-(y_3+y_4)=a\) и \(y_1y_2=\frac{1}{y_3y_4}=b\),
и наше уравнение 4 степени разлагается на два уравнения второй степени с действительными коэффициентами:
\(y^4-2y^2-16y+1=(y^2-ay+b)(y^2+ay+\frac{1}{b})\)
Приравнивая коэффициенты при степенях у, для 4, 3 и 0 степеней получаем тождества, а для \(y^2 \space и \space y^1\) -
\(b+\frac{1}{b}-a^2=-2\)
\(a(b-\frac{1}{b})=-16\)
\(b+\frac{1}{b}=a^2-2\)
\(b-\frac{1}{b}=-\frac{16}{a}\), или
\(2b=a^2-2-\frac{16}{a}\)
\(\frac{2}{b}=a^2-2+\frac{16}{a}\)
Перемножаем:
\((a^2-2)^2-\frac{256}{a^2}=4\)
И относительно \(a^2\) уравнение 3 степени:
\(a^6-4a^4-256=0\)
Его можно решать по-разному, но если попробовать поискать \(a^2\) целое, то оно может быть только степенью 2, и из них подходит
\(a^2=8\)
Тогда для \(a=2\sqrt{2} \space получаем \space b=3-2\sqrt{2}\), a для
\(a=-2\sqrt{2} \space получаем \space b=3+2\sqrt{2}\)
И наши квадратные уравнения становятся такими:
\(y^2-2\sqrt{2}y+3-2\sqrt{2}=0\)
\(y^2+2\sqrt{2}y+3+2\sqrt{2}=0\)
Они легко решаются:
\(y_{1,2}=\sqrt{2}\pm\sqrt{2\sqrt{2}-1}\)
\(y_{3,4}=-\sqrt{2}\pm\sqrt{-2\sqrt{2}-1}\)
И переходим к x:
\(x_{1,2}=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}\pm\sqrt{2\sqrt{2}-1}}{2}\)
\(x_{3,4}=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{2}\pm\sqrt{-2\sqrt{2}-1}}{2}\)
