Найти все корни уравнения и сделать проверку
\(\displaystyle x^5=9^x\)
Это уравнение так никто и не решил.
Возьмёмся и за него.
\(5 \ln x=x \ln 9\)
\(\displaystyle \frac{\ln x}{x}=\frac{\ln 9}{5}\)
\(\displaystyle \frac{\ln x}{e^{\ln x}}=\frac{\ln 9}{5}\)
\(\displaystyle (\ln x)e^{-\ln x}=\frac{\ln 9}{5}\)
\(\displaystyle (-\ln x)e^{-\ln x}=-\frac{\ln 9}{5}\)
\(z=-\frac{\ln 9}{5} \approx -0,43944492\)
\(\displaystyle W[(-\ln x)e^{-\ln x}]=W(z)\)
\(\displaystyle -\ln x=W(z)\)
\(\displaystyle x=e^{-W(z)}\) (1)
Учитываем по теории Ламберта
\(\displaystyle z=W(z)e^{W(z)}\)
\(\displaystyle e^{W(z)}=\frac{z}{W(z)}\) (2)
Учитывая (1) и (2), получаем
\(\displaystyle x=\frac{W(z)}{z}\)
Привожу 4 значения функции Ламберта (два слева от мнимой оси и два справа)
\(W_{-1}\approx -2,905-7,484i\)
\(W_{-0}\approx -0,8810-0,5904i\)
\(W_{0}\approx -0,8810+0,5904i\)
\(W_{1}\approx -2,905+7,484i\)
\(x_{-1}\approx 6,611+17,03i\)
\(x_{-0}\approx 2,005+1,3435i\)
\(x_{0}\approx 2,005-1,3435i\)
\(x_{1}\approx 6,611-17,03i\)
Проверку сделать по формуле:
\(x-e^{-zx}\) реальные и мнимые части этого выражения должны стремится к нулю с точностью, которая выбрана (4 знака).
