Решить уравнение x^x=x+x

[severe]

\( x^x=x+x \)
Два корня \( x_1=2 \), \( x_2\approx 0,346 \).
Но как его решать?

[Иван Горин]

\( x^x=x+x \)
Два корня \( x_1=2 \), \( x_2\approx 0,346 \).
Но как его решать?

Первый корень можно найти методом подбора.
\(2^2=2*2\)
Можно найти точно.
\(x^x=2x\)
\(x\ln x=\ln(2x)\)
Домножим обе части на 2x
\(2x^2\ln x=2x\ln (2x)\)
\(x^2\ln x^2=2x \ln (2x)\)
Берём функцию Ламберта от обеих частей
\(W(x^2\ln x^2)=W(2x\ln (2x))\)
Учитываем, что \(W(z\ln z)=\ln z\)
\(\ln x^2=\ln (2x)\)
\( x^2=2x\)
\( x_1=2\)
\( x=0\) не подходит.

Второй корень \(x_2=\ln2/2\) с помощью функции Ламберта не могу найти.
Кто из математиков может найти второй корень с помощью функций Ламберта или glog?

[Andrey_R]

Второй корень x2=ln2/2 с помощью функции Ламберта не могу найти.

Второй корень не равен ln2/2, хотя и отличается от него не сильно. Поэтому вряд ли его можно будет найти с помощью функции Ламберта. 

[severe]

Второй корень не равен ln2/2, хотя и отличается от него не сильно. Поэтому вряд ли его можно будет найти с помощью функции Ламберта.

Как же тогда решили это уравнение. Откуда взяли приблизительное значение второго корня \( x_2\approx 0,346 \)? Не методом же подбора.

[Иван Горин]

Как же тогда решили это уравнение. Откуда взяли приблизительное значение второго корня \( x_2\approx 0,346 \)? Не методом же подбора.

Решается на ЭВМ одним из методов итерации.
Например методом половинного деления. Могу привести программу в VBA.
Или просто использовать функцию solver в Excel.

[Andrey_R]

Решается на ЭВМ одним из методов итерации.
Например методом половинного деления. Могу привести программу в VBA.
Или просто использовать функцию solver в Excel.

Оно решается методом итерации прямо в Excel. Можно, например, заметить, что
\(\frac{1}{4}<x<\frac{1}{2}\), т.к.
\(\frac{1}{4}^{\frac{1}{4}}=\frac{1}{\sqrt{2}}>2 * \frac{1}{4}=\frac{1}{2}\), a
\(\frac{1}{2}^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}<2 * \frac{1}{2}=1\).
Тогда за начальное приближение можно взять \(x_0=\frac{1}{2} или \frac{1}{4}\)
и вычислять \(x_{i+1}=\frac{1}{2}x_i^{x_i}\)

Тогда имеем при \(x_0=\frac{1}{2} или \frac{1}{4}\): \(x_1=0,353553390593274\),  \(x_2=0,346198148485592\), \(x_3=0,346325988577591\), \(x_4=0,34632330736133\),
\(x_5=0,346323363427002\), \(x_6=0,346323362254565\)
Т.е. всё сходится очень быстро:

0,353553390593274
0,346198148485592
0,346325988577591
0,34632330736133
0,346323363427002
0,346323362254565
0,346323362279083
0,34632336227857
0,346323362278581
0,346323362278581

[Иван Горин]

Оно решается методом итерации прямо в Excel. Можно, например, заметить, что
\(\frac{1}{4}<x<\frac{1}{2}\), т.к.
\(\frac{1}{4}^{\frac{1}{4}}=\frac{1}{\sqrt{2}}>2 * \frac{1}{4}=\frac{1}{2}\), a
\(\frac{1}{2}^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}<2 * \frac{1}{2}=1\).
Тогда за начальное приближение можно взять \(x_0=\frac{1}{2} или \frac{1}{4}\)
и вычислять \(x_{i+1}=\frac{1}{2}x_i^{x_i}\)

Тогда имеем при \(x_0=\frac{1}{2} или \frac{1}{4}\): \(x_1=0,353553390593274\),  \(x_2=0,346198148485592\), \(x_3=0,346325988577591\), \(x_4=0,34632330736133\),
\(x_5=0,346323363427002\), \(x_6=0,346323362254565\)
Т.е. всё сходится очень быстро:

0,353553390593274
0,346198148485592
0,346325988577591
0,34632330736133
0,346323363427002
0,346323362254565
0,346323362279083
0,34632336227857
0,346323362278581
0,346323362278581

Если взять среднее значение x=0,375
то точность \(10^{-4}\) достигается через две итерации
\(x_0=0,375\)
\(x_1=0,375^{0,375}/2=0,34624\)
\(x_2=0,34624^{0,34624}/2=0,34632765\)
Ошибка \(x_2-x_1=0,34632765-0,34624=-2,04*10(-4)\)
И можно положить \(x_2\approx 0,346\)
Замечательный рекурсивный метод.