Задачи по кинематике материальной точки

[Ost]

Центр масс тела движется со скоростью \(\vec v\) и ускорением \(\vec a\).
С какой угловой скоростью вращается вектор скорости \(\vec v\)?
Найти тангенциальное и нормальное ускорение центра масс? 
Найти радиус-вектор от оси вращения до центра масс, перпендикулярный оси вращения?
Найти широту и долготу радиус-вектора?

Угловая скорость вектора скорости \(\displaystyle \vec \omega=\frac{(\vec v \times \vec a)}{(\vec v \cdot \vec v)}\).
Тангенциальное ускорение центра масс \(\displaystyle \vec a_τ=\frac{\vec v \cdot (\vec v \cdot \vec a)}{(\vec v \cdot \vec v)}\).

Нормальное ускорение центра масс \(\displaystyle \vec a_n=\vec a-\vec a_τ=\vec \omega \times \vec v\).

Радиус-вектор \(\displaystyle \vec r=-\frac{\vec a_n}{(\vec \omega \cdot \vec \omega )}\).

Широта и долгота радиус-вектора. Решаем уравнение.

\(\displaystyle
\begin{bmatrix}
 cos(\varphi)~cos(\alpha)\\
 cos(\varphi)~sin(\alpha)\\
 sin(\varphi)\\
\end{bmatrix}=\frac{\vec r}{|\vec r|}
\).

\(\varphi~-\) широта.
\(\alpha~-\) долгота.
Ось вращения проходит через начало координат.

[Ost]

Путь, пройденный точкой вдоль кривой, может быть описан как интеграл от дифференциала дуги. Дифференциал дуги, обозначаемый как ds, представляет собой бесконечно малый кусочек пути, по которому движется частица.

Если мы рассматриваем движение в двухмерном пространстве на плоскости в декартовых координатах (x, y), то дифференциал дуги ds определяется через дифференциалы координат dx и dy по теореме Пифагора:

\[ ds = \sqrt{dx^2 + dy^2} \]

Если движение происходит в трехмерном пространстве с координатами (x, y, z), то формула для дифференциала дуги будет следующей:

\[ ds = \sqrt{dx^2 + dy^2 + dz^2} \]

Для параметризованных кривых, когда координаты x, y (и z при необходимости) определяются как функции от одного параметра t (например, времени), дифференциал дуги можно выразить через производные этих функций:

В 2D:
\[ ds = \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} \, dt \]

В 3D:
\[ ds = \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dz}{dt}\right)^2} \, dt \]

Чтобы рассчитать общий путь S, пройденный вдоль кривой, от начальной точки t0 до конечной точки t1, нужно вычислить интеграл от ds:

\[ S = \int_{t_0}^{t_1} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} \, dt \] (для 2D)

или

\[ S = \int_{t_0}^{t_1} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dz}{dt}\right)^2} \, dt \] (для 3D)

Этот интеграл даёт общую длину пути (длину дуги) кривой между двумя точками.

ChatGPT

[Ost]

Если радиус-вектор точки равен \(\vec r=\vec i~x+\vec j~y+\vec k~z\), то скорость равна

\(\displaystyle \vec v=\frac{d \vec r}{dt}=\vec i~\frac{dx}{dt}+\vec j~\frac{dy}{dt}+\vec k~\frac{dz}{dt}\).

Модуль скорости \(\displaystyle |\vec v|=\left|\frac{d \vec r}{dt}\right|= \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dz}{dt}\right)^2}\).

\(\displaystyle S = \int \limits_{t_0}^{t_1} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dz}{dt}\right)^2} \, dt = \int \limits_{t_0}^{t_1} |\vec v| \, dt \)

Перемещение
...