Крутое сравнение 50^50 v 49^51

[Иван Горин]

Непростое решение
Что больше
\(50^{50}\) или \(49^{51}\)
Решать в виде
\(50^{50}\)v\(49^{51}\)
v - это знак сравнения
после окончания решения этот знак превращается в меньше, больше или равно.
Кто решит первым, тот получает сладкий пряник.

[Andrey_R]

Непростое решение
Что больше
\(50^{50}\) или \(49^{51}\)
Решать в виде
\(50^{50}\)v\(49^{51}\)
v - это знак сравнения
после окончания решения этот знак превращается в меньше, больше или равно.
Кто решит первым, тот получает сладкий пряник.

\(50^{50}\)v\(49^{51}\)
\(50 \ln{50}\)v\(51\ln{49}\)

Берём функцию f(a,x)=(a+x)ln(a-x). Тогда
f(50,0) v f(50,1)
Берём производную (по x):
\(f'(a,x)=ln(a+x)-\frac{a+x}{a-x}\). Для больших положительных а и не таких больших |x| производная положительна.
В нашем случае, например,  при а=50 и |х|<50/3:
f'(50, x)>ln(100/3)-2>3-2>1
Поэтому
\(34\ln{66}<...<49\ln{51}<50 \ln{50}<51\ln{49}<52\ln{48}<...<66\ln{34}\)
\(66^{34}\)<...<\(51^{49}\)<\(50^{50}\)<\(49^{51}\)<\(48^{52}\)<...<\(34^{66}\)

[Иван Горин]

\(50^{50}\)v\(49^{51}\)
\(50 \ln{50}\)v\(51\ln{49}\)

Берём функцию f(a,x)=(a+x)ln(a-x). Тогда
f(50,0) v f(50,1)
Берём производную (по x):
\(f'(a,x)=ln(a+x)-\frac{a+x}{a-x}\). Для больших положительных а и не таких больших |x| производная положительна.
В нашем случае, например,  при а=50 и |х|<50/3:
f'(50, x)>ln(100/3)-2>3-2>1
Поэтому
\(34\ln{66}<...<49\ln{51}<50 \ln{50}<51\ln{49}<52\ln{48}<...<66\ln{34}\)
\(66^{34}\)<...<\(51^{49}\)<\(50^{50}\)<\(49^{51}\)<\(48^{52}\)<...<\(34^{66}\)

Имеется более наглядное решение
\(\displaystyle 50^{50}\vee 49^{51}\)
\(\displaystyle \frac{50^{50}}{49^{51}}\vee 1\)
\(\displaystyle \frac{50^{50}}{49^{50}49}\vee 1\)
\(\displaystyle \frac{50^{50}}{49^{50}49}=\left ( \frac{50}{49} \right )^{50}\frac{1}{49}=\left ( \frac{1+49}{49} \right )^{(1+49)}\frac{1}{49}=\left ( 1+\frac{1}{49} \right )^{49}\left (1+ \frac{1}{49} \right )\frac{1}{49}\)

ПРИМЕНЯЕМ ВТОРОЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЙ ПРЕДЕЛ

\(\displaystyle \lim_{n \to \infty }\left ( 1+\frac{1}{n} \right )^{n}=e\approx 2,72\)

\(\displaystyle \left ( 1+\frac{1}{49} \right )^{49}<3\)
\(\displaystyle \left (1+ \frac{1}{49} \right )\frac{3}{49}=\frac{3}{49}+\frac{3}{49^2}<1\)
Итак, левая часть меньше 1, правая 1.
Ответ: \(50^{50}\)<\(49^{51}\)

[severe]

Ответ: \(50^{50}\)<\(49^{51}\)

Похоже на то, что \( 50^n<49^{n+1} \) для любого \( n\in \mathbb{N} \). Как это строго доказать, не знаю.
Основание так считать: \( 49^2-50^1<49^3-50^2<49^4-50^3 \) или \( 2351<115149<5639801 \)

[Иван Горин]

Похоже на то, что \( 50^n<49^{n+1} \) для любого \( n\in \mathbb{N} \). Как это строго доказать, не знаю.
Основание так считать: \( 49^2-50^1<49^3-50^2<49^4-50^3 \) или \( 2351<115149<5639801 \)

\( 50^n<49^{n+1} \) 
Из метода математической индукции.
Проверили неравенство при n=1
Предположим, что оно выполняется при n=k
\( 50^k<49^{k+1} \)
Доказать, что оно выполняется при n=k+1.

