Найти корни уравнения 10^(x-x^2)=x^x

[Иван Горин]

Показательно-степенное уравнение
\(\displaystyle 10^{x-x^2} =x^x\)
Логарифмирование не поможет.
Тривиальное решение - очевидно. Но надо вывести.
Есть ли другие корни?

[Иван Горин]

Показательно-степенное уравнение
\(\displaystyle 10^{x-x^2} =x^x\)

Корни можно найти методом подбора.
\(x_1=0,\,x_2=1\)
Найдём их аналитически
\((x-x^2) \ln 10=x\ln x\)
\((x-x^2) \ln 10-x\ln x=0\)
\(x[(1-x) \ln 10-\ln x]=0\)
\(x_1=0\)
\((1-x) \ln 10-\ln x=0\)
\(\ln10-x \ln 10=\ln x\)
\(\displaystyle  x=e^{\ln10-x \ln10}\)
\(\displaystyle  x=\frac{e^{\ln10}}{e^{x \ln10}}\)
\(\displaystyle  xe^{x \ln10}=10\)
\(\displaystyle  x \ln10e^{x \ln10}=10 \ln10\)
\(\displaystyle W( x \ln10e^{x \ln10})=W(10 \ln10)\)
\(\displaystyle W( x \ln10e^{x \ln10})=W(\ln10e^{\ln10})\)
Учитываем основную формулу Ламберта
\(W(ze^{z})=z\)
\(\displaystyle x \ln10=\ln10\)
\(x_2=1\)

[severe]

\(x_1=0\)

https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%BE%D0%BB%D1%8C_%D0%B2_%D0%BD%D1%83%D0%BB%D0%B5%D0%B2%D0%BE%D0%B9_%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BF%D0%B5%D0%BD%D0%B8
В любом случае соглашение \( 0^{0}=1 \) чисто символическое, и оно не может использоваться ни в алгебраических, ни в аналитических преобразованиях из-за разрывности функции в этой точке, в противном случае может возникнуть ошибка.