[Иван Горин]

\( 50^n<49^{n+1} \) 
Из метода математической индукции.
Проверили неравенство при n=1
Предположим, что оно выполняется при n=k
\( 50^k<49^{k+1} \)
Доказать, что оно выполняется при n=k+1.

\(49^{k+1}-50^k\)>0 (1) Предположим, что это неравенство истино.
n=k+1
Умножим (1) на 49
\(49^{k+1+1}-49*50^k>0\)
\(49^{k+1+1}-(50-1)*50^k>0\)
\(49^{k+1+1}-50*50^k+50^k>0\)
\(49^{k+1+1}-50^{k+1}+50^k>0\)
\(49^{k+1+1}-50^{k+1}>-50^k\)
В правой части должен быть 0.
Как видим при помощи метода математической индукции это неравенство неразрешимо.

Но оно разрешимо и методом Севера.
Показательные функции положительного  аргумента монотонно возрастающие.
Если при n=1 какая-то функция больше, то она останется большей и для других n>1.
Пример
\(48^{52} \vee 49^{51}\)
n=51
\(48^{n+1} \vee 49^{n}\)
n=1
\(48^{2}>49\)

Ответ:
\(48^{52} > 49^{51}\)
Решение можно проверить также с применением второго замечательного предела.

[Иван Горин]

Показательные функции положительного  аргумента монотонно возрастающие.
Если при n=1 какая-то функция больше, то она останется большей и для других n>1.

ЭТО НЕВЕРНОЕ ВЫСКАЗЫВАНИЕ.
Например, функции \(50^{n}\) и \(49^{n+1}\) пересекаются при \(n \approx 193\)
При \(\displaystyle n\geq 193 \)  \(50^{n}\) > \(49^{n+1}\)

[severe]

ЭТО НЕВЕРНОЕ ВЫСКАЗЫВАНИЕ.
Например, функции \(50^{n}\) и \(49^{n+1}\) пересекаются при \(n \approx 193\)
При \(\displaystyle n\geq 193 \)  \(50^{n}\) > \(49^{n+1}\)

Уравнение \( 50^x=49^{x+1} \) имеет корень \( x\approx 194,6 \). Так что при \(\displaystyle n\geq 195 \)  \(50^{n}\) > \(49^{n+1}\)

[Иван Горин]

Уравнение \( 50^x=49^{x+1} \) имеет корень \( x\approx 194,6 \). Так что при \(\displaystyle n\geq 195 \)  \(50^{n}\) > \(49^{n+1}\)

У меня получается другой корень
\(50^x=49^{x+1}\)
\(x \ln50=(x+1) \ln 49\)
\(x (\ln50-\ln 49)= \ln 49\)
\(\displaystyle x= \frac{\ln49}{\ln 50-\ln 49} = \frac{\ln 49}{\ln \frac{50}{49}}=192,6385526\)

[severe]

У меня получается другой корень
\(50^x=49^{x+1}\)
\(x \ln50=(x+1) \ln 49\)
\(x (\ln50-\ln 49)= \ln 49\)
\(\displaystyle x= \frac{\ln49}{\ln 50-\ln 49} = \frac{\ln 49}{\ln \frac{50}{49}}=192,6385526\)

\( \ln 49=3,892 \)
\( \ln 50=3,912 \)
\( x=\frac{3,892}{3,912-3,892}=\frac{3,892}{0,02}=194,6 \)

[Иван Горин]

\( \ln 49=3,892 \)
\( \ln 50=3,912 \)
\( x=\frac{3,892}{3,912-3,892}=\frac{3,892}{0,02}=194,6 \)

Подсчитаем на логарифмической линейке.
Она имеет точность 3 значащих цифры, а после единицы четыре.

\( \ln 49=3,89 \)
\( \ln 50=3,91 \)
\( x=\frac{3,89}{3,91-3,89}=\frac{3,89}{0,02}=194,5 \)
Вычислим на калькуляторе до 5 значащих цифр.
\( \ln 49=3,8918 \)
\( \ln 50=3,9120 \)
\( x=\frac{3,8918}{3,9120-3,8918}=\frac{3,8918}{0,0202}=192,66\approx 193 \)
Чем выше точность исходных данных, тем точнее результат.

[severe]

Чем выше точность исходных данных, тем точнее результат.

Да, Вы правы. Я не учёл, что Вы брали логарифмы более точно.